全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案.docx
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全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案
2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案
一、填空题(本大题共10个小题,每小题8分,共80分)
1.函数fx
1
的定义域是
.
2
lgx
3lgx2
答案:
10,100.
解:
2
3lgx
2
0,1
lgx
2,10
x
100.
lgx
x
y
2.设实数x,y满足
y
6
2x,向量a
2x
y,m,b
1,1,若a//b,则实数m的
x
1
最小值为
.
答案:
2.
解:
因为a
2x
y,m,b
1,1
,所以
2x
y
m,m
y
2x.
1
1
x
y
在条件
y
6
2x下,求得m
y
2x的最小值为
2.
x
1
3.
a
、b都为大于零的常数,
0x
1,则
a2
b2
的最小值为
.
设
x
1
x
a
2
答案:
b.
解:
设f
x
a2
b2
x
0,1
,则
x
1
x
a2
b2
b2x2
2
f
x
a21x
x2
1
x
2
x21
x
2
bx
a1
x
bx
a1
x
x2
1
2
x
a
bx
a
b
a
x
a
.
x2
1
2
x
1)当a
b时,
a2
b2
x
a
x
a
f
x
a
b
2
a
b
x2
1
x
a
1
,
a2
b2
x
b
x
a
1
b
a.
x2
1
2
x
因为a,b都为正数,所以当
x
0,
a
时,f
x
0;当x
a
1时,
a
b
a
b
f
x
0.故函数f
x
在x
a
处取得最小值
ab
f
a
a2
b2
a
2
ab
a
a
b.
1
a
b
a
b
2)当a
b时,
f
x
a2
a2
,
x
1
x
2a2
x
1
f
x
x2
1
22.
x
因为a为正数,所以当
x
0,1
时,f
x0;当x
1,1时,f
x
0.故函
2
2
数f
x在x
1
处取得最小值
2
1
a
2
a
2
4a2
2
f
a
1
a.
2
1
1
2
2
1时,a
2
b
2
2
综上所述,当
0
x
的最小值为a
x
b.
x
1
4.运行如图所示的程序框图,输出的结果
S的值为
.
答案:
3.
2
5.
fxx
3
对应的曲线在点
ak,fak
kN*处的切线与
x
轴的交点为
已知函数
a
0,若a1
1,则
k1
f3a1
f3a2
f3a10
.
10
2
1
3
答案:
3.
6.已知点P在曲线yex上,点Q在曲线ylnx上,则PQ的最小值是.
答案:
2.
7.设m
N*,log2m的整数部分用
Fm
表示,则F1
F2
F1024的值
是
.
答案:
8204.
8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两的端点异色,若只有颜色可供使用,则不同的染色方法总数有种.
4种
答案:
72.
9.设函数
f
x
的定义域为
R,若存在常数
0使
f
x
x
对一切实数
x均成立,
则称函数
f
x
为“条件约束函数”.现给出下列函数:
①
fx
4x;②
f
x
x2
2;
③f
x
2x
fx
是定义在实数集
R上的奇函数,且对一切
x1,x2均有
;④
x2
2x5
fx1
fx2
4x1x2.
其中是“条件约束函数”的序号是
(写出符合条件的全部序号).
答案:
①③④.
10.已知线段AB是半径为2的球O的直径,C、D两点在球O的球面上,
CD2,ABCD,45AOC135,则四面体ABCD的体积的取值范围
是.
答案:
4,43.
3
3
二、解答题(本大题共
3小题,共
70分)
11.(本小题满分
20分)已知数列
a
中,a1
1,a2
1,且
n
4
an1
n
1
2,3,4,.
n
n
an
(1)设bn
1
,球数列
b
的通项公式;
n
n
1an
n
2
n
7.
(2)求证:
对一切n
N*,有
ak
2
k
1
6
解:
(1)
a1
1,an
1
n
1ann
2,3,4,
n
an
当n
2
时,
1
n
an
n
1
n1an
n1an
.
an1
n1
两边同时除以n,得
1
1
1
n
1an
nn
nan
1
1
bn
1
bn
1
1
n1
n
n
1
n
1
1
1
1
bk1
bk
k
1k
1
1
k
2
k
2
n
bn
b2
1
1
n2.bn
1
1
b2
3n2,nN*.
n
1
n
1
n1
(2)证明:
当k
2时,ak
2
1
2
3k
4
1
1
1
3k
1
1
3k
2
3k
3
4
3k
1
当
n
2
时
,
n
2
1
n
2
1
111
11
1
1
a
a
k1
k
k2
k
325
58
3n43n1
1
1
1
1
1
1
1
7.
3
2
3n
6
6
又当n
1时,a1
2
1
7,
6
N*
n
2
7.
对一切n
,有
ak
k
1
6
12(.本小题满分
25分)如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH
的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:
点P为CH的中点.
A
O1H
D
P
BC
O2
证明:
如图,延长AP交⊙O2于点Q,连接AH,BD,QB,QC,QH.
AB为⊙O1的直径,
ADB
BDQ
90.
BQ为⊙O2的直径.
CQ
BC,BH
HQ.
点H为△ABC的垂心,
AH
BC
BH
AC.
AH//CQ,AC//HQ,四边形ACQH为平行四边形.
点P为CH的中点.
13.(本小题满分25分)已知抛物线C:
y24x,以M1,2为直角顶点作该抛物线的
内接直角三角形MAB.
(1)求证:
动直线AB过定点;
(2)过点M作AB的垂线交AB于点N,求点N的轨迹方程.
解:
(1)设直线AB的方程为x
myn,A
x1,y1,Bx2,y2.
x
my
n,
4my
4n
0,
y2
得y2
4x,
y1
y2
4m,y1y2
4n.
AMB
90,
MA
MB
0,即x1
1,y1
2x21,y220.
x1
1x21
y1
2y2
20.
my1
n1my2
n1
y1
2y2
20,
m2
1yymnm2yy
2
2
n140,
1
1
m2
1
4n
mnm24mn2
2n50.
2
2
整理得n34m1,
n32m1或n32m1.
当n
3
2m
1,即n
2m
5时,直线
AB的方程为
x
my25过定点
P5,2
;
2
1
PM
为直径的圆(除去点
1,
2
),
()由()知,点N的轨迹是以
其方程为
x3
2
8
x1.
y2
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