北京市怀柔区高三毕业班二模数学(理)试题及答案免费下载.doc
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2012年怀柔区高三年级调研考试
数学(理科)2012.4
一、选择题:
本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
有且只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={一l,0,1,2},集合A={一l,2},B={0,2},则
A.{0} B.{2} C.{0,l,2}D.
2.已知为虚数单位,,则复数
A. B. C.2i D.-2i
3.“a=2”是“直线ax十2y=0与直线x+y=l平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主
1
1
主视图
左视图
俯视图
视图是腰长为1的等腰直角三角形,则
这个几何体的体积是
A.B.
C.D.
5.函数是
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
6.过点引圆的一条切线,则切线长为
A.B.C.D.
7.将图中的正方体标上字母,使其成为正方体,不
同的标字母方式共有
A.24种 B.48种
C.72种 D.144种
8.若函数满足,且时,,
函数,则函数在区间内的零点的个
数为
A. B. C. D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,满分30分.
开始
i=1,s=0
s=s+
i=i+2
输出S
结束
否
是
9.二项式的展开式中含的项的系数
是(用数字作答).
10.如图给出的是计算的值
的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件
是.
.
11.如图,PA是圆的切线,A为
切点,PBC是圆的割
线,且,
则.
12.当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为.
13.已知不等式组表示的平面区域为若直线与平面区域
有公共点,则的取值范围是.
14.手表的表面在一平面上.整点1,2,…,12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上.从整点i到整点(i+1)的向量记作,则=.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在中,分别为角的对边,且满足.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,设角的大小为,的周长为,求的最大值.
16.(本小题满分14分)
O
S
A
B
C
D
E
如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点.
(Ⅰ)当为侧棱的中点时,求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:
平面平面;
(Ⅲ)当二面角的大小为
时,试判断点在上的位置,并说明理由.
17.(本小题满分13分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产
品作为样本称出它们的重量(单位:
克),重量的分组区间为,,…,.由此得到样本的频率分布直方图,如图所示:
(Ⅰ)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量;
(Ⅱ)在上述抽取的40个产品中任职2件,设为重量超过505克的产品数量,求的分布列;
(Ⅲ)从流水线上任取5件产品,估计其中恰
有2件产品的重量超过505克的概率.
18.(本小题满分13分)
已知,其中是自然常数,.
(Ⅰ)讨论时,的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:
在(Ⅰ)的条件下,;
(Ⅲ)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
19.(本小题满分14分)
已知:
椭圆(),过点,的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)斜率大于零的直线过与椭圆交于,两点,若,求直线的方程;
(Ⅲ)是否存在实数,直线交椭圆于,两点,以为直径的圆过点?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分13分)
定义:
对于任意,满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列.
(Ⅰ)若(),证明:
数列是数列;
(Ⅱ)设数列的通项为,且数列是数列,求常数的取值范围;
(Ⅲ)设数列(,),问数列是否是数列?
请说明理由.
参考答案及评分标准
一、选择题:
本大题共8个小题;每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
A
C
D
B
C
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,满分30分.
9.1010.11.
12.13. 14.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.
15.(本小题满分13分)
在中,分别为角的对边,且满足.
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,设角的大小为,的周长为,求的最大值.
解:
(Ⅰ)∵,
∴
又,
∴; --------------------------------------------------------5分
(Ⅱ)∵,
∴---------------------------6分
同理-----------------------------------8分
∴-----10分
∵∴,
∴即时,。
----------------------------13分
16.(本小题满分14分)
O
S
A
B
C
D
E
如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点.
(Ⅰ)当为侧棱的中点时,求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:
平面平面;
(Ⅲ)当二面角的大小为
时,试判断点在上的位置,并说明理由.
(Ⅰ)证明:
连接,由条件可得∥.
O
y
z
x
S
A
B
C
D
E
因为平面,平面,
所以∥平面.-----------------------------------------4分
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)知,.
建立如图所示的空间直角坐标系.
设四棱锥的底面边长为2,
则,,,
,,
.
所以,.
设(),由已知可求得.
所以,.
设平面法向量为,
则即
令,得.
易知是平面的法向量.
因为,
所以,所以平面平面.-------------------------------------8分
(Ⅲ)解:
设(),由(Ⅱ)可知,
平面法向量为.
因为,
所以是平面的一个法向量.
由已知二面角的大小为.
所以,
所以,解得.[
所以点是的中点.-----------------------------------------------------------------14分
17.(本小题满分13分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产
品作为样本称出它们的重量(单位:
克),重量的分组区间为,,...,.由此得到样本的频率分布直方图,如图所示:
(Ⅰ)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量;
(Ⅱ)在上述抽取的40个产品中任职2件,设为重量超过505克的产品数量,求的分布列;
(Ⅲ)从流水线上任取5件产品,估计其中恰
有2件产品的重量超过505克的概率.
解:
(Ⅰ)重量超过505克的产品数量是件-------2分
(Ⅱ)的所有可能取值为0,1,2(只有当下述没做或都做错时,此步写对给1分),,,
(以上(Ⅱ)中的过程可省略,此过程都对但没列下表的扣1分)
的分布列为
0
1
2
-------------------------------------9分(每个2分,表1分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)的统计数据知,抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克,其频率为,可见从流水线上任取一件产品,其重量超过505克的概率为,令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数,则,
----------------------------------------------------------------------11分
故所求的概率为----------------------13分
18.(本小题满分13分)
已知,其中是自然常数,.
(Ⅰ)讨论时,的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:
在(Ⅰ)的条件下,;
(Ⅲ)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
解:
(Ⅰ),
∴当时,,此时单调递减
当时,,此时单调递增
∴的极小值为-----------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)的极小值为1,即在上的最小值为1,
∴,……5分
令,,
当时,,在上单调递增
∴
∴在
(1)的条件下,--------------------------------------------------8分
(Ⅲ)假设存在实数,使()有最小值3,
①当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.
②当时,在上单调递减,在上单调递增
,,满足条件.
③当时,在上单调递减,,(舍去),所以,此时无最小值.
综上,存在实数,使得当时有最小值3.---------------------13分
19.(本小题满分14分)
已知:
椭圆(),过点,的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)斜率大于零的直线过与椭圆交于,两点,若,求直线的方程;
(Ⅲ)是否存在实数,直线交椭圆于,两点,以为直径的圆过点?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解:
(Ⅰ)由,,得,,
所以椭圆方程是:
---------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)设EF:
()代入,得,
设,,由,得.
由,----------------------------6分
得,,(舍去),(没舍去扣1分)
直线的方程为:
即---------------------------------------8分
(Ⅲ)将代入,得(*)
记,,PQ为直径的圆过,则,即,又,,得.-------12分
解得,此时(*)方程,
存在,满足题设条件.------------------------------------------------------------------14分
20.(本小题满分13分)
定义:
对于任意,满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列.
(Ⅰ)若(),证明:
数列是数列;
(Ⅱ)设数列的通项为,且数列是数列,求常数的取值范围;
(Ⅲ)设数列(,),问数列是否是数列?
请说明理由.
解:
(Ⅰ)由,得
所以数列满足.
又,当n=4或5时,取得最大值20,即≤20.
综上,数列是数列.------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)因为,
所以当即时,,此时数列单调递增(6分)
当时,,此时数列单调递减;故数列的最大项是,
所以,的取值范围是--------------------------------------9分
(Ⅲ)①当时,当时
由得,
即当时符合条件.
若,则,此时
于是
又对于有,所以当时数列是数列;
②当时,
取则:
由,所以时数列不是数列
③当时,
取则
由,所以时数列不是数列.
综上:
当时数列是数列;当时数列不是数列
-----------------------------------------------------------------------------13分
第14页共14页
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