第二章 光谐振腔理论..ppt

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第二章光学谐振腔理论,2.1激光振荡条件了解光波模式的基本概念，掌握激光振荡的增益条件和光学正反馈条件。

2.2开放光学球面谐振腔的稳定性掌握稳定性判别原理和方法。

2.3光学谐振腔的损耗掌握光学谐振腔几种损耗术语与概念。

2.4开放谐振腔模式衍射理论了解衍射积分理论，掌握基模参数的计算公式，熟悉高阶模的特点。

2.5一般球面稳定腔模式2.6非稳腔掌握共轭像点的计算方法，了解损耗的计算方法。

本章大纲,激光产生的三个前提条件（激光器的基本结构）,激光工作物质：

其激活粒子（原子、分子或离子）有适合于产生受激辐射的能级结构，能够实现粒子数反转，产生受激光放大激励源：

能将低能级的粒子不断抽运到高能级，补充受激辐射减少的高能级上粒子数，使激光上下能级之间产生集居数反转光学谐振腔：

使受激辐射的光能够在谐振腔内维持振荡，提高光能密度,光学谐振腔的结构：

在增益介质的两端各加一块反射镜M1、M2。

其中一块为全反射镜；另一块为部分反射镜（反射率接近于1）。

放大的条件：

光在腔内往返一次时放大的量大于损耗的量光学谐振腔的作用：

延长增益介质作用长度;控制光束传播方向;选频（激光技术部分会讲）,2.1光学谐振腔概论,1）光波模式光学谐振腔内可能存在的电磁波的本征态称为腔的模式腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。

同一模式内的光子，具有完全相同的状态（如频率、偏振等）。

腔内电磁场的本征态（模式）由麦克斯韦方程组及腔的边界条件决定。

一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡模的特征也就随之确定下来腔与模的一般联系。

麦克斯韦方程的本征解的电场分量,2.1光学谐振腔概论,一个模式在波矢空间中占有体积,模式密度,z方向开放两维矩形谐振腔,y方向或x方向限制去掉，一维谐振腔，F-P结构，模式密度将变为一个常数光学谐振腔,相邻两个模式波矢之间的间距,2.1光学谐振腔概论,开腔中的振荡模式以TEMmnq表征。

TEM表示纵向电场为零的横电磁波，m、n、q为正整数，其中q为纵模指数，m、n为横模指数。

模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向电磁场分布与横模指数有关。

m与n为零的模称作基模，m=1或n=1的模称作高阶模。

一个完整的模式不但有确定的横向分布，而且沿纵向形成驻波（驻波型谐振腔）。

横模与纵模体现了电磁场模式的两个方面。

2.1光学谐振腔概论,L一定的谐振腔只对一定频率的光波才能提供正反馈，使之谐振；F-P腔的谐振频率是分立的,谐振腔内只能存在满足以下条件的光场：

经腔内往返一周再回到原来位置时，与初始出发波同相（即相差是2的整数倍相长干涉,2.1光学谐振腔概论,腔光学长度为半波长的整数倍（驻波条件）,2.1光学谐振腔概论,2.1光学谐振腔概论,达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。

满足此条件的平面驻波场称为平行平面腔的本征模式腔内光强沿z轴的分布不是均匀的，而是强弱相间地分布着。

光强最强的明亮区，称为波腹；最弱的黑暗区，称为波节。

将由整数q所表征的腔内纵向光场的分布称为腔的纵模，不同的q相应于不同的纵模，或相应于驻波场波腹的个数。

纵模间隔与q无关，腔的纵模在频率尺度上是等间隔排列的,激活介质的增益系数G：

光波在介质中经过单位长度路程光强的相对增长率，也代表介质对光波放大能力的大小考虑损耗：

2）增益系数与激光振荡的条件,2.1光学谐振腔概论,2.1光学谐振腔概论,r振幅反射率，t振幅透射率,出射的光场E1En振幅叠加：

2.1光学谐振腔概论,2.1光学谐振腔概论,不需要初始从腔外输入微弱场以触发自激振荡。

腔内初始一个光子的微弱自发辐射即可以使激光器振荡。

2.1光学谐振腔概论,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,1）光线变换矩阵腔内任一傍轴光线在某一给定的横截面内都可以由矩阵来表征：

r为光线离轴线的距离、为光线与轴线的夹角。

规定：

光线出射方向在腔轴线的上方时，为正；反之，为负。

当凹面镜向着腔内时，R取正值；当凸面镜向着腔内时，R取负值。

用一个二阶方阵描述入射光线和出射光线的坐标变换。

该矩阵称为光学系统对光线的变换矩阵T。

2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,近轴光线在自由空间的传播,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,近轴光线在球面镜上反射的变换矩阵,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,近轴光线通过焦距为f的薄透镜的变换矩阵,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,习题：

2）光线在谐振腔中往返一周变换矩阵,由曲率半径为R1和R2的两个球面镜M1和M2组成的共轴球面腔，腔长为L，开始时光线从M1面上出发（以M1为参考）向M2方向行进。

2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,傍轴光线在腔内完成一次往返，总的坐标变换为,傍轴光线在腔内完成一次往返总的变换矩阵为,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,光线在腔内往返传输n次时,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,3）共轴球面腔的稳定性条件,傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸出腔外，要求n次往返变换矩阵Tn的各个元素An、Bn、Cn、Dn对任意n值均保持有限谐振腔的稳定条件,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,如果光线在腔内的初始出发位置及往返一次的行进次序的不同，矩阵T各元素的具体表达式也将各不相同。

可以证明，（A+D）/2对于一定几何结构的球面腔是一个不变量，与光线的初始坐标、出发位置及往返一次的顺序都无关。

共轴球面腔的往返矩阵以及n次往返矩阵均与光线的初始坐标无关，可以描述任意傍轴光线在腔内往返传播的行为。

2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,共轴球面腔的分类：

稳定腔在腔内往返n次后，仍然会回到原来的状态，谐振腔具有能够自再现的光线状态，旁轴光线在腔内往返无限多次而不会横向逸处腔外非稳腔临界腔,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,双凹稳定腔,常见的几种稳定腔、非稳腔、临界腔：

稳定腔：

平-凹稳定腔,半共焦腔（L=R/2）,凹-凸稳定腔,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,稳定腔：

对称共焦腔R1=R2=L,平行平面腔R1=R2=,临界腔：

2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,对称共心腔R1=R2=L/2,虚共心腔R1+R2=L，R1、R2异号,实共心腔R1+R2=L，R1、R2均为正值,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,临界腔：

双凹非稳腔,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,非稳腔：

平凹非稳腔,凹凸非稳腔,双凸非稳腔,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,非稳腔：

稳区图：

2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,任意一个具有确定（R1、R2、L）值的球面腔唯一地对应于图中一个点，但反过来，图中每个点并不单值地代表某一具体尺寸的球面腔。

对称共焦腔（本属于临界腔g1=0，g2=0），其中任意傍轴光线均可在腔内往返多次而不横向逸出，而且经两次往返即自行闭合。

在这种意义上，共焦腔属于稳定腔之列。

共轴球面腔的稳定性条件改写为：

2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,可以证明，（A+D）/2对于一定几何结构的球面腔是一个不变量，与光线的初始坐标、出发位置（如在腔面上或在腔内任何其他点）及往返一次的顺序无关。

对于复杂开腔，稳定性条件为：

对简单共轴球面腔，稳定性条件为：

2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,一般中小功率的气体激光器常用稳定腔，它的优点是容易产生激光；非稳定腔不宜用于中小功率的激光器，但对于增益系数大的固体激光器常用非稳定腔产生激光，光的准直性均匀性较好，它的优点是可以连续改变输出光的功率对称共焦腔是建立模式理论的基础，是一种最重要的稳定腔,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,4）多元件谐振腔的稳定性判别,腔内有介质棒,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,平凹腔内插入薄透镜,2.2开放光学球面谐振腔的稳定性,光线从透镜入射，经过距离l1的均匀空间，受平面镜反射，再经过距离l1的均匀空间，最后从透镜出射后变换矩阵为TF,l1,考点：

谐振腔稳定性的判断对复杂腔，给出稳定性条件,损耗类型：

输出损耗衍射损耗几何偏折损耗吸收、散射损耗插入损耗,2.3光学谐振腔的损耗,2.3光学谐振腔的损耗,输出损耗：

镜面上透射出去作为激光器的有用输出部分衍射损耗：

腔镜具有有限大小的孔径，光波在镜面上发生衍射时形成的损耗与腔的菲涅尔数（）有关，N愈大，损耗愈小（a:

腔镜半径）与腔的几何参数有关与横模阶次有关,几何偏折损耗：

光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的损耗。

取决于腔的类型和几何尺寸几何损耗的高低依模式不同而异，高阶横模损耗大于低阶横模损耗是非稳腔的主要损耗几何偏折损耗和衍射损耗称为选择损耗，不同模式的几何偏折损耗和衍射损耗各不相同,2.3光学谐振腔的损耗,插入损耗：

插入玻片、电光调制器、声光调制器等器件引入的损耗,吸收、散射损耗：

由于工作物质成分不均匀、粒子数密度不均匀或有缺陷（如固体激光器）而使光产生折射、散射，使部分光波偏离原来的传播方向，以及其它对光能的吸收，造成光能量损耗。

内部损耗与增益介质长度有关。

镜面的散射、吸收、由于光的衍射使光束扩散到反射镜面以外造成的损耗以及由镜面上透射出去作为激光器的有用输出。

2.3光学谐振腔的损耗,1）平均单程损耗因子,如果初始光强为I0，在无源腔内往返一周后光强衰减到I1，平均单程损耗因子：

单程渡越时光强的平均衰减百分数；R：

功率反射系数；a：

腔内其他损耗,2.3光学谐振腔的损耗,R称为腔的时间常数，光子数减小为t=0时刻的1/e由于腔内存在损耗，光场振幅随时间指数衰减,2）光子在腔内的平均寿命R,t=0时光强I0为初始光强，在腔内往返m次后（t时刻）光强为Im,2.3光学谐振腔的损耗,设t时刻腔内光子数密度为N（t），N0表示t=0时刻光子数密度可证明：

腔的时间常数等于光子在腔内的平均寿命,2.3光学谐振腔的损耗,腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。

Q值大，表示光腔的储能好，损耗小，腔内光子寿命长。

3）无源谐振腔的品质因数Q,：

储存在腔内的总能量；P：

单位时间内损耗的能量,2.3光学谐振腔的损耗,4）无源腔本征模式带宽c,2.3光学谐振腔的损耗,2.4开放谐振腔模式衍射理论,1）模式自再现,把开腔镜面上经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模,衍射理论的分析方法,求解开腔模式，归结为求解菲涅耳基尔霍夫衍射积分；,2.4开放谐振腔模式衍射理论,2.4开放谐振腔模式衍射理论,衍射理论的分析方法求解开腔模式，菲涅耳基尔霍夫衍射积分已知某一镜面上的场分布u1（x,y），在衍射作用下经腔内一次渡越而在另一个镜面上生成场u2（x,y）,考虑对称开腔中的自再现模。

按照模式再现概念，当式中的j足够大时，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，uj+1应能将uj再现出来，即,此即模式再现概念的数学表达,2.4开放谐振腔模式衍射理论,经过j次渡越后所生成的场uj+1与产生它的场uj之间满足：

2.4开放谐振腔模式衍射理论,以v（x,y）表示开腔中这一不受衍射影响的稳态场分布函数（即uj、uj+1、），有,满足方程的任意一个分布函数v（x,y）就描述腔的一个自再现模或横模。

一般地，v（x,y）应为复函数，它的模v（x,y）描述镜面上场的振幅分布，而其辐角argv（x,y）描述镜面上场的相位分布。

积分方程的核（Kernel）,2.4开放谐振腔模式衍射理论,将复常数表示为，代入的定义，得到,复常数的意义,e-量度每经单程渡越时自再现模的振幅衰减，愈大,衰减愈甚，0时，自再现模在腔内能无损耗地传播表示每经一次渡越模的相位滞后，愈大相位滞后愈多,2.4开放谐振腔模式衍射理论,自再现模在腔内经单程渡越的总相移定义为,在对称开腔的情况下，,自再现模在腔内经单程渡越时产生的相对功率损耗称为模的单程损耗，通常以d表示。

在对称开腔情况下,愈大，模的单程损耗愈大,2.4开放谐振腔模式衍射理论,2.4开放谐振腔模式衍射理论,可以证明,2.4开放谐振腔模式衍射理论,2）共焦腔中自再现模近似解,方形对称共焦腔,2.4开放谐振腔模式衍射理论,2.4开放谐振腔模式衍射理论,推导过程参：

光学谐振腔理论.pdf,镜面上（z=L/2）自再现场分布为其自身的付里叶变换，其解为厄密多项式和高斯函数的乘积,镜面上的光斑半径,为第m和n阶厄密多项式,2.4开放谐振腔模式衍射理论,空间任意位置的场分布可由镜面上的场通过菲涅耳基尔霍夫衍射积分得到,2.4开放谐振腔模式衍射理论,场在镜面上为等相位面。

场振幅相位分布上机题1：

用MATLAB画等相位面、振幅分布,2.4开放谐振腔模式衍射理论,基模（mn0）振幅分布为高斯函数：

2.4开放谐振腔模式衍射理论,2.4开放谐振腔模式衍射理论,的渐近线夹角定义为光束的发散角,高阶模：

2.4开放谐振腔模式衍射理论,前三阶厄米-高斯模式,方形谐振腔横模示意图：

实际为多横模的叠加腔镜有选横模的作用,He-Ne激光器基模,Nd:

YAG激光器多模,2.4开放谐振腔模式衍射理论,引入柱坐标系分离变量后求解得到：

3）圆对称情况下自再现模式,为拉盖尔多项式,2.4开放谐振腔模式衍射理论,拉盖尔多项式相位,圆形谐振腔横模示意图：

2.4开放谐振腔模式衍射理论,TEM00,TEM02,2.4开放谐振腔模式衍射理论,方形共焦腔内光场相位：

圆形共焦腔内光场相位：

2.4开放谐振腔模式衍射理论,共焦腔内光场的等相位面,2.4开放谐振腔模式衍射理论,2.4开放谐振腔模式衍射理论,2.4开放谐振腔模式衍射理论,基模，高斯光束：

2.5一般球面稳定腔模式,1）球面稳定腔与共焦腔的等价,证明：

任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价,球面腔c1，c2，c3，c4，与波阵面重合,0g1g21,此谐振腔是稳定腔,2.5一般球面稳定腔模式,2.5一般球面稳定腔模式,证明：

任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔,当R10（凹面反射镜）时，Z10，Z20，光腰在左面腔外当R10（凹面反射镜），R20（凸面反射镜）时，Z10，Z20，光腰在左面腔外平凹腔，光腰在平面镜面上,2.5一般球面稳定腔模式,任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价任一个共焦腔模有无穷多个等相位面，可构成无穷多个等价球面腔证明所有这些球面腔都是稳定腔任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔由稳定球面腔的腔参数（R1、R2、L）可以唯一地解出一组数（z1、z2、f2），从而唯一地确定等价共焦腔,2.5一般球面稳定腔模式,2）谐振频率,稳定腔与共焦腔可等价，具有相同的横模结构。

由于腔长不同，谐振频率是不同的，因此纵模不同。

第m，n阶模式在腔内传播时，相位为,2.5一般球面稳定腔模式,谐振条件为模式在腔内往返传播一周后干涉相长，即往返传播一周后相位滞后为的整数倍方形腔谐振频率（作业：

证明该式）圆形腔谐振频率q称为纵模指数，m，n称为横模指数,2.5一般球面稳定腔模式,平行平面镜腔实际激光器腔内介质往往分段均匀的，谐振频率为,实际激光器的振荡频率还要受到增益线宽的限制。

在增益线宽的限制下，一般只有少数几个模式能够振荡,2.5一般球面稳定腔模式,腔光学长度为半波长的整数倍,2.5一般球面稳定腔模式,时，谐振频率存在简并现象,2.5一般球面稳定腔模式,共焦腔的振荡频谱及纵模和横模的关系,2.5一般球面稳定腔模式,2.6非稳腔,非稳腔有很大的几何损耗自再现波形近似为球面波，在腔内往返传播时，波阵面不断扩展能够使模式充分覆盖大截面激活介质非稳腔在某些高功率激光器中会得到应用,任何双凸腔都是非稳腔，任何平凸腔都是非稳腔,2.6非稳腔,1）虚共焦与实共焦非稳腔,2.6非稳腔,2）非稳腔的几何自再现波形,证明：

不考虑镜边缘上的衍射时，非稳腔的自再现波形为腔轴线一对共扼像点上发出的球面波,称（p1，p2）点为共扼像点,根号前取“”号时，表明p1点在M1左方，p2点在M2右方；反之，p1点在M1右方，p2点在M2左方。

这对共扼像点记为（p1,p2）,2.6非稳腔,2.6非稳腔,双凸非稳腔的共扼像点：

1）共扼像点发出的初始波束被扩展2）共扼像点发出的初始汇聚波在腔内波束不断被压缩,p1与p2重合，p2与p1重合（p1，p2）共扼像点是不稳定的（p1，p2）共扼像点是稳定的,2.6非稳腔,证明：

（p1，p2）共扼像点是不稳定的；（p1，p2）共扼像点是稳定的,虚共焦腔实共焦腔对于共焦腔，共扼像点在两镜公共焦点上，另一个共扼像点在无穷远处,2.6非稳腔,3）几何放大率和能量损耗,镜面对波束的放大率,2.6非稳腔,自再现波形在腔内往返一周的放大率双凸腔共焦腔M1镜截取能量比例往返一周的能量损耗,2.6非稳腔,例：

He-Ne激光器谐振腔长50cm，激光波长632.8nm求：

纵模频率间隔，谐振腔内的纵模序数及形成激光振荡的纵模数；,解:

例：

求相邻纵模的波长差异,已知：

He-Ne激光器谐振腔长50cm，若纵模模式m的波长为632.8nm；计算：

纵模m+1的波长；解：

纵模的频率间隔为,由lm=0.6328000*10-6m可以得到：

由：

故：

lm=632.8000nm,lm+1=632.7996nm相邻纵模的波长差：

lm-lm+1=4*10-13m,则有：

一激光器采用球面腔，两个反射镜的曲率半径分别为,谐振腔长。

求：

（1）证明谐振腔为稳定腔，并确定它的等价共焦腔；

（2）该谐振腔产生的基模高斯光束的束腰半径与腰位置；（3）该谐振腔产生的基模高斯光束在球面腔两镜面上的光斑半径；,解答,谐振腔的几何参数：

已知：

即：

（1）证明谐振腔为稳定腔，并确定它的等价共焦腔；,满足谐振腔稳定的条件，因此，该谐振腔为稳定腔。

该稳定谐振腔唯一地等价于某一共焦腔：

以共焦腔的光轴中心为坐标原点，则球面腔的两面反射镜位于，,球面腔腔长,等价共焦腔腔长,解答,2）该谐振腔产生的基模高斯光束束腰半径与腰位置,束腰半径：

束腰位置Z=0处。

3）基模高斯光束在球面腔两镜面上的光斑半径；,解答,本章小结,光波模式的基本概念激光振荡的增益条件和光学正反馈条件振腔稳定性判别原理和方法光学谐振腔几种损耗衍射积分理论，基模参数的计算公式，高阶模的特点一般球面稳定腔模式非稳腔共轭像点的计算方法，损耗的计算方法,练习：

练习：

练习：

选模技术,激光的优点在于它具有良好的单色性、方向性和相干性。

理想的激光器输出光束应该只有一个模式，但是对于实际的激光器，如果不采取模式选择，它们的工作状态往往是多模的。

含有高阶模式横模的激光束光强分布不均匀，光束发散角大。

含有多纵模及多横模的激光器单色性及相干性差。

在激光准直、激光加工、非线性光学、激光远程测距等领域都需要基横模激光束。

在精密干涉测量，光通讯及大面积全息照相等应用中更要求激光是单横模和单纵模光束。

因此，设计和改进激光器的谐振腔以获得单模输出是一个重要课题。

横模的选择,在稳定腔中，基模的衍射损耗最小，随着横模阶次的增高，衍射损耗将迅速增加。

谐振腔中不同的横模具有不同的衍射损耗是横模选择的物理基础。

为了提高模式的鉴别能力，应该尽量增大高阶模式和基模的衍射损耗比，同时，还应该尽量增大衍射损耗在总损耗中占有的比例；衍射损耗的大小及模鉴别能力的值与谐振腔的腔型及菲涅耳系数有关。

高阶横模的光束发散角和可以通过基模的光斑和发散角求出来：

腔内加光阑（小孔光阑选模）,在谐振腔内设置小孔光阑和限制工作物质横截面面积可以降低谐振腔的菲涅耳系数，增加衍射损耗，使激光器单模运行。

这一方法实际是使光斑尺寸较小的基模无阻拦地通过小孔光阑，而光斑尺寸较大的高阶横模却受到阻拦而遭受较大的损耗。

腔内加光阑（聚焦光阑选模）,为了扩大基模体积充分利用工作物质，通常采用聚焦光阑选模,纵模的选择,一般的谐振腔中，不同的纵模具有相同的损耗，因而进行模式鉴别和选择时应可以利用不同纵模的不同增益。

同时，也可以引入人为的损耗差。

激光器的振荡频率范围和频谱：

由工作物质增益曲线的频率宽度来决定。

缩短腔的长度（短腔法）,相邻两个纵模的频率差：

则当：

时可以实现单纵模谐振。

缺点：

腔长太短，输出功率低。

腔内插入F-P标准具法,物理基础：

F-P只能对某些特定频率的光通过。

产生振荡的频率不仅要符合谐振腔共振条件，还要对标准具有最大的透过率,腔内插入F-P标准具法,平板组合透过率是入射光波频率和平板反射率的函数,相邻透过率峰的相位差,其中：

相邻透射峰之间的频率间隔（自由光谱区）为：

腔内插入F-P标准具法,F-P标准具选纵模,腔内插入F-P标准具法,调整F-P标准具的参数，使得在增益线宽范围内，只有一个透射峰，同时在一个透射峰谱线宽度范围内只有一个模式起振，则可以实现单纵模工作。

即选模条件为：

选择合适的标准具光学长度，使标准具的自由光谱范围与激光器的增益线宽相当。

使在增益线宽内，避免存在两个或多个标准具的透过峰。

选择合适的标准具界面反射率，使得被选纵模的相邻纵模由于透过率低，损耗大而被抑制。

F-P标准具选纵模法,斜置法珀标准具选纵模：

对波长选择性反射，抑制多余纵模振荡用标准具取代输出反射镜（谐振反射器）：

对波长的选择性透过率，对不需要的纵模引入大的损耗。