格林函数和并矢格林函数.doc

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1、格林函数

格林函数是满足一定条件的某一类函数的解，格林函数并不是根据数学公式和理论严格推导出来了，感觉只是为了表示某一类方程的解，引入的一个函数。

在物理中，称该方程是波动方程。

格林函数满足的方程如下式所示（一维情况）：

其中，，是常数。

在一定的条件下求的解就是格林函数，二维三维情况下于此类似。

在电磁场中，自由空间中点源在任意位置中产生的电势满足如下方程：

方程的解即为三维空间中的格林函数，在无限大空间中的静场为：

2、并矢格林函数

在矢量情况下，函数不再单单表示为数值，还带有方向。

在电磁场中，由于场的传播是在三维空间中。

（1）在笛卡尔坐标中，就有x、y、z三个方向，变化的电流源（磁流源）能在空间中激发电场和磁场，为了求解任意的电流源（磁流源）激发的电磁波的传播情况，就需要分别求出电磁波在x、y和z方向的传播方程。

（2）由于电流源（磁流源）电流的变化是不规则的，它的大小和方向随着空间位置的不同而不同，为了求解其激发的电磁波，可以采用微分的方法，把电流源（磁流源）分割成无穷多个微笑的小电流源。

（3）又由于任一微小的电流源（磁流源）都可以由分别沿笛卡尔坐标的三个方向的无穷小的点电（磁）偶极子矢量相加得到。

由以上三点可以得到，如果能够求的任意方向和大小的电（磁）偶极子在空间中激发的电磁场，利用叠加原理就能求出任意电流源（磁流源）在空间中激发的电磁场的传播情况。

为了求解任意电（磁）偶极子，引入了电并矢格林函数和磁并矢格林函数，函数表示分别如下：

其中，表示位于指向（x、y、z三个方向）的无穷小的电（磁）偶极子产生的电场；表示位于指向（x、y、z三个方向）的无穷小的电（磁）偶极子产生的磁场。

是场点的位置矢量。

电（磁）偶极子要激发场，仍然满足波动方程和辐射条件，如果边界条件已知，就能求出电并矢格林函数和磁并矢格林函数，进而采用叠加和积分的方法求出任意电流源（磁流源）所激发的场。

3、并矢格林函数的分类

根据电流源（磁流源）在场源边界分别满足不同的边界条件，可以将电并矢格林函数和磁并矢格林函数分为以下三类。

（1）当（）时，称为第一类电（磁）并矢。

（2）当（）时，称为第二类电（磁）并矢。

（3）具有平面界面的两种媒质时，其中一个区域内有电流源（磁流源），另外一个无电流源（磁流源），分界面处满足，，，或者时，称为第三类电（磁）并矢。

4、在以上的边界条件下，求解下列方程

即可求解出格林函数，进而求出任意电流源（磁流源）在空间中产生的场。