外校四年级创新思维训练电子版1.docx
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外校四年级创新思维训练电子版1
第一讲加、减法中的巧算
〈知识广角〉
1、加法的运算定律。
加法交换律:
交换两个加数的位置和不变。
即:
a+b=b+a。
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变。
即:
a+b+c=a+(b+c)。
2、减法的运算性质。
连续减去两个数等于减去这两个数的和。
即:
a-b-c=a-(b+c)
加法的运算定律和减法的运算性质适合多个加数或减数的计算。
3、加减混合运算性质。
(1)“带着符号走”的交换性质:
a-b-c=a-c-b或a-b+c=a+c-b
(2)去括号和添括号的性质。
去括号
a+(b-c)a+b-c(括号前面是“+”,括号内的符号不变)
添括号
去括号
a-(b-c) a-b+c(括号前面是“-”,括号内的符号要变)
添括号
〈方法探究〉
例1:
.计算:
(1)298+76
(2)835-497
(3)9+99+999+9999+3
【思路导航】
这三道题都有一个共同的特征:
在参与运算的数中都有一个或多个数接近于整十、整百、整千,在计算时就可以利用这一特征。
例如
(1)298接近于300,原式就变成300+76-2(因为298看成300,多加了2);
(2)497接近于500,原式就变成835-500+3(因为本来只去掉497,此时去掉了500,多去掉了3,所以将多去的3补回来);(3)9接近于10,99接近于100,999接近于1000,9999接近于10000。
所以原式就变成10+100+1000+10000+3-4。
解:
(1)298+76
(2)835-497
=300+76-2=835-500+3
=376-2=335+3
=374=338
(3)9+99+999+9999+3
=10+100+1000+10000+3-4
=11109
【思维链接】
计算中,我们首先要观察算式的特点,如果遇到参与运算的数接近于整十、整百、整千,就将接近于整十、整百、整千的数看成整十、整百、整千,多加了就减,多减了就加,少加了再加,少减了再减。
【举一反三】
1.433+501
2.843-206
3.8+98+998+9998+6
例2:
(1)236+97+764+803
(2)746-67-33
【思路导航】
观察以上两个算式发现
(1)中236与764相加能凑成1000,97与803相加能凑成900,所以本题可以交换加数的位置进行凑整;
(2)中发现67与33相加能凑成100,本题是一道连减的算式,可以利用减法的性质,减去67与33的和,能使计算简便。
解:
(1)236+97+764+803
(2)746-67-33
=(236+764)+(97+803)=764-(67+33)
=1000+900=764-100
=1900=664
【思维链接】
在连加、连减甚至加减混合的运算中,将算式进行分组凑整是经常用到的计算方法,甚至有时还需要先去括号后再分组进行简便计算。
例如:
454+(546-98),去括号变成454+546-98,重新将454与546先加凑成1000,再减去98得到902。
【举一反三】
4.73+126+27
5.3000-36-864
6.954-(154-128)
例3:
计算102+99+103+96+105+103+98
【思路导航】
观察算式发现,算式中的所有加数都接近同一个数:
100,可以先将加数都看做是100,再将多加的部分去掉,少加的部分补上,所以可以将原算式变成:
100×7+(2-1+3-4+5+3-2),这样计算起来就比较简单。
解:
102+99+103+96+105+103+98
=100×7+(2-1+3-4+5+3-2)
=700+6
=706
【思维链接】
当许多大小不同而又比较接近的数相加时,可选择其中一个数或所有数都很接近的一个整十、整百、整千…的数作为计数的基础(叫做基准数),再找出每个加数与基准数的差,大于基准数的部分再加,小于基准数的部分再减,最后算出结果。
【举一反三】
7.199+202+196+201+203
8.56+51+49+48+53+47
例4:
计算:
100+99-98+97-96+……+3-2+1
【思路导航】
观察算式,这道题有加有减,如果不看首尾两个加数,发现中间都是先加再减并且加数和减数都相差1,所以这道题可以先将中间部分凑成若干个1,再算其余部分。
解:
100+99-98+97-96+……+3-2+1
=100+(99-98)+(97-96)+……(3-2)+1
=100+49+1
=150
【思维链接】
在加减混合的算式中,往往是先观察数据特征之后,再重新将数进行组合,达到凑整的目的,这样计算能简便。
。
2
【举一反三】
9.203-202+201-200+199-198+……+3-2+1
10.96-95+94-93+92-91+……+4-3+2-1
〈指点迷津〉
加减法中的简便计算,同学们需要首先观察算式中数据的特征,尽量以凑整为目的进行简便。
其中可能会用到加法的交换律、结合律,减法的性质,加减混合运算中的添括号、去括号的方法进行凑成整十、整百、整千的数使计算简便。
数学冲浪
扬帆起航:
11.985-496
12.487-187-139-61
13.67+74+71+70+68
14.2+4+6+8+10+12+14+16+18
乘风破浪:
15.6998+4995+997+107+91
16.3687-222-363-478-687-1637
17.843-33-75+25
18.7+9+99+999+9999
激流勇进:
19.1-2+3-4+5-6+7-……+99-100+101
20.1+3+5+7……+27+29+31
21.801+802+803+798+808-795
22.(2+4+6+8+……+200)-(1+3+5+7+……+199)
第二讲 乘除法算式谜
〈知识广角〉:
1、算式谜一般是给出某个算式的横式或竖式,但式子中有某些特定的数字或待定的运算
符号,要求我们根据运算法则、特征进行合适的推理判断,把不完整的算式补充完整。
2、解题时通常需要经过审题、选择突破口和试验求解三个步骤。
〈方法探究〉:
例1:
(1) 3 □ 7
(2) 1 4 □
× □ × □ 6
2□9□8□□
2□□
3692
【思路导航】
(1)这一题的突破口在积的千位,积的千位是2,那么第二个因数约在5至9之间。
我们可以从最大的9开始试起,个位7乘9得63,要向十位进6;积的十位是9,9减去进的6还剩3,第一个因数的十位只有填7,但是第一个因数的百位3乘9再加上进位的数得三十几,与积的前两位是二十几矛盾,显然这个假设不成立。
我们再尝试第二个因数是8。
个位7乘8得56,向十位进5,积的十位是9,减去进的5还剩4,所以可以在第一个因数的十位填3,百位与8相乘再加上进位的数得26,正合适。
解答:
337
×8
2696
这一题还有别的填法吗?
(2)这一题的突破口在积的个位,积的个位是2,第二个因数的个位是6,那么第一个因数的个位有两种可能,就是2或7。
我们可以将之代入尝试,检验。
还有一个突破口就是第一个因数与第二个因数的十位相乘后,积的最高位是2,所以第二个因数的十位应该是2。
解答:
142
×26
852
284
3692
【思维链接】:
找准突破口是解决问题的关键。
当某个数位上的数有几种不同的可能时,我们可以将之逐一代入进行尝试,试验求解。
【举一反三】:
1、317□2、285
×□×□□
□□□001□2□
□□□
□9□□
例2:
算式中的不同的汉字各代表哪个数字?
读好书
×读好书
□□□□
□□书
□□□
书
书□□书
【思路导航】:
由读好书×书=□□□书,可知书不等于1或0,因此书只等于5或6。
假设书=5,由于读好书×读的乘积是三位数,所以“读”不大于3,且读好书×读的乘积的百位上的数字大于等于3小于等于5,所以读=2。
由于读好书×好=□□5,可知好是奇数,且小于5。
我们可以得出答案。
解答:
235
×235
1175
705
470
55225
【思维链接】:
有时我们可以根据积的位数来圈定未知数的取值范围。
【举一反三】:
3ABCD
×4
DCBA
4、新年好
×年好
□□49
□□□□
□□9□□
例3:
3□
□4□□8
4□
□□
□□
0
【思路导航:
】
因为除数□4乘商的十位3得4□,所以除数的十位应该是1。
因为被除数的个位是8,且没有余数,所以□4×□=□8,那么商的个数是2或7。
将之代入尝试求解。
解答:
32
14448
42
28
28
0
【思维链接】:
也可以将之转化为一道乘法算式3□×□4=□□8来求解。
【举一反三】:
5、□□
1□468
36
1□□
1□□
0
6、□□
□915□□
□□5
□8
□8
0
〈指点迷津〉:
同学们,我们在破解有趣的算式谜时,一定先要认真审题,看题目里有哪些已知数,且将能确定的数先填出来,再来选择突破口,进一步求解。
有时这个未知数可能有几种不同的填法,我们再将之代入进行试验求解。
数学冲浪
扬帆起航:
1、7□□
×□
44□□
2、□□
□□□6
5□
3□
□□
4
3、6□
×□□
□□
□□
□□8
4、6□
×3□
□□
1□8
□□□□
5、
6、
7、□□
□
314□□
□□8
□9
□9
0
第三讲 较复杂的和、差、倍问题
〈知识广角〉:
1、和差问题:
已知两数之和与两数之差求两数的应用题称之为和差问题。
数量关系:
(和-差)÷2=较小数
(和+差)÷2=较大数或者:
和-较小数=较大数
2、和倍问题:
已知两数之和与两个量的倍数关系求两数的应用题称之为和倍问题。
数量关系:
两数和÷(倍数+1)=1倍数
1倍数×倍数=几倍数或者:
两数和-1倍数=几倍数
3、差倍问题:
已知两数之差与两个量的倍数关系求两数的应用题称之为差倍问题。
数量关系:
两数差÷(倍数-1)=1倍数
1倍数×倍数=几倍数
4、在涉及和、差、倍问题时,应善于将已知条件进行变形,找到相关的量。
另外,选取合适的量作为1倍数也很重要。
〈方法探究〉:
例1:
兄妹两人共有18块糖,妹妹给哥哥3块后就和哥哥一样多。
两人原来各有多少块糖?
【思路导航】
此题是基本的和差问题,难点就在于哥哥和妹妹的相差量未知,所以找到哥哥和妹妹糖的数量相差多少,此题就容易解决了。
“妹妹给哥哥3块后就和哥哥一样多”说明妹妹应该比哥哥多(3×2)块。
可见,妹妹比哥哥多6块,又知兄妹两人的和为18块,这样我们就可以求出两人各有多少块糖了。
妹妹:
?
块
||||
3块3块(给哥哥)
哥哥:
||———|
?
块
3块
解:
妹妹比哥哥多:
3×2=6(块)
哥哥有:
(18-6)÷2=6(块)
妹妹有:
18-6=12(块)
答:
哥哥有6块糖,妹妹有12块糖。
想一想,你还有其他解法吗?
【思维链接】:
在和差问题中,经常会遇到像例1一样两个量的和或者差未知的情况,这时可以通过线段图找到两个量的和或者两个量的差,再利用数量关系来解决问题。
【举一反三】:
1、上下两层书架中共70本书,若下层给上层4本,则两层书架中的书同样多。
这个书架上下两层原来各有书多少本?
2、小明喜欢数学,在一次考试中数学分数比语文高8分,已知语文、数学两科的平均分是95分。
小明的数学考了多少分?
例2:
甲、乙两筐梨,共重362千克,甲筐比乙筐的3倍少38千克,求两筐各重多少千克?
【思路导航】:
甲筐虽然不恰好是乙筐的倍数,我们可以假设甲筐正好是乙筐的3倍,即甲筐增加38千克,甲乙两筐梨之和362千克也随着增加38千克,即(362+38)千克正好是乙筐的3倍,即可求出乙筐里的重量。
?
千克
乙:
|—————|
3倍
甲:
|—————|—————|———|——|
少38千克
解:
乙筐有:
(362+38)÷(3+1)
=400÷4
=100(千克)
甲筐有:
362-100=262(千克)
答:
甲筐有262千克,乙筐有100千克。
【思维链接】:
在解决和倍问题时,经常会遇到题中两个量之间不是整倍数的情况,这就需要我们通过假设两个量之间是整倍数关系,或者利用线段图,找到新的和与倍数和,再应用数量关系解决。
甚至遇到三个量的和倍问题时也可以用同样的思路去解决。
【举一反三】:
3、养鸡场有公鸡和母鸡共350只,其中公鸡比母鸡的3倍少10只。
求公鸡和母鸡各多少只?
4、师傅和徒弟共生产零件410个,师傅生产的个数比徒弟的3倍多10个。
师、徒各生产多少个?
例3:
今年小胖8岁,妈妈的年龄是36岁,几年前妈妈的年龄是小胖的8倍?
【思路导航:
】
妈妈、小胖的年龄每年都会增长一岁,所以两人的年龄差是保持不变的,那么几年前的年龄差也会是一样,这时一道差、倍问题。
几年前的年龄数量关系线段图如下:
小胖:
|----|36-8解:
差:
36-8=28(岁)
差对应的倍数:
8–1=7
妈妈:
|----|----|----|----|----|----|----|----|几年前小胖的年龄:
28÷7=4(岁)
8–4=4(年)
答:
4年前妈妈的年龄是小胖年龄的8倍。
【思维链接】:
年龄问题有一个无形的桥粱,两人的年龄差保持不变,但是年龄的倍数差是会变的,所以我们可以通过差及对应的倍数,先推导出一倍数,再推导多倍数。
【举一反三】:
5、今年小胖的年龄是8岁,妈妈的年龄是36岁。
妈妈的年龄是胖胖的3倍时,妈妈几岁?
6、晓晓和奶奶的年龄差是60岁,当奶奶的年龄是晓晓的5倍时,晓晓和奶奶的年龄和是多少岁?
例4:
甲、乙、丙的和是56,甲数是乙数的4倍,丙数比乙数多14,甲、乙、丙三个数各是多少?
【思路导航】:
甲、乙、丙三个数和知道,但是三个数没有已知量,根据线段图,我们可以先求出丙数是多少,再推道其它两个数。
?
甲:
|-----|-----|-----|-----|解:
先求出乙数的6倍再求乙数;(56-14)÷(4+1+1)
?
=42÷6
乙:
|-----|14=7
甲数:
7×4=28
丙:
|-----|-----------|丙数:
7+14=21
答;甲数是28,乙数是7,丙数是21。
?
【思维链接】:
当三个数都是未知数时,最好的分析帮手就是线段图,通过线段图找出一份数,再求多份数或较大的数。
【举一反三】:
7、甲、乙、丙三数之和是420,甲是乙的3倍,丙为乙的2倍,求甲、乙、丙各是多少?
8、甲、乙、丙三数之和是183。
乙比丙的2倍少4,甲比丙的3倍多7,求甲、乙、丙三数各是多少?
〈指点迷津〉:
同学们,我们在解决和、差、倍问题时,往往会遇到“数量差”与“倍数差”或者“总数量”与“总倍数”没有直接给出的情况,这时我们就需要对数量进行调整,找出新的对应关系。
在解题过程中,根据已知条件和问题画出线段图,可以使数量关系一目了然,解题方便。
数学冲浪
扬帆起航:
1、甲和乙两个桶共装水30千克,如果从甲桶倒入乙桶6千克,则甲、乙两桶水就同样重。
原来甲桶和乙桶各装水多少千克?
2、小明和小红共有20块巧克力,如果小明吃掉8块后比小红少2块。
两人原来各有多少块巧克力?
3、一块长方形木板,长是宽的2倍,周长是42厘米。
这个长方形木板的面积是多少平方厘米?
4、甲乙冷库原来共存牛肉92吨,乙库存肉比甲库的4倍少3吨。
原来甲库存牛肉多少吨?
5、今年比小亮大33岁,妈妈的年龄是小亮的4倍,小亮今年多少岁?
6、今年爸爸45岁,儿子今年15岁,十年前,爸爸的年龄是儿子的几倍?
7、工厂将875元奖金分别给创造发明的三名优秀工人。
第一名比第二名多得250元,第二名比第三名多得125元,三名优秀工人各得多少元?
8、中、小三筐菠萝,小筐装的是中筐的一半,中筐比大筐少装16千克,大筐装的是小筐的4倍。
大、中、小三筐各装菠萝多少千克?
第四讲 较复杂的还原问题
〈知识广角〉:
1、逆推法:
就是用还原思想解题的方法,也就是从题目的问题或者结果出发,根据已知条件一步一步进行逆推,逐步靠进原始条件。
2、解答关键:
在从后往前推算的过程中,每一步都是同原来相反的运算。
原题加的,逆推时减;原题减的,逆推时加;原题乘的,逆推时除;原题除的,逆推时乘。
〈方法探究〉:
例1:
小虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的1写成了7,十位上的8看成了3,千位上的6看成了0,结果是3320,正确的结果是多少?
【思路导航】:
分析数位上每个错误数字对正确结果的影响,个位上的1看成了7多加了6个,要减6;十位上的8看成了3少加了5个10,要加50;千位上的6看成了0,结果会小6个千,要加6000。
列表千位十位个位
+6000+50-6
解:
3320+6000+50-6
=9320+50-6
=9370-6
=9364
答正确的结果是9364.
【思维链接】
在解决这类逆推问题时,我们要根据错误数字对结果的影响,用逆推的思想校正错误,因为数据较多,而且每个数位的意义不一样,所以我们最好列表整理,这样准确率就比较高。
【举一反三】:
1、小丽在计算两个数相加时,把一个加数个位上的1看着7,把另一个加数十位上的8看着当作3,所得的和是946。
原来两数相加的正确答案是多少?
例2:
工贸商店四月份卖出一些电视机,上旬卖出了总数的三分之一,中旬卖出了余下的一半多8台,下旬卖出了余下的15台,四月份共卖出了多少台电视机?
【思路导航】
要找知道四月份共卖出多少电视机,我们从下旬卖出的台数入手,15台不是中旬余下数的一半,它比一半少8台,所以中、下旬卖出了(8+15)×2=46台。
因为上旬卖出了总数的三分之一,所以46台是总数的三分之二,46÷2×3=69台,就是总数。
用线段图分析,就更清楚了
上旬卖出台数中旬卖出台数多8下旬卖出15台
||||
解:
(8+15)×2=46(台)46÷2×3=69(台)
答:
四月份共卖出了69台
【思维链接】
这类逆推问题,思考三个关键问题,
(1)原数变化了几次?
就要还原几次。
(2)逆推从最后一步开始,找到最后一次取之前的总数(3)依次找到类推每次取之前的总数,就可以找到原数了。
【举一反三】:
2、冰柜里的鸡蛋,第一天拿走了一半多两个,第二天拿走了余下的一半多4个,这时刚好拿完,求原来有多少个?
.
例3:
甲、乙、丙三人准备为图书室搬120本书,乙看甲搬得很多,就从甲那里拿走了5本,丙看乙搬得很多,就从乙那里拿走了7本,这时三人搬的本数一样多,甲、乙、丙三人原来各搬多少本书?
【思路导航】
本题不论谁给谁几本,我们可以看作120本总数不变,首先思考三人一样多时,每人的本书,120÷3=40本,再分析丙的本书,还给乙7本,40-7=33本,乙的本书是得到丙还的7本,还给甲5本,40+7-5=42本,最后分析甲的本书,收回乙还给的5本是40+5=45本。
解:
120÷3=40(本)
丙:
40-7=33(本)乙:
40+7-5=42(本)甲:
40+5=45(本)
答:
甲、乙、丙原来各有45本、42本、33本课外书。
【思维链接】
这类问题,一般从最后的结果入手,找到问题的突破口,对每一个数的变化,要明确增、减两个方面的变化数量,找回原数。
【举一反三】
3、姐姐、弟弟、妹妹都爱集邮,姐姐对弟弟说:
我很喜欢你的7张邮票,弟弟慷慨的给了姐姐,妹妹也很想要姐姐的5张邮票,姐姐也给妹妹,这时三人的张数都是85张,原来各有多少张邮票?
例4书架分为上、中、下三层,共放144本书。
现在上层取出中层同样多的书放到中层,再从中层取出下层同样多的书放到下层,最后,从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层,这时三层书架所放的书的本数相等。
这个书架三层原来各放书多少本?
【思路导航】
本题,上、中、下之间数据是循环在变化,我们先找到最后相等时的数据,再列表推算结果。
解:
144÷3=48(本)
原来
第一次
第二次
第三次
上
66
24
24
48
中
42
84
48
48
下
36
36
72
48
答:
这个书架原来上、中、下层分别有书66本、42本和36本。
【思维链接】
当一组数据之间循环有规律的变化时,列算式计算比较麻烦,通过列表观察,就能清楚的反应数据之间的变化,这种方法叫做列表法。
【举一反三】
两只猴子拿30个桃子,甲猴子眼疾手快抢先得到,乙猴看甲猴拿得太多,就去抢了一半,甲猴不服气,又从乙猴那里抢走了一半,乙猴又不肯,甲猴又给乙猴4个,这时,甲猴比乙猴还多4个,甲猴最初拿了几个桃子?
〈指点迷津〉:
小精灵们:
通过上面的例题,我们看到了,逆推问题的各种类型的解题方法,当数量关系不是很复杂时,我们可以用还原的思路,列算式逆推解答。
当数量关系较复杂时,我们可以用画图或列表的方法解答。
两种方法要根据实际情况,灵活应用。
数学冲浪
【扬帆起航】
1、小马虎在做一道加法题时,把个位上的5看作3,把十位上的6看成了9,得出结果是210,正确的结果是 多少?
2、小强在做一道减法计算时,把被减数十位上的7看成了1,把被减数百位上的5写成了8,结果是462,正确的结果是多少?
3、小马虎做一道减法题,把被减数十位的6当作9,把减数个位的3当成5,结果是217,正确的答案是多少?
4、吴勇在计算1234加一个多位数时,把加数个位的零看掉了,结果少了2250,正确的和应该是多少?
5、王叔叔在银行取款,第一次取了总数的一半还多6元,第二次取了余下的一半还多8元,这时还剩100元,王叔叔原有存款
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