材力(II)第三章(能量).ppt
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1,第三章能量方法,31概述,32应变能余能,33卡氏定理,34用能量法解超静定系统,35虚位移原理及单位力法,2,第三章能量方法,31概述,图中AB和AC杆的直径分别是d1=12mm,d2=15mm,弹性模量均为E=210GPa。
试求A点在铅垂方向的位移。
(a),若用解析法求解时,必须利用图c列出变形的几何关系,计算比较麻烦。
3,若利用外力功在数值上等于应变能,即,利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为能量法。
能量法的应用很广,也是有限元法求解固体力学问题的重要基础。
有专门著作,例如胡海昌著弹性力学的变分原理及应用。
本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。
第三章能量方法,就不需要用到变形几何关系,计算较为简便。
4,(a)轴向拉(压)杆,应变能,第三章能量方法,
(1)线弹性体,1.基本变形形式【材料力学()】,利用应变能在数值上等于外力功W,可得,32应变能余能,5,(b)扭转,第三章能量方法,6,(c)弯曲,第三章能量方法,纯弯曲,横力弯曲,7,可以把应变能统一写成,式中,F为广义力,可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。
D为广义位移,可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。
第三章能量方法,8,2.构件上有一组广义力共同作用,令F=F1,wC=D1,Me=F2,qA=D2,则,第三章能量方法,例,9,Fi为广义力,Di为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移,它是由所有广义力共同产生的。
3.组合变形(用内力形式表示的应变能),M(x)只产生弯曲转角,第三章能量方法,小变形时不计FS产生的应变能,,FN(x)只产生轴向线位移,T(x)只产生扭转角,有n个广义力同时作用时,10,对于dx微段,FN(x),T(x),M(x)均为外力。
略去高阶微量后,dx段的应变能为,杆的应变能为,第三章能量方法,11,(a)由于应变能是外力(内力)或位移的二次齐次式,所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能,不等于各力单独作用时产生的应变能之和。
小变形时,产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。
第三章能量方法,4.应变能的特点:
12,(b)应变能的大小与加载顺序无关(能量守恒),F和Me同时作用在梁上,并按同一比例由零逐渐增加到最终值简单加载。
在线性弹性范围时,力和位移成正比,位移将按和力相同的比例,由零逐渐增加到最终值。
第三章能量方法,上图中,(a),13,第三章能量方法,先加F,再加Me(图b,c),式中,为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功,所以无系数。
14,还可以先加Me,再加F,得到的应变能和以上的值相同。
第三章能量方法,15,因为是弹性体,所以应变能在数值上仍等于外力功,即,但必须注意以及的非线性关系,不能再用线弹性体的公式计算外力功。
1.轴向拉伸与压缩,第三章能量方法,
(2)非线性弹性体,应变能为,应变能密度为,16,
(1)(3-1)和(3-2)式中,分别是以D和e为自变量,。
所以为位移状态的函数。
应变能密度,式中,为扭转力偶矩,为扭转角,为扭转切应力,为切应变。
第三章能量方法,注意:
2.扭转,应变能,17,式中,为外力偶矩,为弯曲转角,为正应力,为线应变。
应变能密度,应变能和应变能密度之间的关系为,式中,V为体积。
第三章能量方法,3.梁,应变能,18,例33原为水平位置的杆系如图a所示,试计算在荷载作用下的应变能。
两杆的弹性模量均为,横截面面积均为。
解:
首先分析力F和位移D之间的关系,求出F=f(D)的表达式。
设两杆的轴力均为FN,两杆的伸长量和A点的位移分别为,
(1),第三章能量方法,(a),19,将
(1)式代入上式得,由结点A的平衡方程,得,
(2),为小角度,,(4),第三章能量方法,(3),由于,所以,20,将(5)式代入
(2)式,得,或写成,(7),F和D的关系如图b所示。
(5),第三章能量方法,(6),将(4)式代入(3)式,得,21,
(1)由于力F引起的变形,对产生影响,形成F和D的非线性关系,而应力和应变仍为线性关系几何非性。
当材料为非线性弹性体时,即应力与应变为非线性时物理非线性。
(2)几何非线性时,不能用求应变能,而只能用求应变能。
第三章能量方法,杆的应变能为,注意,22,.余能,第三章能量方法,图a为非线性体弹性体的受拉杆,其FD和se关系如图b,c所示。
(1)余功的定义为,(36),23,第三章能量方法,其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。
Wc和外力功W具有相同的量纲,且Wc为矩形OF1aD1的面积与曲面OaD1的面积(W)之差(图d),故称Wc为余功。
Wc只有几何图形上的意义,无物理概念,即没有什么力作的功为Wc。
24,(37)和(38)式,分别以F和s为自变量,D=f(F),e=f(s)。
所以Vc=f(F)为受力状态的函数。
第三章能量方法,(3)线弹性体(图e),Ve和Vc数值相等,但概念和计算方法不同,即Ve=f(D),Vc=f(F)。
(2)余能,25,例35图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。
材料在单轴拉伸时的se关系如图b所示。
求结构的余能。
解:
该题为物理非线性问题,需用求Vc。
第三章能量方法,由结点C的平衡方程,得二杆的轴力为,应力为,26,余能密度为,结构的余能为,得,第三章能量方法,27,图示梁的材料为非线性弹性体,Fi为广义力,Di为广义位移。
各力同时作用在梁上,并按同一比例由零逐渐增加到最终值(简单加载)。
.卡氏第一定理,(310),第三章能量方法,设各力和相应位移的瞬时值分别为fi,di,各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体,梁的应变能为,33卡氏定理,为位移状态函数。
28,假设与第i个荷载Fi相应的位移Di有一微小位移增量dDi,而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。
外力功和应变能的增量分别为,(dDi不是由Fi产生的,FidDi为常力做的功),(a),第三章能量方法,(b),式中,为应变能对位移的变化率。
29,(311)式为卡氏第一定理。
它说明,弹性结构的应变能,对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率,等于该荷载的值。
以上推导中并没有涉及到梁的具体性质,故(311)适用于一切受力状态的弹性体。
对于线弹性体也必须把Ve写成给定位移的函数形式。
第三章能量方法,令,30,第三章能量方法,例38图a所示结构中,AB,BC杆中的横截面面积均为A,弹性模量均为E。
两杆处于线弹性范围内。
试用卡氏第一定理,求B点的水平位移D1和铅垂位移D2。
31,解:
卡氏第一定理要求把应变能写成位移D1和D2的函数,D1和D2是由AB,BC杆的变形量dAB,dBC所引起的。
首先分析dAB,dBC和D1和D2的几何关系。
dAB=D1,dBC=A1cos45=,设B点只发生铅垂位移D2(图c),由图可见,第三章能量方法,设B点只发生水平位移D1(图b),由图可见,32,D1和D2同时发生时,则有,由于是线弹性问题,结构的应变能为,
(2),第三章能量方法,33,(3),(4),联立求解(3),(4),得,可以验证(3),(4)式相当于平衡方程。
(),(),第三章能量方法,由卡氏第一定理,得,34,.卡氏第二定理,图示为非线性弹性杆,Fi为广义力,Di为广义位移。
各力按简单加载方式作用在梁上。
设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为di,fi。
梁的余能为(312),第三章能量方法,表明,
(1)余能定理,35,令,上式称为余能定理。
可用于求解非线性弹性结构与Fi相应的位移。
第三章能量方法,设第i个力Fi有一个增量dFi,其余各力均保持不变,各位移均不变。
余功和余能的改变量分别是,36,例39图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A,材料在单轴拉伸时的se的关系如图b所示。
试用余能定理求结点C的铅垂位移D1。
第三章能量方法,37,解:
在例35中,已求出结构的余能为,由余能定理得,第三章能量方法,设BC,CD杆的伸长量为d,容易验上式的,即为变形的几何关系。
38,由平衡方程得,第三章能量方法,两杆的伸长量为,则BC,CD杆横截面上的的应力为,故,39,
(2)卡氏第一定理和余能定理的比较,第三章能量方法,DiDi+dDi,其它位移均不变,所有的力均不变。
FiFi+dFi,其它力均不变,所有的位移均不变。
40,续表,(平衡方程),第三章能量方法,(变形的几何关系),41,(3)卡氏第二定理,当结构为线弹性体时,由于力F和位移D成正比,Vc在数值上等于应变能Ve(如图)。
若把用力表示,即,(313)式可改写成,(314),上式称为卡氏第二定理,它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。
仅适用于线弹性体,它将是研究的重点。
第三章能量方法,42,它表明,线弹性结构的应变能,对于作用其上的某一荷载的变化率,等于与该荷载相应的位移。
注意:
组合变形(不计剪力的影响)时,也可以写成,用该式计算时,可减少计算工作量。
第三章能量方法,43,例310图示梁的材料为线弹性体,弯曲刚度为EI,不计剪力对位移的影响。
试用卡氏第二定理求梁A端的挠度wA。
解:
因为A截面处无与wA相应的集中力,不能直接利用卡氏第二定理,可在A截面上虚加一个与wA相应的集中力F,利用卡氏第二定理后,令F=0,即,第三章能量方法,44,梁的弯矩方程以及对F的偏导数分别为,利用卡氏第二定理,得,(和假设的F的指向一致),这种虚加F力的方法,也称为附加力法。
(),第三章能量方法,这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中也可以作为一个广义力。
45,例311图a所示梁的材料为线弹性体,弯曲刚度为EI。
用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角。
不计剪力对位移的影响。
第三章能量方法,46,在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩MB,并求出在一对外力偶MB及q共同作用下梁的支反力(图b)。
第三章能量方法,解:
B截面两侧的相对转角,就是与一对外力偶MB相应的相对角位位移,即,47,(0xl),梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为,第三章能量方法,AB段,48,中间铰B两侧截面的相对转角为,结果为正,表示广义位移的转向和MB的转向一致。
(),第三章能量方法,BC段,49,第三章能量方法,例312图a所示为一等截面开口圆环,弯曲刚度为EI,材料为线弹性。
用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。
不计剪力和轴力的影响。
50,圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移,即,(),用角表示圆环横截面的位置,并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正,则弯矩方程及其对F的偏导数分别为,第三章能量方法,解:
,,51,结果为正,表示广义位移方向和广义力的指向一致。
第三章能量方法,利用对称性,由卡氏第二定理,得,52,例313图a所示Z字型平面刚架中,各杆的弯曲刚度均为EI,材料为线弹性,不计剪力和轴力对位移的影响。
用卡氏第二定理求A截面的水平位移DAx及铅垂位移DAy和A截面的转角qA。
第三章能量方法,53,解:
在A截面处虚加Fx,MA(图b),则,第三章能量方法,各段的弯矩方程及其对各力的偏导数分别为,M(x)=-Fx-MA(0x3a),,,AB段,54,第三章能量方法,BC段,将力F向B截面简化,得到作用于B的竖直力F和力偶矩3Fa,Fx和F在垂直于BC杆方向上的力分别为Fxsinq,Fcosq,指向如图c中虚线所示。
55,第三章能量方法,BC段,(0x5a),56,M(x)=Fx4aFxMA(0x3a),第三章能量方法,CD段,由卡氏第二定理可得,(),57,(),第三章能量方法,58,例悬臂梁受力如图所示,在两力F共同作用下,1,2两截面的挠度分别为w1和w2。
试证明:
第三章能量方法,证明:
设作用在1,2两截面的外力分别为F1和F2,且F1=F,F2F,则梁的应变能为Ve=Ve(F1,F2)。
根据复合函数求导法则,,有,59,第三章能量方法,因此,若结构上有几个外力的字符相同时,在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时,应将该力与其它力区分开。
60,例图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI,不计剪力和轴力对位移的影响。
试用卡氏第二定理求A截面的铅垂位移DAy。
解:
由于刚架上A,C截面的外力均为F,求A截面的铅垂位移时,应将A处的力F和C处的力F区别开(图b),在应用卡氏第二定理后,令FA=F。
第三章能量方法,61,即,AB段(0xl)M(x)=FAx,各段的弯矩方程及其对FA的偏导数分别为,第三章能量方法,BC段(0y1l/2)M(y1)=FAl,62,CD段(0y2l/2)M(y2)=FAlFy2,令以上各弯矩方程中的FA=F,由卡氏第二定理得,(),第三章能量方法,63,例图示各杆的直径均为d,材料的弹性常数G=0.4E。
试用卡氏第二定理求A端的铅垂位移(不计剪力对位移的影响)。
解:
AB段的弯矩方程及其对F的偏导数分别为,第三章能量方法,64,(0yl),A端的铅垂位移为,第三章能量方法,,,(),BC段的弯矩和扭矩方程及其对F的偏导数分别为,65,.卡氏第一定理(),例各杆的弹性模量均为E,横截面面积均为A。
试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
第三章能量方法,34用能量法解超静定系统,66,
(2),解:
设1,2,3杆的轴力分别为,和(图b),相应的位移为D1,D2和D3(图c)。
由对称性可知,D1D2。
由图c可知:
第三章能量方法,结构的应变能为,
(1),若求出D3,可由
(1)求出D1(D2)。
再由胡克定律求出轴力。
以D3为基本未知量,该题为一次超静定。
67,解得,由胡克定律得,将(4)式代入
(1)得,(4),第三章能量方法,(3),得,68,以位移作为基本未知量求解超静定问题的方法,称为位移法。
(1)式为变形的几何方程,(3)式为平衡方程。
求轴力时又应用了物理方程。
故位移法仍然是综合考虑了平衡方程,几何关系和物理方程来求解超静定问题的。
第三章能量方法,69,解:
若以各杆的轴力为未知量,该题为(k-2)次超静定问题。
若以A点的水平位移Dx和铅垂位移Dy为未知量,各杆的位移均可用Dx,Dy表示,再由胡克定律求出轴力,该题为二次超静定问题。
第三章能量方法,例318图a中k3。
各杆的弹性模量均为E,横截面面积分别为A1,A2,Ak。
试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
70,第i根杆的长度为,
(1),由图b可知,第i根杆的伸长量为,
(2),结构的应变能为,(3),第三章能量方法,71,由,得,(5),联解(4),(5)可得Dx和Dy。
把Dx和Dy代入
(2)可得,由胡克定律得到第i根杆得轴力,第三章能量方法,(4),72,.余能定理(),例315三杆的材料相同,s=Ke1/n(n1),横截面面积均为A,1,2两杆长度为l。
用余能定理求各杆的轴力。
第三章能量方法,73,第三章能量方法,解:
以铰链D的支反力X为多余未知力,基本静定系如图b所示,F,X看作基本静定系上独立的外力,,所以Vc=Vc(F,X)(不能含有其它未知力),因为铰链D处沿铅垂方向的位移为零,应有,由该式求出X后,再利用平衡方程求各杆的轴力。
74,
(1),(轴力均用F和X表示),第三章能量方法,由平衡方程得各杆的轴力分别为,各杆的应力分别为,
(2),(3),由得,75,第三章能量方法,结构的余能为,(4),三杆的余能密度分别为,76,(4)式包含了平衡方程和物理方程,而,表示变形的几何关系。
由,得,将X值代入
(1),得,第三章能量方法,以力为基本未知量解超静定问题的方法,称为力法。
77,.卡氏第二定理(),用卡氏第二定理来解超静定问题,仍以多余未知力为基本未知量,以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力,应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数,即,变形几何关系为,Di为和的相应位移,它是和约束情况有关的已知量。
第三章能量方法,78,例刚架各杆的弯曲刚度均为EI,不计剪力和轴力对位移的影响,用卡氏第二定理求支反力。
第三章能量方法,79,解:
该题为一次超静定。
以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力,基本静定系如图b所示。
由于,但是在中,出现(Ve也将出现),必须把,第三章能量方法,用q,X表示。
由,得,80,CB,AB段的弯矩方程及其对X的偏导数分别为,,,第三章能量方法,由,得,81,解得()和图示方向相反。
(),(),(),第三章能量方法,由平衡条件得,82,例317半圆环的弯曲刚度为EI,不计剪力和轴力对位移的影响,用卡氏第二定理求对称截面上的内力。
第三章能量方法,83,解:
沿半圆环的对称截面处截开,取两个1/4圆环为基本静定系(图b),多余未知力为轴力X1,弯矩X2,剪力X3。
该题为三次超静定。
第三章能量方法,(a),但由于结构与荷载均是对称的,内力也应该是对称的,但X3是反对称的,故X30,问题简化为二次超静定。
半圆环的应变能只能为F,X1,X2的函数,即,84,与X1,X2相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零,即,(b),弯矩方程及其对X1,X2的偏导数分别为,第三章能量方法,85,注意到基本静定系为两个1/4圆环,(b)式成为,(d),第三章能量方法,(e),将(c)式代入(d)和(e)式,可解得,86,.虚位移原理,第三章能量方法,
(1)刚体,虚位移,满足约束条件的假想的任意微小位移。
虚位移原理作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零(平衡的必要和充分条件)。
35虚位移原理及单位力法,87,第三章能量方法,
(2)可变形固体,满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。
外力作用下,物体产生变形的同时产生内力,虚位移,虚位移原理外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零(平衡的充要条件),即,88,1.梁的虚位移原理,第三章能量方法,图a所示的位移为由荷载产生的实际位移,简称实位移。
荷载对于其相应位移上所作的功为实功。
图b所示的位移为梁的虚位移,它是满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移,与梁上的荷载及其内力完全无关。
89,第三章能量方法,梁上广义力的作用点沿其作用方向的虚位移分别为,外力对于虚位移所作的总虚功为,(a),(a)外力虚功,(b)内力虚功,取梁的dx微段进行分析。
图c为微段的原始位置,其上面各力均由荷载产生,它们为梁的内力,也是微段的外力。
90,由于梁的虚位移,使微段位移至图d所示位置。
微段的虚位移可分为两部分:
第三章能量方法,一为刚性体位移。
(d),91,第三章能量方法,二为变形虚位移。
由于微段本身的虚变形而引起的位移,使微段由移到(图d的虚线)。
变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分,如图(e)和图(f)所示。
(d),92,(b),第三章能量方法,M、对于刚体虚位移要做虚功,但由刚体虚位移原理可知,所有外力对于微段的刚体虚位移所作的总虚功等于零。
M、对于变形虚位移(图e,f),所做的虚功为,93,(b)式为微段的外力虚功dWe,设微段的内力虚功为dWi。
由变形固体的虚位移原理(3-15),即,(c),梁的内力虚功为,(d),将(a),(d)式代入(315)式,得梁的虚位移原理表达式为,第三章能量方法,得,即,(3-16),94,组合变形时,杆横截面上的内力一般有弯矩M,剪力FS,轴力FN及扭矩T。
与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd,与扭矩相应的虚变形位移为扭转角dj。
仿照梁的虚位移原理,可得组合变形时的虚位移原理表达式为,(3-17),第三章能量方法,2.组合变形的虚位移原理,由于以上分析中没有涉及材料的物理性质,所以(3-17)式适用于弹性体和非弹性体问题。
式中Fi为广义力,M,FS,FN,T是由荷载产生的内力,为广义虚位移,dq,dl,dd,为微段的变形虚位移。
95,.单位力法,
(1)因为由荷载引起的位移,满足约束条件和变形连续条件,且为微小位移,满足可变形固体的虚位移条件。
因此,可以把由荷载引起的实际位移D,作为虚位移。
由荷载引起的微段的变形位移dq,dl,dd,dj作为变形虚位移。
即以实际位移作为虚位移。
(2)若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D,可在该处施加一个相应的单位力,并以此作为单位荷载。
即以虚设单位力作为荷载。
由单位力引起的内力记为。
第三章能量方法,96,(3)单位力所做的外力虚功为We=1D,单位力法的虚位移原理表达式为,(3-18),该式同样适用于弹性体和非弹性体问题。
第三章能量方法,杆件的内力虚功为,97,(3-19),于是(3-18)成为,(3-20),式中为由单位力引起的内力,为荷载引起的内力。
为大于1的系数,见例320。
第三章能量方法,(4)线弹性体,由荷载引起的微段变形位移公式为,98,在C截面处施加单位力(图b),由荷载及单位力引起的弯矩方程分别为,(0xl)(a),第三章能量方法,例319梁的弯曲刚度为EI,不计剪力对位移的影响。
试用单位力法求。
(0xl/2)(b),解:
1.求,99,因为均关于C截面对称的,故C截面的挠度为,第三章能量方法,100,A截面处的转角为,第三章能量方法,在A截面处加单位力偶(图c),单位力偶引起的弯矩方程为,(0xl)(c),2.求,101,中的系数的表达式。
解:
梁的单位力法公式的右端,是从梁中取出dx微段,计算因弯矩和剪力引起的内力虚功而导出的。
也可以从梁中取出一个单元体(图b)来计算内力虚功。
仍然以单位力作为荷载,由荷载引起的实际位移作为虚位移。
第三章能量方法,例320试导出梁的单位力法公式,102,单元体各面上的总内力为,(也是单元体的外力)(b),2.由荷载引起的单元体的应力为,(c),第三章能量方法,1.由单位力引起的单元体的应力为,(a),单元体的伸长量为dd,错动量dl(图c,d)分别为,103,3.单元体的外力虚功和内力虚功分别为,(e),第三章能量方法,(变形虚位移)(d),104,式中,,令,(g),第三章能量方法,4.梁的内力虚功为,(f),则,105,式中,(平均切应力),(平均剪应变),为切应力不均匀系数,根据截面形状由计算,矩形截面,圆截面。
梁的外力虚功为1D,由,得,5.梁的单位力公式,106,例322图a所示为圆截面的半圆环小曲率杆,其直径为d,材料的弹性常数为E和G。
荷载沿曲杆轴线均匀分布,其方向垂直半圆环所在的平面。
试用单位力法求A端的铅垂位移DA。
第三章能量方法,(b),(a),107,解:
在A端加沿z方向的单位力(图b),由图c所示的几何关系可得荷载及单位力引起的曲杆横截面上的内力分别为,(a),(b),第三章能量方法,(b),(c),(d),108,A端铅垂位移公式,第三章能量方法,(f),(e),其中,109,其中(),第三章能量方法,故A端的铅垂位移为,110,当G=0.4E,R=5d时,由剪力产生的位移约占总位移的0.4%,一般可不计剪力对位移的影响。
第三章能量方法,第三章完,
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