大学物理A习题答案.docx
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大学物理A习题答案
班级学号姓名
第1章质点运动学
1-1已知质点的运动方程为
r=ei3ej6k。
(1)求:
自t=0至t=1质点
的位移。
(2)求质点的轨迹方程。
解:
(1)r0=i3j6k
r1=ei3e1j6k
质点的位移为
(2)由运动方程有
x=et,y=3e丄,z=6消t得
轨迹方程为
xy=3且z=6
1-2运动质点在某瞬时位于矢径rx,y的端点处,其速度的大小为
(A)
dr
dt
(C)咀
dt
dtdt
1-3如图所示,堤岸距离湖面的竖直高度为
轮拉湖中的小船向岸边运动。
设人以匀速率
船的速度为
v二
dr
dx
i=vi
dt
dt
其中
x
二r
2-h
2
dr
所以v
dx
d
汀2
-h2
=r
dt
dt
Ur2-h2
dt
h,有人用绳绕过岸边的定滑vo收绳,绳不可伸长且湖水静止。
求:
小船在离岸边的距离为s时,小船的速率为多大?
(忽略滑轮及船的大小)
解:
如图所示,在直角坐标系xOy中,
的位置矢量可表示为
s
r二j
因绳子的长度随时间变短,所以
dr
Vodt
一亠voi
s
所以船的速率为
Js+h
VVo
s
则船的速度为"二一v0.r2〔h2
1-4已知质点的运动方程为r二Rcos^ti•Rsin®tj•5k(SI)。
求:
⑴质点在
任意时刻的速度和加速度。
(2)质点的轨迹方程。
解:
(1)由速度的定义得
由加速度的定义得
dv
dt
-i32Rcosi.Lti-d'Rsindtj
⑵由运动方程有x=RcoSdt,y=Rsindt,z=5消t得
质点的轨迹方程为x2•y2=R2且z=5
已知质点的运动方程为
r=5t2i3t2j,则该质
1-5一质点在平面上运动,点所作运动为[B]
(A)匀速直线运动
但)匀变速直线运动
(C)抛体运动
(D)一般的曲线运动
1-6一质点沿Ox轴运动,坐标与时间之间的关系为x=3t3-2t(SI)。
则质
点在4s末的瞬时速度为142m・s-1,瞬时加速度为72m・s-2;1s末到4s末的位移为183m,平均速度为61m・s-1,平均加速度为45m-s-2°
解题提示:
瞬时速度计算v=竺,瞬时加速度计算a=今;位移为
dtdt2
x=x4-x1,平均速度为v二口,平均加速度为a二^山
4一14一1
1-7已知质点沿Ox轴作直线运动,其瞬时加速度的变化规律为
ax=3tms-。
在t=0时,Vx=0,x=10m。
求:
⑴质点在时刻t的速度。
(2)
质点的运动方程。
解:
⑴由ax=垒得
dt
两边同时积分,并将初始条件
dvx=axdt
t=0时,Vx=0带入积分方程,有
Vxtt
0dvxJaxdt=03tdt
解得质点在时刻t的速度为
(2)由Vx得
dt
两边同时积分,并将初始条件
3
Vxt
2
dx=vxdt
t=0时,x=10m带入积分方程,有
解得质点的运动方程为
x=10V3
1-8一物体从空中由静止下落,已知物体下落的加速度与速率之间的关系为a=A-Bv(A,B为常数)。
求:
物体的速度和运动方程。
解:
(1)设物体静止时的位置为坐标原点,向下为y轴正方向,则t=0时,v=0,y=0。
dv=adt=A-Bvdt
整理得
dv=dt
A—Bv
对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程,有
V1t
0ATBVd^0dt
解得物体的速率为v=A1_eB,方向竖直向下
B
(2)由唏得
dyA1—dtB
对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程,有
;dyJ討宀t
解得物体的运动方程为y4eB一1
BB2
1-9一质点作半径r=5m的圆周运动,其在自然坐标系中的运动方程为
12
s=2t—t2(SI),求:
2
t为何值时,质点的切向加速度和法向加速度大小相等。
解:
由运动方程得
ds
v2t
dt
质点的切向加速度为
a_dv_1ati
dt
质点的法向加速度为
a"_2t2
an-
r5
当两者相等时,有
4=1
5
解得时间t的值为
t=(..5-2)s
1-10质点做半径为1m的圆周运动,其角位置满足关系式0
22
t=1s时,质点的切向加速度12m・s-,法向加速度36m•s-
-2
37.95m•。
角速度为3=空=6t2s」,
dt
角加速度为'吟=曲
t时刻,质点的切向加速度的大小为
质点的法向加速度的大小为
at=:
只=12t1=12tms'2
a.=3r=6t?
1=36t°ms
52t3(SI)。
,总加速度
质点的总加速度的大小为
a=fat2+a;=^(12tf+(36t4}
ms’
解:
由运动方程0=52t3得
将t=1s代入上面方程,即可得到上面的答案。
班级学号姓名
第2章质点动力学
2-1质量为
m的质点沿Ox轴方向运动,其运动方程为
x=Asin®t式中A、
3均为正的常数,
t为时间变量,则该质点所受的合外力
为[C]
(A)F
(B)F=-mwx
2
(C)F_-m3x
解:
因为
d^X=-A2sint=一2xdt
所以F
二ma--m3x
2-2
质量为m的物体在水平面上作直线运动,当速度为
v时仅在摩擦力作
用下开始作匀减速运动,经过距离
s后速度减为零。
则物体加速度的大小为
,物体与水平面间的摩擦系数为
解:
设运动方向为正方向,由
22Vt—Vo
二2as得
2
_v
-2s
所以加速度的大小为
2
v
a二
2s
因摩擦力是物体运动的合外力,所以
--'mg
二ma
将
(1)式带入上式,得
2gs
速度a=1ms-。
求物体B与桌面间的摩擦力。
解:
选地面为惯性参照系,采用隔离法
对两物体进行受力分析,如图所示。
因绳质量不计,所以绳中各点张力处处相等。
根据牛顿第二定律,有
T-f二maB
PA-2T=maA
其中,Pa二Pb二mg。
两个物体A、B间坐标的关系为
2yA=Xb
对上式求时间t的二次导数,得
将3个方程联立,可得
(2)
2aA=aB
f=7.2N
(绳的质量不计,且不可伸长)
A
(3)
2-4一根长为l=0.5m的轻绳,一端固定在天花板上,另一端系一质量为m
的重物,如图所示。
重物经推动后,在一水平面内作匀速圆周运动,转速
n=1rsA。
这种装置叫作圆锥摆。
求这时绳和竖直方向所成的角度。
解:
选地面为惯性参照系,对重物进行受力分
析,重物受到绳子的拉力T和重力P二mg,如图
所示。
重物作匀速圆周运动,加速度为向心加速度。
建立如图所示坐标系,根据牛顿第二定律,有
竖直方向:
Tcos^-mg
(1)
水平方向:
TsinJ-mr,
(2)
由图可知,圆的半径r=lsi,重物在圆周上运动
的角速度大小为
=2n
将上面三个方程联立,可得
(3)
cos一4:
2n2l一0497
查表得
--6013
由此题可知,物体的转速n越大,二越大,与重物的质量无关。
2-5A、B两质点的质量关系为mAmB,同时受到相等的冲量作用,则
[D]
(A)A比B的动量增量少(B)A与B的动能增量相等
(C)A比B的动量增量大(D)A与B的动量增量相等
提示:
动量定理:
合外力的冲量等于动量的增量。
2-6如图所示,一质量为0.05kg、速率为10m-sJ的小球,以与竖直墙面
法线成45角的方向撞击在墙上,并以相同的速率和角度弹
回。
已知球与墙面的碰撞时间为0.05s。
求在此碰撞时间内墙
面受到的平均冲力。
解:
按照图中所选坐标,v1和v2均在x、y平面内,由
动量定理,小球在碰撞过程中所受的冲量为
Fxt=mv2x-mvix
e"
Fy:
t=mv2y—mV"
其中,v1x=—vcosB,v2x=vcosB,v1y=vsin0,v2y=vsine。
即氏加=2mvcos0,Fy=0
所以,小球受到的平均冲力为
Fx
2mvcos-
■t
设F•为小球对墙面的平均冲力,根据牛顿第三定律,可知
2mvcos-
■t
=-14.1N
2-7质量为2kg的物体,在变力F(x)的作用下,从x=0处由静止开始沿x
方向运动,已知变力F(x)与x之间的关系为
2x
F(x片
10
30—2x
0_x_5
5_x_10
10_x_15
式中,x的单位为m,F(x)的单位为N。
求:
(1)
物体由x=0处分别运动到
10,15m的过程中,力F(x)所做的功各是多少?
的速率各是多少?
(2)物体在x=5,10,15m处
解:
⑴
根据功的定义w=JF r1 x=5时,有 5 w5=j2xdx=25J x=10时,有 10 w102xdx510dx=2550=75J x=15时,有 15 W15=W5W10亠丨〔30-2xdx=7525=100J r2- (2)根据动能定理W=[F drYEk,得 W5Jmv: -0 2 所以, 物体在 x=5m处的速率 -1 s 12 W10mv10-0 2 所以, 物体在 x=10m处的速率 v10=8.66ms-1 W15=丄mv: 5_0 2 所以, 物体在 x=15m处的速率 V15=10ms-1 2-8如图所示,劲度系数k=1000Nm-的轻质弹簧一端固定在天花板上,另一端悬挂一质量为m=2kg的物体,并用手托着物体使弹簧无伸长。 现突然 \\AMAAAm 撒手,取g=10ms-,则弹簧的最大伸长量为[C] (A)0.01m(B)0.02m (C)0.04m(D)0.08m 解: 应用动能定理求解此题。 设弹簧原长处为坐标原点,竖直向下为x轴正方向。 物体在运动后,受到竖直向上的弹力F=-kx和竖直向下的重力P=mg作用。 设物体运动到I位置时,速度为0,此时弹簧达到最大伸长量,则此过程中, 外力做功为 II12 W=WF+WP=[-kxdx+[mgdx=-? kl+mgl 根据动能定理有 W=-1kl2mgl=Ek=0 可得弹簧的最大伸长量为I=0.04m。 2-9关于保守力,下面说法正确的是[D] (A)只有保守力作用的系统动能和势能之和保持不变 (B)只有合外力为零的保守内力作用系统机械能守恒 (C)保守力总是内力 (D)物体沿任一闭合路径运动一周,作用于它的某种力所做之功为零,则该 力称为保守力 2-10在光滑的水平面内有两个物体A和B,已知mA=2mB。 (1)物体A以 一定的动能Ek与静止的物体B发生完全弹性碰撞,则碰撞后两物体的总动能 为; (2)物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全非弹性碰 撞,则碰撞后两物体的总动能为。 解: (1)因两物体发生完全弹性碰撞,故满足动能守恒。 所以Ek2二Ek1=Ek (2)由动量守恒定律有 rnuvA0二m)Am)Bv 所以碰后两物体的速度为 mA2 vvAvA mA-mB3 则碰后两物体的总动能为 l1,「22122厂 Ek2mAmBvrnuvAEk 2323 班级学号姓名 第3章刚体力学 3-1当飞轮作加速转动时,对于飞轮上到轮心距离不等的两点的切向加速 度at和法向加速度 an有[D ] (A)a相同, an相同 (B) at相同, %不同 (C)at不同, an相同 (D) at不同, 务不同 解题提示: 可从at —ra和an ■2r来讨论,转动的刚体上半径不同的质点均具 有相同的角位移,角速度和角加速度。 3-2一力F=3i5jN,其作用点的矢径为r=4i—3jm,则该力对坐标原点 的力矩为M=。 解: M=rF二4i-3j3i5j 其中,ij_-ji=k,ii=jj=0,对上式计算得 M=29k 3-3两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为「a和订(「a),且 两圆盘的总质量和厚度均相同。 设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为JA和JB,则有[] (A)Ja>Jb(B)Ja 大? 解题提示: 圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为 J=1mR2 2 壬曰.质量因为: A•-B,所以Ra: : : Rb,则有JaVJb。 故选择(B)。 3-4如图所示,两长度均为L、质量分别为mi和m2的均匀细杆,首尾相连 地连成一根长直细杆(其各自的质量保持分布不变)。 试计算该长直细杆对过端 点0(在mi上)且垂直于长直细杆的轴的转动惯量。 解: 左边直棒部分对0轴的转动惯量 m2 J01儿丄2 由平行轴定理,右边直棒部分对 0轴转动惯量 02 S2谆 3 整个刚体对0轴的的转动惯量 ...1]2丄1|2丄 Jo=J01十J02=—miL十—m2L+m2—L 312<2丿 二! (mi7m2)L2 3 3-5有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上, F列说法不正确的是[] (A)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零 (B)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零 (C)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零 (D)只有这两个力在转动平面内的分力对转轴产生的力矩,才能改变刚体绕转轴转动的运动状态 解题提示: (C)不正确。 因为力矩不仅与力有关,还与力的作用点有关。 当转动 平面内两个大小相等的力方向相同时,如果这两个力对轴的位置矢量恰好大小相等,方向相反时,其合力矩为零,但合力为力的二倍。 3-6如图所示,质量均为m的物体A和B叠放在水平面上,由跨过定滑轮 的不可伸长的轻质细绳相互连接。 设定滑轮的质量为m,半径为R,且A与B 之间、A与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦,绳与滑轮之间无相对滑动。 物 体A在力F的作用下运动后,求: (1)滑轮的角加速度。 (2)物体A与滑轮之间的绳中的张力。 (3) -■- 爭邂 C: ;' 物体B与滑轮之间的绳中的张力。 解: 以滑轮,物体A和B为研究 对象,分别受力分析,如图所示。 物体A受重力PA、物体B的压力N1、地面的支持力N2、外力F和绳的拉 力T2作用;物体B受重力Pb、物体A的支持力Ni和绳的拉力Ti作用;滑轮受到重力P、轴的支持力N、上下两边绳子的拉力T1■和T2的作用。 设滑轮转动方向为正方向,则根据刚 体定轴转动定律有 T2R-TiR=J: 其中滑轮的转动惯量 12JmR 2 根据牛顿第二定律有 物体A: F-T2=ma 其中, T1二T1,T2二T2 因绳与滑轮之间无相对滑动,所以有 将4个方程联立,可得滑轮的角加速度 2F a== 2mR+J/R5mR 物体A与滑轮之间的绳中的张力 t2=t2=3f 5 物体B与滑轮之间的绳中的张力T1=: T「=2f 5 3-7如图所示,质量分别为 mi和m2的物体A和B用一根质量不计的轻绳相 连,此绳跨过一半径为 R、质量为m的定滑轮。 若物体A与水平面间是光滑接 触,求: 绳中的张力 Ti和T2各为多少? (忽略滑轮转动时与轴承间的摩擦力,且 绳子相对滑轮没有滑动) 解: 对滑轮、物体A和B分别进行受力分析,如图所示。 因绳子不可伸长,故物体A和B的加速度大 小相等。 根据牛顿第二定律,有 Ti二mia (1) P2-T2=m2g-T2=m2a⑵ 滑轮作转动,受到重力P•、张力Ti■和T2以及轴对它的作用力N•等的作用。 由于P•和N•通过滑轮的中 心轴,所以仅有张力Ti和T2对它有力矩的作用。 由刚体的定轴转动定律有 RT2-RTi=J: ⑶ 因绳子质量不计,所以有 Ti'Ti,T2r 因绳子相对滑轮没有滑动,在滑轮边缘上一点的切向加速度与绳子和物体的加 速度大小相等,它与滑轮转动的角加速度的关系为 a=R- 滑轮以其中心为轴的转动惯量为 3-8下面说法中正确的是[A] (A)物体的动量不变,动能也不变 (B) 物体的动量不变 角动量也不变 (C) 物体的动量变化 角动量也一疋变化 (D) 物体的动能变化 动量却不一定变化 将上面5个方程联立,得 Ti二一 mgg 1 亠m2m 2 3-9一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动,该曲线在直角坐标系下的 定义式为r=acos®tbsin^tj,其中a、b、3皆为常数.则此质点所受的对原 点的力矩M=;该质点对原点的角动量L= 、d2r2 解: 因为F=m2m,■r dt2 所以M=rF二r〉d-m「2r=0 dr 因为P=mv=mm-asintibcostjdt L=rP=acostibsintjV\asintibcostjm 其中,ij=-ji-k,ii=jj=0,对上式计算得 L=abmwk J,角速 求: 此 3-10一人手拿两个哑铃,两臂平伸并绕右足尖旋转,转动惯量为度为3。 若此人突然将两臂收回,转动惯量变为J/3。 如忽略摩擦力, 人收臂后的动能与收臂前的动能之比。 解: 因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均为零,所以此人的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒定律。 设人收回两臂后的角速度为「,由Li二L2得 J■ 3 即=3 所以,收臂后的动能与收臂前的动能之比为 3-11一质量为m的人站在一质量为m、半径为R的水平圆盘上, 无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。 系统原来是静止的,后来人沿着与圆盘同心,半径为r(rR)的圆周走动。 求: 当人相对于地面的走动速率为圆盘转动的角速度为多大? 解: 对于转轴,人与圆盘组成的系统角动量守恒。 人的转动惯量为J人=mr2 12 圆盘的转动惯量为j盘mR 2 选地面为惯性参照系,根据角动量守恒定律,有 J人•’人J盘•’盘=0 »亠v 其中-■人,代入上式得 r 圆盘可 v时, 2r R2 负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。 3-12一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动,起初角速度为3。 设它所受 阻力矩与转动角速度之间的关系为M二_k3(k为正常数)。 则在它的角速度从 30变为130过程中阻力矩所做的功为多少? 2 解: 根据刚体绕定轴转动的动能定理,阻力矩所做的功为 .-1212 W=MdJ■J0 1 将°代入上式,得 2 3-13一根质量为m、长为I的均匀细棒,可绕通过其一段的光滑轴O在竖 OCA P V角,则重力矩 直平面内转动。 设t=0时刻,细棒从水平位置开始自由下摆,求: 细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点A的速度。 解: 解法一: 对细棒进行受力分析可知,在转动过 程中,细棒受到重力P和轴对棒的支持力N的作 用。 其中支持力N的大小和方向是随时变化的。 在棒转动过程中,支持力N通过轴O,所以对轴O 的力矩始终为零。 重力对轴O的力矩为变力矩,是 棒运动的合外力矩。 设在转动过程中某时刻,棒与水平方向成 所以细棒在由水平位置转到竖直位置的过程中,重力矩做的功为 W二Md二 -I..| =02mg5cos予-mg— 设棒在水平位置的角速度为 转动的动能定理,有 -0,在竖直位置的角速度为■o根据刚体定轴 |12 W=mgEk-EkoJ--0 22 其中,棒的转动惯量为 ^-ml2,代入上式得 3 根据速度和角速度的关系 v二・r,细棒摆到竖直位置时其中心点 C和端点A的 速度分别为 解法二: 由于棒在转动过程中只有重力矩做功, 所以机械能守恒,有厶Ep||--.Ek I mg-= J=-mI2 3 - vv I-2 - Va二-=3gl 班级学号姓名 第4章机械振动 4-1对同一简谐振动的研究,两个人都选平衡位置为坐标原点, 但其中一人选铅直向上的 Ox轴为坐标系,而另一个 人选铅直向下的0X轴为坐标系,则振动方程中不同 的量是[C] (A)振幅; (B)圆频率; (C)初相位; (D)振幅、圆频率。 4-2三个相同的弹簧(质量均忽略不计)都一端固 平衡位置 定,另一端连接质量为m的物体,但放置情况不同。 如图所示,其中一个平放 一个斜放,另一个竖直放置。 如果忽略阻力影响,当它们振动起来时,贝匸者 的[C] (A)周期和平衡位置都不相同; (C)周期相同,平衡位置不同; 但)周期和平衡位置都相同;(D周期不同,平衡位置相同。 4-3一轻弹簧,上端固定,下端挂有质量为 m的重物,其自由振动的周期 为T.今已知振子离开平衡位置为x时,其振动速度为v,加速度为a•则下列 计算该振子劲度系数的公式中,错误的是】 (A) [2,2K—mvmax/xmax ;(B) k=mg/x; (C) 22 k二4nm/T; (D) k=ma/x。 答: (B)因为mg —kx=ma 4-4 某物体按余弦函数规律作简谐振动 它的初相位为一观/2,则该物体 振动的初
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