第六章 代数系统.docx
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第六章代数系统
第六章代数系统
1.填空题:
f是X上的n元运算的定义是()。
2。
判断正误,并说明原因:
自然数集合N上的减法运算“-”是个封闭的运算。
3.判断正误,并说明原因:
实数集合R上的除法运算“÷”是个封闭的运算。
4.填空题:
代数系统的定义是:
()。
5。
填空题:
*是X上的二元运算,*具有交换性,则它的运算表的特征是()。
6.填空题:
*是X上的二元运算,*具有幂等性,则它的运算表的特征是()。
7。
简答题:
*是X上的二元运算,*具有幺元,如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元?
8.简答题:
*是X上的二元运算,*具有零元,如何在它的运算表上判定哪个元素是零元?
9.简答题:
*是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元?
10令N4={0,1,2,3},N4上定义运算+4:
任何x,y∈N4,x+4y=(x+y)(mod4)。
例如2+43=(2+3)(mod4)=5(mod4)=1
请列出 如果有上述这些元素,请指出这些元素都是什么. 11。 判断正误,并说明原因: 对于整集合I上的减法运算“-”来说,0是幺元. 12.填空题: E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的交运算⋂的幺元是()。 零元是().有逆元的元素是(),它们的逆元分别是()。 13.填空题: E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的并运算⋃的幺元是()。 零元是()。 有逆元的元素是(),它们的逆元分别是(). 14.填空题: E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的对称差运算⊕的幺元是()。 零元是()。 有逆元的元素是().它们的逆元分别是()。 15。 填空题: 对于自然数集合N上的加法运算“+”,13=()。 16。 填空题: 你所知道的满足吸收律的运算有()。 17.填空题: 你所知道的具有零元的运算有(),其零元是()。 18。 设★是X上的二元运算,如果有左幺元eL∈X,也有右幺元eR∈X,则eL=eR=e,且幺元e是唯一的. 19。 设★是X上的二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR=θ,且零元θ是唯一的。 20。 设★是X上有幺元e且可结合的二元运算,如果x∈X,x的左、右逆元都存在,则x的左、右逆元必相等。 且x的逆元是唯一的. 21.设★是X上且可结合的二元运算,如a∈X,且a—1∈X,则a是可消去的,即 任取x,y∈X,设有a★x=a★y则x=y。 22.对于实数集合R,给出运算如下: +是加法、—是减法、∙是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。 判断这些运算是否满足表中所列的性质。 如果满足就写“Y”,否则写“N”. + - ∙ max min |x—y| 可结合性 可交换性 存在幺元 存在零元 23.设R是实数集合,在R上定义二元运算*如下: 任取x,y∈R, x*y=xy-2x-2y+6 1.验证运算*是否满足交换律和结合律。 2.求运算*是否有幺元和零元,如果有请求出幺元和零元。 3.对任何实数x,是否有逆元? 如果有,求它的逆元,如果没有,说明原因。 24.设★是X上有幺元e且可结合的二元运算,求证如果x∈X,都存在左逆元,则x的左逆元也是它的右逆元。 25。 .给定下面4个运算表如下所示。 分别判断这些运算的性质,并用“Y”表示“有”,用“N”表示“无”填下面表.如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素,要指出这些元素是什么. 交换性 幂等元 幂等性 有幺元 有零元 有可逆元素 a) b) c) d) 26。 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构? 27。 什么叫做同态核? 28.请举同构的两个代数系统的例子,并说明它们同构的理由。 29.给出集合A={0,1,2,3}和A上的二元运算“*”.集合B={S,R,A,L}和B上的二元运算“”。 它们的运算表如下面所示。 验证同构。 30令S={〈X,*>|X是集合,*是X上的二元运算},即S是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合.≅是S中的代数系统间的同构关系。 求证,≅是S中的等价关系。 31.令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…},+表示加法,*表示乘法,问〈A,+〉和〈B,*〉是否同构? 为什么? 32已知代数系统 试证明它们同构。 33给定两个代数系统,〈R+,×〉: R+是正实数,×是R+上的乘法运算; R是实数集合,+是R上的加法运算。 它们是否同构? 对你的回答给予证明或者举反例说明之。 34。 已知代数系统 并设f: X→Y是同构映射,请证明如果运算★可结合,则运算ο也可结合. 35.已知代数系统 并设f: X→Y是同构映射,请证明如果运算★可交换,则运算ο也可交换。 36.已知代数系统 并设f: X→Y是同构映射,请证明如果运算★有幺元e★,则运算ο也有幺元eο,且f(e★)=eο。 37。 已知代数系统〈X,★>与 并设f: X→Y是同构映射,请证明如果运算★有零元θ★,则运算ο也有零元θο,且f(θ★)=θο。 38已知代数系统〈X,★〉与〈Y,ο>同构,即X@Y。 并设f: X→Y是同构映射,请证明如果〈X,★>中每个x∈X可逆,即x—1∈X,则〈Y,ο〉中每个y∈Y也可逆,即y—1∈Y.且如果y=f(x),则y-1=(f(x))-1=f(x—1)。 (x映像的逆元=x逆元的映像) 39集合A上两个同余关系R、S,证明R∩S也是同余关系。 40.考察代数系统〈I,+>,定义I上如下关系R是同余关系? a)。 〈x,y>∈R当且仅当(x〈0∧y〈0)∨(x≥0∧y≥0) b)。 c).〈x,y〉∈R当且仅当(x=y=0)∨(x≠0∧y≠0) d)。 〈x,y〉∈R当且仅当x≥y 41。 填空: ★是A上二元运算,代数是半群,当且仅当(). 42.填空: ★是A上二元运算,代数是独异点,当且仅当(). 43列举出5个你所熟悉的是半群的例子。 44。 列举出5个你所熟悉的是独异点的例子. 45列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。 46.给定代数系统〈R,★〉,★是实数R上二元运算,定义为: a,b∈R, a★b=a+b+a·b 求证 47。 〈A,★>是个半群,a,b∈A,若a≠b则a★b≠b★a,试证: a)∀a∈A,有a★a=a b)∀a,b∈A,a★b★a=a c)∀a,b,c∈A,a★b★c=a★c 48.设〈S,*>是个半群,且左右消去律都成立,证明S是交换半群的充要条件是对任何 a,b∈S,有(a*b)2=a2*b2 49。 设〈S,★>是半群,如果S是有限集合,则必存在a∈S,使得a★a=a。 50。 设A是有理数集合,在笛卡尔积A×A上,定义二元运算△如下: 任取= ⨯是乘法.+是加法. 求证〈A×A,△>是独异点。 51。 。 设 52。 令I: 是整数集合;N: 自然数集合,R: 实数集合.+是加法运算,×是乘法运算.给定代数系统, .请问哪些代数系统不是群? 只要说明一条理由即可。 又问哪些代数系统是群? 并说明理由。 53.X=R-{0,1},X上定义六个函数,如下所示: ∀x∈X, f1(x)=xf2(x)=x—1f3(x)=1—x f4(x)=(1—x)-1f5(x)=(x—1)x—1f6(x)=x(x—1)-1 令F={f1,f2,f3,f4,f5,f6},ο是F上的复合运算,试证明〈F,ο>是群。 54.令R是实数,F={f|f(x)=ax+b,a,b,x∈R,a≠o},ο是F上的函数左复合运算,试证明 55。 设是半群,e是左幺元,且对每个x∈A,$x’∈A,使得x’★x=e, a)证明,∀a,b,c∈A,若a★b=a★c,则b=c. b)证明〈A,★>是群。 56.。 设〈A,*〉是群,且|A|=2n,n是正整数,证明A中至少存在一个元素a,使得a*a=e。 57.填空: 令〈G,*>是群,其中G={a,b,c},设a是幺元,则b2=(),b*c=(),b和c的阶分别是()和()。 58。 A是非空的有限集合,且|A|=n。 令 F={f|f是A→A的双射函数} 1.求|F|等于多少? 2.令*是函数的左复合运算.问〈F,*〉是群吗? 如果是,给予证明。 如果不是,要说明理由。 59。 设〈G,*〉是4阶群,其中G={a,b,c,d},已知a是幺元,b与c互为逆元。 首先计算c*d(要有计算过程),再分别求元素b与d的阶. 60。 设 求满足方程式b*x=c*d中的x。 61.判断下列各命题的真值,并说明理由。 1. 2.设f是群 62。 设〈G,★>是个群,证明G中除幺元外,无其它幂等元。 63。 设 64. 65。 〈G,★〉是个有限群,证明G中每个元素在★运算表中的每一行必出现且仅出现一次。 66。 填空: 67.什么叫做群的阶? 68。 什么叫做群中运算的阶? 69指出整数集合加法群〈I,+>中,各个元素的阶是什么? 为什么? 70。 〈G,★〉是群,a∈G,如果a的阶为n,证明ak=e,当且仅当k=mn(m∈I)(即k是n的整数倍) 71。 证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。 72.设 73。 设 G→G是映射, 对x∈G,f(x)=a★x★a—1求证f是G到G的自同构。 74.设〈G,*>是个群,而a∈G,如果f是从G到G的映射,使得对任何x∈G,都有 f(x)=a—1*x*a 试证明f是从G到G的自同构。 75。 任取〈a1,b1>,〈a2,b2>∈A×B 求证〈A×B,△>也是群. 76。 设与都是群,在A与B的笛卡尔积A×B上,定义二元运算△如下: 任取〈a1,b1〉, 已知〈A×B,△〉也是群.定义映射f: A×B→A,对任意〈a,b>∈A×B, f( 求证f是〈A×B,△〉到的同态映射,并求出f的同态核。 77。 令G={2m3n|m,n∈Q,Q是有理数},“•”是G中乘法运算. 1.证明 2.给定映射f: G→G,f定义为f: 2m3n→2m,证明f是G到G的同态映射;并求出f的同态核. 78。 给出两个群〈G,★〉和〈S,ο〉的运算表如下: 证明它们同构。 79。 判断下面命题的真值。 并简单说明原因. 1.R为实数集合,×为乘法运算,则 2.设〈G,*>是n阶群,则对任何a,b∈G,有a—n=bn。 3.设 80。 〈G,★〉是交换群,当且仅当对任何a,b∈G有 (a★b)★(a★b)=(a★a)★(b★b)(即(a★b)2=a2★b2) 81.令G={km|k∈Z},m是某个确定的自然数,Z是整数集合,+是加法运算。 证明 82.设I是整数集合,在I上定义二元运算*如下: 对于任何a,b∈Ia*b=a+b-2 求证 83.已知〈G,*>是交换群,a∈G,在G上又定义一个二元运算“∙”如下: 对于任何x,y∈G,x∙y=x*a-1*y(其中a—1是a对于*运算的逆元) 求证 84.令G是所有非0实数构成的集合,在G上定义二元运算*如下: 任何a,b∈G,a*b .求证〈G,*>是个交换群。 85。 设I是整数集合,在I上定义二元运算*如下: 对于任何a,b∈Ia*b=a+b-4 求证〈I,*〉是个交换群。 86设 87.证明任何阶数为1,2,3,4的群都是交换群,并举一个6阶群,它不是交换群. 88.给定集合G={x|x是有理数且x≠-1},在G上定义二元运算*如下: 对任何a,b∈G,a*b=a+b+ab。 求证<G,*>是交换群。 89。 设 90。 什么叫做循环群? 什么叫做循环群的生成元? 什么叫做循环群的循环周期? 91.证明循环群都是交换群. 92。 给定群 〈N4,+4〉是循环群吗? 为什么? 如果是循环群请指出它的循环周期。 93.给定群〈I,+>,它是循环群吗? 为什么? 如果是循环群请指出它的循环周期. 94。 填空: 设〈G,★>是个以g为生成元的有限循环群,|G|=n,则G=()。 95。 令I是整数集合,在I上定义二元运算*如下: 对于I中任何a元素, a*b=a+b-2 求证〈I,*>是个循环群 96。 设I是整数集合,在I上定义二元运算*如下: 对于任何a,b∈Ia*b=a-1+b 求证〈I,*〉是个循环群。 97。 设G={1,2,3,4,5,6},×7是7为模的乘法运算,即 x,y∈G,x×7y=(xy)(mod7),例如4×75=20(mod7)=6 如是,指出生成元。 98.循环群的任何子群都是循环群。 99.填空题: 设 100判断题下面命题的真值: 循环群的生成元也是其任何子群的生成元。 101。 什么叫做子群? 102名词解释: 平凡子群与真子群 103。 设〈G,★〉是群,B是G的有限子集,如果★在B上满足封闭性,则〈B,★〉是〈G,★>的子群。 104.填空: 设 aH=() 则称aH为a确定的H在G中的左(右)陪集. 105设H3={0,2,4},是以6为模的加法运算。 验证〈H3,+6>是 106。 设N6={0,1,2,3,4,5},+6是N6上以6为模的加法运算.即 任何x,y∈N6,x+6y=(x+y)(mod6),例如4+65=9(mod6)=3 1.画出 2. 为什么? 3.如果是群,它有几个子群? 分别列出子群的运算表。 107。 设 ∀a∈G,令H={y|y★a=a★y,y∈G} 求证, 108.设 对于任何a,b,c∈G, 如果有 又定义集合H为 H={x|x∈G,且〈x,e〉∈R,e是G中幺元} 求证〈H,*>是〈G,*〉的子群. 109。 设〈H,★〉是 A={x|x∈G,x★H★x—1=H} 求证的子群. 110p是个质数,证明pm阶群中必包含着一个p阶子群. 111.证明25阶群必含有5阶子群。 112.p是个素数, 为什么? 113〈H,*>是群〈G,*〉的子群,任取a,b∈G,则aH=bH的充分且必要条件是() 114。 设 试问A、B以及G三者有什么关系? 为什么? 115 R={ 116设〈G,*〉是个群, 任意a,b∈G,aRb⇔存在h∈H,k∈K使得b=h*a*k 证明R是G上等价关系。 117.设〈H,*〉是群〈G,*〉的子群,R是G上关系,定义如下: aRb当且仅当a-1*b∈H,a,b∈G 1.求证R是G上等价关系. 2.e是G中幺元,由e确定的相对R的等价类[e],求证[e]=H。 118。 设f和g都是群〈G1,★〉到〈G2,ο>的同态,证明 C={x|x∈G1且f(x)=g(x)} 119.设f是从群〈G1,★〉到 120..G是个6阶群,证明G中一定有且只有一个3阶子群. 121设 122已知 123设 并对你的回答说明原因。 124.设 为什么? 125。 填空: 设 126.填空: 设f是从群 则f((x1—1★x2)-1)=()。 127。 设f是从群 求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K的同一个陪集中,则有f(x)=f(y). 128.填空: 代数系统〈R,*,∙〉是个环,当且仅当〈R,*〉是个(), 129.填空: 代数系统〈R,*,∙〉是个交换环,当且仅当〈R,∙>是个(), 130.填空: 代数系统〈R,*,∙〉是个含幺环,当且仅当〈R,*〉是个(), 131填空: 代数系统〈R,*,∙>是个整环,当且仅当〈R,∙〉是个(), 132填空: 代数系统 133填空: 代数系统〈F,*,∙〉是个域,当且仅当〈F,*〉是(), 134。 令N是自然数集合,I是整数集合,R是实数集合,+和·分别是加法和乘法, 为什么? 如果是环,那些不是整环? 为什么? 哪些不是域? 为什么? 135。 判断 , ,〈P(E),⊕,∩〉是否为环? 为什么? 136。 试证〈I,⊕,ο〉是有幺元的交换环,其中⊕和ο的 定义为: 对任何a,b∈I, a⊕b=a+b—1aοb=a+b-ab 137..设〈A,+,∙〉是一个环,并且对于任何a∈A,有a∙a=a,证明 a).对于任何a∈A,都有a+a=θ,其中θ是+的幺元. b).〈A,+,∙>是一个交换环。 138。 下面的说法是否正确? 说明理由 .设 1。 答案: (f: Xn→Y)。 2.答案: 错误。 举反例: 1-2=-1,—1不是自然数。 所以不封闭。 3.答案: 错误。 0不能做除数。 例如1÷0没有定义,所以“÷”不是R上的运算. 4.答案: 代数系统定义: X是非空集合,X上有m个运算f1,f2,f3,…,fm,则称 5.答案: (它的运算表是个与主对角线为对称的表) 6.答案: (运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同) 7.答案:和〈P,·〉,其中S={a,b,c}P={1,2,3}二元运算表如下所示:的子群,求证
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