福师15春《实变函数》在线作业一.docx
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福师15春《实变函数》在线作业一
福师15春《实变函数》在线作业一
一、单选题:
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,则|A∪C|=|C∪D|. (满分:
2)
A.错误
B.正确
2.有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞ (满分:
2)
A.错误
B.正确
3.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均属于BV。
(满分:
2)
A.错误
B.正确
4.可数集的测度必为零,反之也成立. (满分:
2)
A.错误
B.正确
5.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。
(满分:
2)
A.错误
B.正确
二、多选题:
6.可积的充分条件:
若存在g∈L1,使得|f|<=g. (满分:
2)
A.错误
B.正确
7.设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数. (满分:
2)
A.错误
B.正确
8.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续. (满分:
2)
A.错误
B.正确
9.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:
几乎处处可微而且导函数可积。
(满分:
2)
A.错误
B.正确
10.若f∈C1[a,b](连续可微),则f∈Lip[a,b],f∈AC[a,b]. (满分:
2)
A.错误
B.正确
11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:
2)
A.错误
B.正确
12.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
(满分:
2)
A.错误
B.正确
13.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 2) A.错误 B.正确 三、判断题: 14.若fn测度收敛于f,则1/fn也测度收敛于1/f. (满分: 2) A.错误 B.正确 15.f可积的充要条件: |f|可积。 (满分: 2) A.错误 B.正确 16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 (满分: 2) A.错误 B.正确 17.若fn与gn分别测度收敛于f与g,且fn<=gn,a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e. (满分: 2) A.错误 B.正确 18.有限覆盖定理的内容是: 若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖. (满分: 2) A.错误 B.正确 19.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积. (满分: 2) A.错误 B.正确 20.若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。 (满分: 2) A.错误 B.正确 21.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b]. (满分: 2) A.错误 B.正确 22.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 (满分: 2) A.错误 B.正确 23.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集,但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分: 2) A.错误 B.正确 24.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。 (满分: 2) A.错误 B.正确 25.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点,且只能有第一类间断点. (满分: 2) A.错误 B.正确 26.f可积的必要条件: f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 (满分: 2) A.错误 B.正确 27.对R^n中任意点集E,E\E'必为可测集. (满分: 2) A.错误 B.正确 28.若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV. (满分: 2) A.错误 B.正确 29.f∈BV,则f至多有可数个间断点,而且只能有第一类间断点. (满分: 2) A.错误 B.正确 30.无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积. (满分: 2) A.错误 B.正确 31.f∈BV,则f有“标准分解式”: f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分: 2) A.错误 B.正确 32.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a). (满分: 2) A.错误 B.正确 33.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性. (满分: 2) A.错误 B.正确 34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 (满分: 2) A.错误 B.正确 35.零测度集的任何子集都是可测集. (满分: 2) A.错误 B.正确 36.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 (满分: 2) A.错误 B.正确 37.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 (满分: 2) A.错误 B.正确 1.下列关系式中不成立的是( ) (满分: 2) A.f(∪Ai)=∪f(Ai) B.f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic) 2.若A为R^n中一疏集,则( ) (满分: 2) A.Ac为稠集 B.A为开集 C.A为孤立点集 D.A不完备 3.fn->f,a.e.,则 (满分: 2) A.fn依测度收敛于f B.fn几乎一致收敛于f C.fn一致收敛于f D.|fn|->|f| a.e. 4.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( ) (满分: 2) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 5.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分: 2) A.mE=0 B.0 C.mE=+∞ D.0<=mE<=+∞ 1.若f∈AC[a,b],则( ) (满分: 2) A.f∈C[a b] B.f∈BV[a b] C.f(x)=f(a)+∫axf'(t)dt D.f∈Lip[a b] 2.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则 (满分: 2) A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2 B.若E1包含于E2 mE1<=mE2 C.若E1包含于E2 m(E2\E1)=mE2-mE1 3.在R上定义f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( ) (满分: 2) A.f在R上处处不连续 B.f在R上为可测函数 C.f几乎处处连续 D.f不是可测函数 4.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( ) (满分: 2) A.f可测 B.|f|可积 C.f^2可积 D.|f|<∞.a.e. 5.A,B是两个集合,则下列正确的是( ) (满分: 2) A.f^-1(f(A))=A B.f^-1(f(A))包含A C.f(f^-1(A))=A D.f(A\B)包含f(A)\f(B) 6.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上 (满分: 2) A.有L积分值 B.广义R可积 C.L可积 D.积分具有绝对连续性 7.若0<=g<=f且f可积,则( ) (满分: 2) A.g可积 B.g可测 C.g<∞,a.e. D.当g可测时g必可积 8.若f,g是有界变差函数,则( ) (满分: 2) A.f+g有界变差函数 B.fg有界变差函数 C.f/g有界变差函数 D.max(f g)有界变差函数福师《实变函数》在线作业二 一、单选题: 1.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 2) A.错误 B.正确 2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。 (满分: 2) A.错误 B.正确 3.g的连续点是L点,但L点未必是连续点. (满分: 2) A.错误 B.正确 4.无论Riemann积分还是Lebesgue积分,只要|f|可积,则f必可积. (满分: 2) A.错误 B.正确 5.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点. (满分: 2) A.错误 B.正确 二、多选题: 6.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 (满分: 2) A.错误 B.正确 7.f在[a,b]上为增函数,则f的导数f'∈L1[a,b]. (满分: 2) A.错误 B.正确 8.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 (满分: 2) A.错误 B.正确 9.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 (满分: 2) A.错误 B.正确 10.若|f|和f^2都是有界变差,则f为有界变差. (满分: 2) A.错误 B.正确 11.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集. (满分: 2) A.错误 B.正确 12.f在E上可积的充要条件是级数M[E( )f|>=n)]之和收敛. (满分: 2) A.错误 B.正确 13.若f可测,则|f|可测,反之也成立. (满分: 2) A.错误 B.正确 三、判断题: 14.闭集套定理的内容是: {Fk}是R^n中非空有界闭集的降列,则Fk对所有k取交集非空. (满分: 2) A.错误 B.正确 15.L积分比R积分更广泛,且具有优越性。 (满分: 2) A.错误 B.正确 16.有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞ (满分: 2) A.错误 B.正确 17.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有绝对连续性. (满分: 2) A.错误 B.正确 18.若f,g∈BV,|g|>c>0,则f/g属于BV。 (满分: 2) A.错误 B.正确 19.f可积的充要条件: |f|可积。 (满分: 2) A.错误 B.正确 20.对任意可测集E,若f在E上可积,则有Lim{n->+∞}n·M[E( )f|>=n)]=0. (满分: 2) A.错误 B.正确 21.f可积的必要条件: f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 (满分: 2) A.错误 B.正确 22.若f∈AC,则f是连续的有界变差函数,即f∈C∩BV. (满分: 2) A.错误 B.正确 23.f在[a,b]上为增函数,则f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx≤f(b)-f(a). (满分: 2) A.错误 B.正确 24.f,g∈M(X),则fg∈M(X). (满分: 2) A.错误 B.正确 25.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。 (满分: 2) A.错误 B.正确 26.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)属于BV。 (满分: 2) A.错误 B.正确 27.设f为[a,b]上增函数,则存在分解f=g+h,其中g是上一个连续增函数,h是f的跳跃函数. (满分: 2) A.错误 B.正确 28.不存在这样的函数f: 在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx 2) A.错误 B.正确 29.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b]. (满分: 2) A.错误 B.正确 30.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分: 2) A.错误 B.正确 31.f∈BV,则f有“标准分解式”: f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分: 2) A.错误 B.正确 32.若f广义R可积且f不变号,则fL可积. (满分: 2) A.错误 B.正确 33.若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。 (满分: 2) A.错误 B.正确 34.设f是区间[a,b]上的有界实函数,则f在[a,b]上R可积,当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续. (满分: 2) A.错误 B.正确 35.有限覆盖定理的内容是: 若U是R^n中紧集F的开覆盖,则可以从U中取出有限子覆盖. (满分: 2) A.错误 B.正确 36.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集,但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分: 2) A.错误 B.正确 37.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 (满分: 2) A.错误 B.正确 1.若f∈L(X),则 (满分: 2) A.f在X上几乎处处连续 B.存在g∈L(X)使得|f|<=g C.若∫Xfdu=0 则f=0 a.e. 2.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分: 2) A.mE=0 B.0 C.mE=+∞ D.0<=mE<=+∞ 3.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( ) (满分: 2) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 4.下列关系式中不成立的是( ) (满分: 2) A.f(∪Ai)=∪f(Ai) B.f∩(Ai)=f(∩Ai) C.(A∩B)0=A0∩B0 D.(∪Ai)c=∩(Aic) 5.有限个可数集的乘积集是( ) (满分: 2) A.有限集 B.可数集 C.有连续统势的集 D.基数为2^c的集 1.A,B是两个集合,则下列正确的是( ) (满分: 2) A.f^-1(f(A))=A B.f^-1(f(A))包含A C.f(f^-1(A))=A D.f(A\B)包含f(A)\f(B) 2.若A和B都是R中开集,且A是B的真子集,则( ) (满分: 2) A.m(A) B.m(A)<=m(B) C.m(B\A)=m(A) D.m(B)=m(A)+m(B\A) 3.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则 (满分: 2) A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2 B.若E1包含于E2 mE1<=mE2 C.若E1包含于E2 m(E2\E1)=mE2-mE1 4.若f∈AC[a,b],则( ) (满分: 2) A.f∈C[a b] B.f∈BV[a b] C.f(x)=f(a)+∫axf'(t)dt D.f∈Lip[a b] 5.若0<=g<=f且f可积,则( ) (满分: 2) A.g可积 B.g可测 C.g<∞,a.e. D.当g可测时g必可积 6.设f为[a,b]上增函数,则f为( ) (满分: 2) A.几乎处处可微 B.L可积 C.f'可积 D.区间[a b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a) 7.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上 (满分: 2) A.有L积分值 B.广义R可积 C.L可积 D.积分具有绝对连续性 8.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g,则( ) (满分: 2) A.fn测度收敛于|f| B.afn+bgn测度收敛于af+bg C.(fn)^2测度收敛于f^2 D.fngn测度收敛于fg
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