北京市海淀区高三二模数学理科含答案[1].docx
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海淀区高三年级第二学期期末练习
数学(理科)2013.5
本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上
作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.集合,,则
A.B.C.D.
2.已知数列是公比为的等比数列,且,,则的值为
A.B.C.或D.或
3.如图,在边长为的正方形内有不规则图形.向正方形内随机撒豆子,若
撒在图形内和正方形内的豆子数分别为,则图形面积的估计值为
A.B.C.D.
4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
A.B.
C.D.
5.在四边形中,“,使得”是“四边形为平行四边形”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位,2,4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为
A.B.C.D.
7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
8.若数列满足:
存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为.已知数列满足,
则下列结论中错误的是
A.若,则可以取3个不同的值
B.若,则数列是周期为的数列
C.且,存在,是周期为的数列
D.且,数列是周期数列
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在极坐标系中,极点到直线的距离为_______.
10.已知,则按照从大到小排列为______.
11.直线过点且倾斜角为,直线过点且与直线垂直,则直线与直线的交点坐标为____.
12.在中,,则
13.正方体的棱长为,若动点在线段上运动,则的取值范围是______________.
14.在平面直角坐标系中,动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离,记点的轨迹为曲线.
(I)给出下列三个结论:
①曲线关于原点对称;
②曲线关于直线对称;
③曲线与轴非负半轴,轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于;
其中,所有正确结论的序号是_____;
(Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
16.(本小题满分13分)
福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:
(1)该福利彩票中奖率为50%;
(2)每张中奖彩票的中奖奖金有5元,50元和150元三种;(3)顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为,获得50元奖金的概率为.
(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率;
(II)为了能够筹得资金资助福利事业,求的取值范围.
17.(本小题满分14分)
如图1,在直角梯形中,,,,
.把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点.
(I)求证:
平面平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值;
(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?
请说明理由.
若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是.
12.图2是一个有....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................层的六边形点阵.它的中心是一个点,算作
第一层.第2层每边有2个点.第3层每边有3个点,…,第层
每边有个点,则这个点阵的点数共有个.
13.已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56:
3,
则该展开式中的系数为.
(二)选做题(14~15题.考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线的参数方程为(参数),
圆的参数方程为(参数),
则直线被圆所截得的弦长为.
15.(几何证明选讲选做题)如图3,半径为5的圆的两条弦
和相交于点,,为的中点,,则弦的长度为.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知,.
(1)求值;
(2)求的值.
17.(本小题满分12分)
如图4,在直角梯形中,°.°,,把沿对角线折起后如图5所示(点记为点).点在平面上的正投影落在线段上,连接.
(1)求直线与平面所成的角的大小;
(2)求二面角的大小的余弦值.
18.(本小题满分13分)
已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为.
(I)当时,求函数的单调区间;
(II)当时,若,使得,求实数的取值范围.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆的方程;
(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求
(为原点)面积的最大值.
20.(本小题满分13分)
1
2
3
1
0
1
设是由个实数组成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
(Ⅰ)数表如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1
(Ⅱ)数表如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数的所有可能值;
(Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表,
能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之表2
和与每列的各数之和均为非负整数?
请说明理由.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学(理科)
参考答案及评分标准2013.5
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
C
A
B
D
9.2
10.
11.
12.
13.
14.②③;
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题,第一空3分,第二空2分,
共30分)
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:
(I)因为
所以……………………2分
所以函数的定义域为……………………4分
(II)因为……………………6分
……………………8分
又的单调递增区间为,
令
解得……………………11分
又注意到
所以的单调递增区间为,…………………13分
16.解:
(I)设至少一张中奖为事件
则…………………4分
(II)设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为
则可以取…………………6分
的分布列为
…………………8分
所以的期望为
…………………11分
所以当时,即…………………12分
所以当时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解:
(I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上
所以平面,所以…………………1分
因为在直角梯形中,,,
,
所以,,所以是等边三角形,
所以是中点,…………………2分
所以…………………3分
同理可证
又
所以平面平面…………………5分
(II)在平面内过作的垂线
如图建立空间直角坐标系,
则,,…………………6分
因为,
设平面的法向量为
因为,
所以有,即,
令则所以…………………8分
…………………10分
所以直线与平面所成角的正弦值为…………………11分
(III)存在,事实上记点为即可…………………12分
因为在直角三角形中,,…………………13分
在直角三角形中,点
所以点到四个点的距离相等…………………14分
18.解:
(I)因为,其中…………………2分
当,,其中
当时,,,
所以,所以在上递增,…………………4分
当时,,,
令,解得,所以在上递增
令,解得,所以在上递减……………7分
综上,的单调递增区间为,
的单调递增区间为
(II)因为,其中
当,时,
因为,使得,所以在上的最大值一定大于等于
,令,得…………………8分
当时,即时
对成立,单调递增
所以当时,取得最大值
令,解得,
所以…………………10分
当时,即时
对成立,单调递增
对成立,单调递减
所以当时,取得最大值
令,解得
所以…………………12分
综上所述,…………………13分
19.解:
(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,
一内角为的菱形的四个顶点,
所以,椭圆的方程为…………………4分
(II)设因为的垂直平分线通过点,显然直线有斜率,
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则
所以
因为,
所以,当且仅当时,取得最大值为………………7分
当直线的斜率不为时,则设的方程为
所以,代入得到
当,即
方程有两个不同的解
又,…………………8分
所以,
又,化简得到
代入,得到…………………10分
又原点到直线的距离为
所以
化简得到…………………12分
因为,所以当时,即时,取得最大值
综上,面积的最大值为…………………14分
20.(I)解:
法1:
法2:
…………………3分
(II)每一列所有数之和分别为2,0,,0,每一行所有数之和分别为,1;
①如果首先操作第三列,则
则第一行之和为,第二行之和为,
这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,
所以或
当时,则接下来只能操作第一行,
此时每列之和分别为
必有,解得
当时,则接下来操作第二行
此时第4列和为负,不符合题意.…………………6分
②如果首先操作第一行
则每一列之和分别为,,,
当时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉
当时,,至少有一个为负数,
所以此时必须有,即,所以或
经检验,或符合要求
综上:
…………………9分
(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。
证明如下:
记数表中第行第列的实数为(),各行的数字之和分别为,各列的数字之和分别为,,,数表中个实数之和为,则。
记
.
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。
终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立。
…………………13分
高三数学(理科)试题第11页(共4页)
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