第3题模式识别记心头看似并列实递进.docx
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第3题模式识别记心头看似并列实递进
第3题模式识别记心头看似并列实递进
例3.(2012•河南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=
x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B点重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m;
①用含有m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积之比为9:
10?
若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由.
3-1.(2011•泰州)已知二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点P(﹣2,5)
(1)求b的值并写出当1<x≤3时y的取值范围;
(2)设P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图象上,
①当m=4时,y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长?
请说明理由;
②当m取不小于5的任意实数时,y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由.
3-2.(2013•重庆)如图,对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中点A的坐标为(﹣3,0).
(1)求点B的坐标;
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC.求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.
第5题莫为浮云遮望眼,洞察幽微究指向
例5.(2012•宁波)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若⊙M的半径为
,求点M的坐标.
5-1.(2012•南通)如图,经过点A(0,﹣4)的抛物线y=
x2+bx+c与x轴相交于B(﹣2,0),C两点,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y=
x2+bx+c向上平移
个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
同源链接1.(2010•邵阳)如图,抛物线
与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,顶点为点D,对称轴l与直线BC相交于点E,与x轴相交于点F.
(1)求直线BC的解析式;
(2)设点P为该抛物线上的一个动点,以点P为圆心,r为半径作⊙P
①当点P运动到点D时,若⊙P与直线BC相交,求r的取值范围;
②若r=
,是否存在点P使⊙P与直线BC相切?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
提示:
抛物线y=ax2+bx+x(a≠0)的顶点坐标(
),对称轴x=
.
5-2.(2012•广东-东莞)如图,抛物线y=
x2﹣
x﹣9与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
同源链接2.(2013•天津)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l,顶点为点M.若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示:
(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式;
(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y轴的直线l′,A为直线l′上的动点,线段AM的垂直平分线交直线l于点B,点B关于直线AM的对称点为P,记P(x,y2).
(1)求y2与x之间的函数关系式;
(2)当x取任意实数时,若对于同一个x,有y1<y2恒成立,求t的取值范围.
x
…
﹣1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0
0
…
同源链接3.(2013•南通)如图,直线y=kx+b(b>0)与抛物线
相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS+32=0.
(1)求b的值;
(2)求证:
点(y1,y2)在反比例函数
的图象上;
(3)求证:
x1•OB+y2•OA=0.
同源链接4.(2012•遂宁)已知:
如图,直线y=mx+n与抛物线
交于点A(1,0)和点B,与抛物线的对称轴x=﹣2交于点C(﹣2,4),直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴垂直.
(1)求直线y=mx+n和抛物线
的解析式;
(2)在直线f上是否存在点P,使⊙P与直线y=mx+n和直线x=﹣2都相切.若存在,求出圆心P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在线段AB上有一个动点M(不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,当MN的长为多少时,△ABN的面积最大,请求出这个最大面积.
同源链接5.(2011•福建)如图,抛物线y=ax2﹣4ax+c(a≠0)经过A(0,﹣1),B(5,0)两点,点P是抛物线上的一个动点,且位于直线AB的下方(不与A,B重合),过点P作直线PQ⊥x轴,交AB于点Q,设点P的横坐标为m.
(1)求a,c的值;
(2)设PQ的长为S,求S与m的函数关系式,写出m的取值范围;
(3)以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系?
并写出对应的m取值范围.(不必写过程)
第6题分类讨论程序化分离抗扰探本质
例6.(2011•遵义)已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函数关系式及点C的坐标;
(2)如图
(1),连接AB,在题
(1)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图
(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标.
6-1.(2012•枣庄)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为(﹣1,0).如图所示,B点在抛物线y=
x2+
x﹣2图象上,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为﹣3.
(1)求证:
△BDC≌△COA;
(2)求BC所在直线的函数关系式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
6-2.(2011•南充)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.
(1)求证:
△MDC是等边三角形;
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值?
如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
6-2.(2011•南充)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m﹣4,0)和B(m,0),与直线y=﹣x+p相交于点A和点C(2m﹣4,m﹣6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12,求点P,Q的坐标;
(3)在
(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当△PQM的面积最大时,请求出△PQM的最大面积及点M的坐标.
同源链接1.(2013•贵阳)已知:
直线y=ax+b过抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点P,如图所示.
(1)顶点P的坐标是 _________ ;
(2)若直线y=ax+b经过另一点A(0,11),求出该直线的表达式;
(3)在
(2)的条件下,若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称,求直线y=mx+n与抛物线y=﹣x2﹣2x+3的交点坐标.
同源链接2.(2013•扬州)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣8交y轴于点A,交x轴正半轴于点B.
(1)求直线AB对应的函数关系式;
(2)有一宽度为1的直尺平行于y轴,在点A、B之间平行移动,直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ,设M点的横坐标为m,且0<m<3.试比较线段MN与PQ的大小.
同源链接3.(2012•阜新)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
考生注意:
下面的(3)、(4)、(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记啊!
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(5)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
22.(2011•营口)如图
(1),直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值.
(图
(2)、图(3)供画图探究)
同源链接4.(2011•乐山)已知顶点为A(1,5)的抛物线y=ax2+bx+c经过点B(5,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图
(1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点,求四边形ABCD的最小周长;
(3)在
(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图
(2)所示构造等腰直角三角形PQR.
①当△PQR与直线CD有公共点时,求x的取值范围;
②在①的条件下,记△PQR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式,并求S的最大值.
(同源链接5。
2011•济宁)如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为:
y=kx+3.
(1)设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式.
(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明;
(3)是否存在使△AMN的面积等于
的k值?
若存在,请求出符合的k值;若不存在,请说明理由.
第7题两种对称正方形以美启真助破题
例7.(2013•杭州)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为S1.
(1)求证:
∠APE=∠CFP;
(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,
.
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.
7-1.(2013•娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图
(1)所示位置放置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图
(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:
AM=AN;
(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?
并说明理由.
7-2.如图1,两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上,DE=2,AB=1.将直线EB绕点E逆时针旋转45°,交直线AD于点M.将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移,设C、E两点间的距离为k.
解答问题:
(1)①当点C与点F重合时,如图2所示,可得
的值为 _________ ;②在平移过程中,
的值为 _________ (用含k的代数式表示);
(2)将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时,如图3所示,请补全图形,计算
的值;
(3)将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度,0<α≤90,原题中的其他条件保持不变.计算
的值(用含k的代数式表示).
同源链接1.(2013•北京)阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.
小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正方形的边长为 _________ ;
(2)求正方形MNPQ的面积.
(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ.若S△RPQ=
,则AD的长为 _________ .
同源链接2.(2013•襄阳)如图1,点A是线段BC上一点,△ABD和△ACE都是等边三角形.
(1)连结BE,CD,求证:
BE=CD;
(2)如图2,将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为 _________ 度时,边AD′落在AE上;
②在①的条件下,延长DD’交CE于点P,连接BD′,CD′.当线段AB、AC满足什么数量关系时,△BDD′与△CPD′全等?
并给予证明.
同源链接3.(2013•宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.
(1)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求证:
BD是梯形ABCD的和谐线;
(2)如图2,在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A.B.C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
(3)四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数.
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