高中数学 112 集合间的基本关系教案精讲 新人教A版必修1.docx
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高中数学112集合间的基本关系教案精讲新人教A版必修1
2019-2020年高中数学1.1.2集合间的基本关系教案精讲新人教A版必修1
[读教材·填要点]
1.子集的概念
文字语言
符号语言
图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,则称集合A是集合B的子集
A⊆B(或B⊇A)
2.集合相等与真子集的概念
定义
符号表示
图形表示
集合相等
如果A⊆B,且B⊆A,就说集合A与B相等
A=B
真子集
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是B的真子集
AB(或BA)
3.空集
(1)定义:
不含任何元素的集合叫做空集.
(2)用符号表示为:
∅.
(3)规定:
空集是任何集合的子集.
4.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.
[小问题·大思维]
1.若AB,则A⊆B且A≠B,对吗?
提示:
对.∵AB,首先A⊆B,其中B中至少有一个元素不属于A,即A≠B.
2.任何集合都有真子集吗?
提示:
不是,空集∅就没有真子集.
3.{0}和∅表示同一集合吗?
它们之间有什么关系?
提示:
{0}和∅不是同一个集合.{0}表示含有一个元素0的集合,∅是不含任何元素的集合,且∅{0}.
有限集合子集确定问题
[例1] 写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集.
[自主解答] 由0个元素构成的子集:
∅;
由1个元素构成的子集:
{1},{2},{3};
由2个元素构成的子集:
{1,2},{1,3},{2,3};
由3个元素构成的子集:
{1,2,3}.
由此得集合A的所有子集为∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.
在上述子集中,除去集合A本身,即{1,2,3},剩下的都是A的真子集.
——————————————————
1.求解有限集合的子集问题,关键有三点:
1确定所求集合;
2合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出;
3注意两个特殊的集合,即空集和集合本身.
2.一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.
————————————————————————————————————————
1.已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.
解:
当M中含有两个元素时,M为{2,3};
当M中含有三个元素时,M为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5};
当M中含有四个元素时,M为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5};
当M中含有五个元素时,M为{2,3,1,4,5}.
所以满足条件的集合M为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5},{2,3,1,4,5},集合M的个数为8.
集合间关系的判定
[例2] 下列各式正确的是________.
(1){a}⊆{a};
(2){1,2,3}={3,1,2};(3)0⊆{0};
(4){1}{x|x≤5}; (5){1,3}{3,4}.
[自主解答]
题号
正误
原因
(1)
√
任何一个集合都是它本身的子集.
(2)
√
两集合中的元素是一样的,符合集合相等的定义.
(3)
×
元素0是集合{0}中的一个元素,故应为0∈{0}.
(4)
√
∵1<5,∴1∈{x|x≤5}.∴{1}⊆{x|x≤5}.又∵{1}≠{x|x≤5},∴{1}{x|x≤5}.
(5)
×
∵1∈{1,3},但1∉{3,4},∴{1,3}⃘{3,4}.“”是“真包含于”的意思
[答案]
(1)
(2)(4)
——————————————————
集合间关系的判定的步骤:
首先,判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则AB;,其次,判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B⊆A,否则BA;,最后,下结论:
若A⊆B,B⊆A,则A=B;若A⊆B,BA,则AB;若AB,B⊆A,则BA;若上述三种情况都不成立,则AB,BA.
[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素,如{1}可以看成集合{{1},1,2,3}中的元素,也可以看成子集,因此{1}∈{{1},1,2,3}与{1}⊆{{1},1,2,3}都正确.
————————————————————————————————————————
2.集合M={x|x2+x-6=0},N={x|2x+7>0},试判断集合M和N的关系.
解:
M={-3,2},N=
.
∵-3>-
,2>-
,
∴-3∈N,2∈N.∴M⊆N.
又0∈N,但0∉M,∴MN.
集合间关系的应用
[例3] 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1 [自主解答] ∵B⊆A, (1)当B=∅时,m+1≤2m-1,解得m≥2. (2)当B≠∅时,有 解得-1≤m<2, 综上得m≥-1. —————————————————— 1利用集合之间的关系时,首先要分析、简化每个集合. 2此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实点表示,不含“=”用虚点表示. 3此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非空集合而丢解,因此分类讨论是必须的. ———————————————————————————————————————— 3.设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且A⊇B,求a的值. 解: ∵A⊇B,而a2-a+1∈B,∴a2-a+1∈A. ∴a2-a+1=3或a2-a+1=a. 当a2-a+1=3时,a=2或a=-1. (1)a=2时,A={1,3,2},B={1,3},这时满足条件A⊇B; (2)a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},这时也满足条件A⊇B. 当a2-a+1=a时,a=1,此时A={1,3,1},B={1,1},根据集合中元素的互异性,故舍去a=1. ∴a的值为2或-1. 解题高手 易错题 审题要严,做题要细,一招不慎,满盘皆输,试试能否走出迷宫! 已知M={x|x2-3x+2=0},N={x|x2-2x+a=0},若N⊆M,求实数a的取值范围. [错解] ∵M={x|x2-3x+2=0}={1,2}, (1)当N={1}时,有 ∴a=1. (2)当N={2}时,有 不成立. (3)当N={1,2}时,有 不成立. 所以,a=1. [错因] 空集是一个特殊的集合,是任何集合的子集,在解决集合关系问题时极易忽略∅,错解中没有考虑集合N为∅的情况. [正解] ∵M={x|x2-3x+2=0}={1,2}, 又N⊆M,∴N=∅,或N={1},或N={2},或N={1,2}. (1)当N=∅时,方程x2-2x+a=0的判别式Δ=4-4a<0,即a>1. (2)当N={1}时,有 ∴a=1. (3)当N={2}时,有 不成立. (4)当N={1,2}时,有 不成立. 综上可知实数a的取值范围是a≥1. 1.下列命题中,正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集; ②若AB,BC,则AC; ③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集; ④如果不属于B的元素也不属于A,则A⊆B. A.①② B.②③ C.②④D.③④ 解析: ①空集只是空集的子集而非真子集,故①错;②真子集具有传递性,故②正确;③若一个集合是空集,则没有真子集,故③错;④由韦恩(Venn)图易知④正确. 答案: C 2.设集合M={x|x>-2},则下列选项正确的是( ) A.{0}⊆MB.{0}∈M C.∅∈MD.0⊆M 解析: 选项B、C中均是集合之间的关系,符号错误;选项D中是元素与集合之间的关系,符号错误. 答案: A 3.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( ) A.A⊆BB.C⊆B C.D⊆CD.A⊆D 解析: 选项A错,应当是B⊆A.选项B对,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形.选项C错,正方形一定是菱形,但菱形不一定是正方形.选项D错,应当是D⊆A. 答案: B 4.已知∅{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是________. 解析: ∵∅{x|x2-x+a=0}. ∴{x|x2-x+a=0}≠∅. 即x2-x+a=0有实根. ∴Δ=(-1)2-4a≥0,得a≤ . 答案: a≤ 5.若{a,0,1}={c, ,-1},则a=________,b=________,c=________. 解析: ∵ ≠0,∴c=0,∴a=-1, =1.∴a=-1,b=1. 答案: -1 1 0 6.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,求实数m的值. 解: ∵B⊆A,∴m2=-1,或m2=2m-1,当m2=-1时,显然无实数根;当m2=2m-1时,m=1.∴实数m=1. 一、选择题 1.已知集合M={x∈Z|-3 A.12B.14 C.15D.16 解析: ∵M={x∈Z|-3 答案: C 2.定义集合A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,2,3,4,5},B={2,4,5},则A*B的子集个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 由题意知A*B={1,3}, ∴A*B的子集个数为22=4个. 答案: D 3.已知集合M={x|- ,x∈Z},则下列集合中为集合M子集的是( ) A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2} C.R={y|-π D.S={x||x|≤ ,x∈N} 解析: 先用列举法表示集合,再观察元素与集合的关系.集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},S={0,1},不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合R中的元素-3∉M,而S={0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S⊆M,且SM. 答案: D 4.已知集合A⊆{0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数,则这样的集合A的个数为( ) A.6B.5 C.4D.3 解析: 集合{0,1,2}的子集为: ∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中含有偶数的集合有6个. 答案: A 二、填空题 5.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3 解析: ∵A⊇B,∴ ∴3≤a≤4. 答案: 3≤a≤4 6.设a,b∈R,集合{0, ,b}={1,a+b,a},则b-a=________. 解析: 由题意可知a≠0,则a+b=0,a=-b,所以 =-1,则a=-1,b=1,故b-a=2. 答案: 2 7.下列关系中正确的是________. ①∅∈{0}; ②∅{0}; ③{0,1}⊆{(0,1)}; ④{(a,b)}={(b,a)}. 解析: ∵∅{0},∴①错误;空集是任何非空集合的真子集,②正确,{(0,1)}是含有一个元素的点集,③错误;{(a,b)}与{(b,a)}是两个不等的点集,④错误,故正确的是②. 答案: ② 8.已知集合P={1,2},那么满足Q⊆P的集合的个数是________. 解析: ∵P={1,2},Q⊆P, ∴集合Q可以是∅或{1}或{2}或{1,2}. 答案: 4 三、解答题 9.由“2,a,b”三个元素构成的集合与由“2a,2,b2”三个元素构成的集合是同一个集合,求a,b的值. 解: 根据集合相等,有 或 解得 或 或 再根据集合元素的互异性,得 或 10.设集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2-(2a+1)x+a2+a=0},若B⊆A,求a的值. 解: 法一: A={x|x2-5x+6=0}={2,3},由B⊆A得,B=∅,或B={2},或B={3},或B={2,3},由于Δ=(2a+1)2-4a2-4a=1>0, ∴B≠∅,且B含有两个不同元素. ∴B={2,3},需2a+1=5和a2+a=6同时成立, ∴a=2. 综上所述: a=2. 法二: A={x|x2-5x+6=0}={2,3}, B={x|x2-(2a+1)x+a2+a=0}={x|(x-a)· (x-a-1)=0}={a,a+1}, ∵a≠a+1, ∴当B⊆A时,只有a=2且a+1=3. ∴a=2. s 2019-2020年高中数学1.1.3集合的基本运算第一课时教案精讲新人教A版必修1 [读教材·填要点] 1.集合的并集与交集的定义 并集 交集 自然语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 符号语言 A∪B={x|x∈A或x∈B} A∩B={x|x∈A且x∈B} 图形语言 2.并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B=B∪A A∩B=B∩A A∪A=A A∩A=A A∪∅=A A∩∅=∅ A⊆B⇔A∪B=B A⊆B⇔A∩B=A A∪B⊇A,A∪B⊇B A∩B⊆B,A∩B⊆A [小问题·大思维] 1.若A={1,2,3},B={3,4,5},那么A∪B={1,2,3,3,4,5}对吗? 如何表示A∪B和A∩B? 提示: A∪B={1,2,3,3,4,5}是不对的,因为不符合元素的互异性;A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3}. 2.你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗? 有什么区别? 提示: 并集中的“或”与生活中“或”是不一样的.生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一,如“老师让张明或李红去开会”,意思是张明去也可以,李红去也可以,但不包括张明和李红一起去这种情况;而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”. 3.若集合A与集合B没有公共元素,能否说集合A与集合B没有关系? 提示: 当两集合A与B没有公共元素时,不能说集合A与B没有关系,而是A∩B=∅. 集合交并的简单运算 [例1] 已知集合A={x|(x-1)(x+2)=0},B={x|(x+2)(x-3)=0},则集合A∪B是( ) A.{-1,2,3} B.{-1,-2,3} C.{1,-2,3}D.{1,-2,-3} [自主解答] A={x|(x-1)(x+2)=0}={1,-2};B={x|(x+2)(x-3)=0}={-2,3}, ∴A∪B={1,-2}∪{-2,3}={-2,1,3}. [答案] C —————————————————— 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围,简化集合,若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示. ———————————————————————————————————————— 1.已知集合A={x|-1<x≤3},B={x|x≤0,或x≥ },求A∩B,A∪B. 解: ∵A={x|-1<x≤3},B={x|x≤0,或x≥ }, 把集合A与B表示在数轴上,如图. ∴A∩B={x|-1<x≤3}∩{x|x≤0或x≥ } ={x|-1<x≤0或 ≤x≤3}; A∪B={x|-1<x≤3}∪{x|x≤0或x≥ }=R. 已知集合交集、并集求参数 [例2] 已知集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},求满足条件的实数x的值. [自主解答] ∵A∪B={1,3,x},A={1,3,x},B={1,x2}, ∴A∪B=A,即B⊆A, ∴x2=3或x2=x. ①当x2=3时,得x=± . 若x= ,则A={1,3, },B={1,3},符合题意; 若x=- ,则A={1,3,- },B={1,3},符合题意. ②当x2=x时,则x=0或x=1. 若x=0,则A={1,3,0},B={1,0},符合题意; 若x=1,则A={1,3,1},B={1,1},不成立,舍去; 综上可知,x=± 或x=0. —————————————————— 1在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B等这类问题,解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B等,解答时应灵活处理. 2对于含有参数的问题要分类讨论,同时要检验,利用好集合中元素的互异性. ———————————————————————————————————————— 2.已知集合A={4,6},B={2,m},A∪B={2,4,6},则m的值为________. 解析: ∵A={4,6},B={2,m}, 而A∪B={2,4,6}, ∴m=4或m=6. 答案: 4或6 解题高手 妙解题 同样的结果,不一样的过程,节省解题时间,也是得分! 集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若A∩B=A∪B,求a的值; (2)若∅A∩B,A∩C=∅,求a的值. [巧思] (1)A∩B=A∪B⇔A=B; (2)∅A∩B⇔A∩B≠∅. [妙解] 由已知,得B={2,3},C={2,-4}. (1)∵A∩B=A∪B,∴A=B.于是2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根,由根与系数之间的关系知: 解之得a=5. (2)由A∩B∅⇒A∩B≠∅,又A∩C=∅,得3∈A,2∉A,-4∉A. 由3∈A得32-3a+a2-19=0, 解得a=5或a=-2. 当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与2∉A矛盾; 当a=-2时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意. ∴a=-2. 1.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是( ) A.N⊆M B.M∪N=M C.M∩N=ND.M∩N={2} 解析: 因为-2∉M,可排除A;M∪N={-2,1,2,3,4},可排除B;M∩N={2}. 答案: D 2.设A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则如图中阴影部分表示的集合为( ) A.{2}B.{3} C.{-3,2}D.{-2,3} 解析: 注意到集合A中的元素为自然数,因此易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而直接解集合B中的方程可知B={-3,2},因此阴影部分显然表示的是A∩B={2}. 答案: A 3.设集合M={x|-3≤x<7},N={x|2x+k≤0},若M∩N≠∅,则k的取值范围是( ) A.k≤3B.k≥-3 C.k>6D.k≤6 解析: 因为N={x|2x+k≤0}={x|x≤- }, 且M∩N≠∅,所以- ≥-3⇒k≤6. 答案: D 4.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},则A∩B∩C=________. 解析: ∵A∩B={x|x是菱形} ∴A∩B∩C={x|x是正方形}. 答案: {x|x是正方形} 5.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=________. 解析: 由M={0,1,2},知N={0,2,4}, M∩N={0,2}. 答案: {0,2} 6.设集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},A∩B={-3},求实数a. 解: ∵A∩B={-3},∴-3∈B. ∵a2+1≠-3, ∴①若a-3=-3,则a=0, 此时A={0,1,-3},B={-3,-1,1}, 但由于A∩B={1,-3}与已知A∩B={-3}矛盾, ∴a≠0. ②若2a-1=-3,则a=-1, 此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2},A∩B={-3},综上可知a=-1. 一、选择题 1.已知集合A={x|x≥0},B={x|-1≤x≤2},则A∪B=( ) A.{x|x≥-1}B.{x|x≤2} C.{x|0 解析: 结合数轴得A∪B={x|x≥-1}. 答案: A 2.设集合M={x|-3 A.{x|1≤x<2}B.{x|1≤x≤2} C.{x|2 解析: ∵M={x|-3 ∴M∩N={x|1≤x<2}. 答案: A 3.设A={x|-3≤x≤3},B={y|y=-x2+t}.若A∩B=∅,则实数t的取值范围是( ) A.t<-3B.t≤-3 C.t>3D.t≥3 解析: B={y|y≤t},结合数轴可知t<-3. 答案: A 4.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠∅,若A∪B=A,则( ) A.-3≤m≤4B.-3<m<4 C.2<m<4D.2<m≤4 解析: ∵A∪B=A,∴B⊆A.又B≠∅, ∴ 即2<m≤4. 答案: D 二、填空题 5.已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∪B=________. 解析: 集合A,B都是以列举法的形式给出,易得A∪B={1,2,4,6}. 答案: {1,2,4,6} 6.已知集合A={x|x≥5},集合B={x|x≤m},且A∩B={x|5≤x≤6},则实数m=________. 解析: 用数轴表示集合A、B如图所示, 由于A∩B={x|5≤x≤6}, 则m=6. 答案: 6 7.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是________. 解析: 如图所示,若A∪B=R,则a≤1. 答案: a≤1 8.已知集合A={(x,y)|y=ax+3},B={(x,y)|y=3x+b},A∩B={(2,5)},则a=________,b=________. 解析: ∵A∩B={(2,5)}. ∴5=2a+3.∴a=1. ∴5=6+b.∴b=-1. 答案: 1 -1 三、解答题 9.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求A∩B; (2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围. 解: (1)∵B={x|x≥2},A={x|-1≤x<3}, ∴A∩B={
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