数学最新7初三预习 一元二次方程的应用.docx
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数学最新7初三预习一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
知识导入(
进入美妙的世界啦~)
学习了一元二次方程的解法以后,就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右为难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子,从而列出方程求解,同时还要及时地检验答案的正确性并作答.
知识梳理
一元二次方程的应用主要分为:
(增长率、面积问题、握手、利润问题、动点问题)
列方程解决实际问题的六个步骤:
(1)“审”:
审题,弄清题意,找出等量关系和数量关系;
(2)“设”:
设未知数,并根据数量关系用未知数表示一些未知量;
(3)“列”:
根据等量关系和数量关系,列出方程(注意单位要统一);
(4)“解”:
解方程;
(5)“验”:
检验方程的解是否符合实际意义;
(6)“答”:
最后记得要写答。
典例与变式
考点一:
增长率问题
例1:
在国家宏观调控下,某市的商品房成交价由今年7月份的14000元/m2下降到9月份
的12600元/m2
(1)问这两月平均每月降价的百分率是多少?
(参考数据:
)
(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到10月分该市的商品房成交均
价是否会跌破10000元/m2?
请说明理由。
变式1:
某企业2013年盈利1500万元,2015年克服金融危机的不利影响,仍实现盈利2160
万元。
从2013年到2015年,如果该企业每年的盈利的年增长率相同,求:
(1)该企业2014年盈利多少万元?
(2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计2016年盈利多少万元?
变式2:
某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电
脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若
病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
变式3:
为建设美丽泉城,喜迎十艺节,某企业逐年增加对环境保护的经费投入,2012
年投入了400万元,预计到2014年将投入576万元.
(1)求2012年至2014年该单位环保经费投入的年平均增长率;
(2)该单位预计2015年投入环保经费不低于680万元,若继续保持前两年的年平
均增长率,该目标能否实现?
请通过计算说明理由.
考点二:
面积问题
例1:
如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平
方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
变式1:
如图,利用一面墙(墙EF最长可利用25米),围成一个矩形花园ABCD,与围
墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),用砌
46米长的墙的材料,当矩形的长BC为多少米时,矩形花园的面积为299平方米.
变式2:
某村计划建造如图2所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2︰1。
在温室内,
沿前侧内墙保留3m宽的空地,其它三侧内墙各保留1m宽的通道。
当矩形温室的
长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是288m2?
变式3:
为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备将院内一块长
30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园,要求在花园中修两条纵向平行
和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为
532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?
(注:
所有小道进出口的宽度相等,
且每段小道均为平行四边形)
变式4:
如图,把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,
再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?
(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?
如果有,请你求
出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.
考点三:
握手问题
例1:
一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了66次手.这
次会议到会的人数是多少?
变式1:
要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21
场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
变式2:
某一兴趣小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,求这个小组人数.
考点四:
利润问题
例1:
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元,为了扩大销售、
增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬
衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件,若商场平均每天盈利2100元,每件衬
衫应降价多少元?
变式1:
合肥百货大搂服装柜在销售中发现:
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件
盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销
售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:
如果每件童装降价4元,那么平均
每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装
因应降价多少元?
变式2:
某商店将进货为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现在采用提高
商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品按每件的销售价每提高0.5元
其销售量就减少10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元?
考点五:
动点问题
例1:
如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,
Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时
出发,几秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2?
变式1:
如图,矩形ABCD,AB=6cm,AD=2cm,点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折
线A﹣B﹣C向点C运动,同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发向点D运动,
当其中一个动点到达末端停止运动时,另一点也停止运动.
(1)问两动点运动几秒,使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
;
(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为
?
若存在,求出运
动所需的时间;若不存在,请说明理由.
变式2:
甲、乙两人分别骑车从A,B两地相向而行,甲先行1小时后,乙才出发,又经
过4小时两人在途中的C地相遇,相遇后两人按原来的方向继续前进。
乙在由C
地到达A地的途中因故停了20分钟,结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达
B地还提前了40分钟,已知乙比甲每小时多行驶4千米,求甲、乙两人骑车的速
度。
强化训练
1、如图,在一条长90米,宽60米的矩形草地上修三条小路,小路都等宽,除小路外,草地面积为5192米2的6个矩形小块,则小路的宽度应为()
A.1米或104米B.1米
C.2米D.1.5米
2、甲公司前年缴税40万元,今年缴税48.4万元,该公司缴税的年平均增长率为___________。
3、有一面积为150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的长为35m,求鸡场的长与宽各为多少。
4、一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠,如果小渠的宽相等,而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽?
5、将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了赚8000元利润,售价应定为多少,这时应进货为多少个?
6、(2010安徽省)在国家的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/
下降到5月分的12600元/
⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?
⑵如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/
?
请说明理由
7、如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速运动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半?
(AC=6m,BC=8m)
8、矩形ABCD中,点P从点A沿AB向B点以每秒2cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以每秒1cm的速度移动,AB=6cm,BC=4cm,若P、Q两点分别从A、B同时出发,问几秒钟后P、Q两点之间的距离为
cm?
(6分)
9、某军舰以20海里/时的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行,它能侦察周周围50海里(含50海里)范围内的目标。
如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处正南方向的B处,且AB=90海里。
若军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军?
如果能,最早何时能侦察到?
如果不能,请说明理由。
课后作业
1、某超市一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共1000万元,如果平均每月增长率为
,则由题意列方程应为()
(A)
(B)
(C)
(D)
2、某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?
3、如图,有一长方形的地,该地块长为x米,宽为120米,建筑商将它分成三部分:
甲、乙、丙.甲和乙为正方形.现计划甲建设住宅区,乙建设商场,丙开辟成公司.若已知丙地的面积为3200平方米,你能算出x的值吗?
4、如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
5、学校组织一次兵乓球比赛,参赛的每两个选手都要比赛一场,所有比赛一共有36场,问有多少名同学参赛?
用一元二次方程,化成一般形式。
6、山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:
(1)每千克核桃应降价多少元?
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?
7、在某场象棋比赛中,每位选手和其他选手赛一场,胜者记2分,败者记0分,平局各记1分,今有四位统计员统计了全部选手的得分之和分别是2025分、2027分、2070分、2085分,经核实,只有一位统计员的结果是正确的,问这场比赛有几位选手参加?
8、每件商品的成本是120元,在试销阶段发现每件售价(元)与产品的日销售量(件)始终存在下表中的数量关系,但每天的盈利(元)却不一样。
为找到每件产品的最佳定价,商场经理请一位营销策划员通过计算,在不改变每件售价(元)与日销售量(件)之间的数量关系的情况下,每件定价为m元时,每日盈利可以达到最佳值1600元。
请你做营销策划员,m的值应为多少?
每件售价
130
150
165
每日销售
70
50
35
9、一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:
如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗?
10、如图:
Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,则P、Q分别从A、B同时出发,经过多少秒钟,△PBQ的面积等于10cm2?
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