新建函数对称和平移.docx
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新建函数对称和平移.docx
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新建函数对称和平移
•
(2)图象变换法
•平移变换
•①水平平移:
y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象向(+)或向(-)平移单位而得到.
•②竖直平移:
y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象向(+)或向(-)平移单位而得到.
•对称变换
•①y=f(-x)与y=f(x)的图象关于对称.
•②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于对称.
•③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于对称.
•④y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线对称.
•⑤要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变
⑥要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于的对称性,作出x<0的图象.
函数变换是个难点,但只要你自己好好推导一次,认真体会过程就行了.
一、先说对称变化,关于直线对称.设函数Y=f(x),求它关于y=kx+b对称的函数表达式.设P(x,y)是所求函数上任意一点,刚P关于直线的对称点P1(x1,y1)在原函数Y=f(x)上.我这里不计算了,只说方法吧.P与P1的中点在直线上,这是一个方程;PP1的斜率与对称轴直线斜率之积为-1,这是第二个方程。
分别用x,y的代数式表示x1,y1,把x1,y1代入已知原函数表达式,解出来x,y就行了。
因为具体题算数时比这个好算,再说在这打字还行打字符就不好玩。
这是通法,适用于所有函数对任意直线。
当然,函数特殊时,特别是直线特殊时,也不用这方法了。
比如关于X轴对称,就把原表达式里的Y换成-Y,化简就行了。
关于Y轴对称,就把原表达式里的X换成-X,化简就行了。
关于Y=X直线对称,就是把X换成Y,把Y换成X就行。
这个也好记吧,你要是记不住,自己画个图体会一下,可以用一个点记。
设P(a,b)点,关于X轴对称点为(a,-b),关于Y轴对称点为(-a,b),关于Y=X直线对称点为(b,a)。
二、关于点成中心对称。
这与一类似,也是设P(x,y)为所求函数上任意一点,对应的P1(x1,y1)点在原函数上。
因为对称中心,所以,用中点坐标公式,就建立起x与x1,y与y1的代数关系了。
解出x1,y1,代入已知函数表达式,化简就行了。
三、平移
函数,y=f(x),你记住“加左减右,上加下减”这一句就行了。
比如,把y=f(x)向左平移2个单位,就变成了y=f(x+2).
把y=f(x)向下平移3个单位,就变成了y=f(x)-3.
要看好,加在了哪里。
左右平移时,是加在了x跟前,上下平移时,是加在原来的y上了。
再比如,函数y=f(x),做一个向量(-5,2)的平移,分析向量,是向左平移5个单位,向上平移2个单位,所以函数变成了y=f(x+5)+2
•伸缩变换
•①y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为,不变而得到.
•②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为的倍,不变而得到.
•2.识图
•对于给定的函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的、、、、,注意图象与函数解析式中参数的关系.
•3.用图
•函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.
•4.图象对称性的证明
•证明函数图象的对称性,即证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上.
①若f(a+x)=f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于x=
成轴对称图形,若f(a+x)=-f(b-x),x∈R,则y=f(x)的图象关于点(
,0)成中心对称图形.
②函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=
(b-a)对称.
1.函数y=5x与函数y=-
的图象关于( )
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称D.直线y=x对称
2.为了得到函数y=3×(
)x的图象,可以把函数y=(
)x的图象( )
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度
解析:
函数y=3×(
)x=(
)x-1,
∴把函数y=(
)x的图象向右平移一个单位便得到
y=(
)x-1,即y=3×(
)x.
•3.为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2x/8的图象________.
•答案:
向上平移3个单位
4.已知下列曲线:
以及编号为①②③④的四个方程:
①
-
=0;②|x|-|y|=0;
③x-|y|=0;④|x|-y=0.
请按曲线A、B、C、D的顺序,依次写出与之对应的方程的编号________.
•按图象逐个分析,注意x、y的取值范围.
•答案:
④②①③
•5.作出下列函数的图象:
•
(1)y=10|lgx|;
•
(2)y=x-|x-1|.
解:
(1)因|lgx|=
于是
当x≥1时,10|lgx|=10lgx=x;
当0 故y=10|lgx|= 根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象,如下图 (1)所示 (2)根据绝对值的意义,可将函数式化为分段函数 y= 可见其图象是由两条射线组成,如上图 (2)所示. •【例1】 分别画出下列函数的图象: • (1)y=|lgx|; • (2)y=2x+2; •(3)y=x2-2|x|-1. 解: (1)y= .图象如下图 (1). (2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如下图 (2). (3)y= .图象如下图(3). 变式迁移1 作出下列函数的图象: (1)y=|x-2|·(x+1); (2)y=( )|x|; (3)y=|log2(x+1)|. 解: (1)先化简,再作图. y= .(如下图 (1)). (2)此函数为偶函数, 利用y=( )x(x≥0)的图象进行变换.(如下图 (2)). (3)利用y=log2x的图象进行平移和翻折变换. 如下图(3). •例2】 回答下述关于图象的问题: • (1)向形状如右图,高为H的水瓶注水,注满为止,若将注水量V看作水深h的函数,则函数V=f(h)的图象是下图中的 • (2)某学生一天早晨离家去学校,开始骑自行车,中途自行车胎破,他只好推着自行车赶到学校.若将这天早晨他从家里出来后离学校的距离d表示为他出发后的时间t的函数d=f(t),则函数f(t)的大致的图象是下图中的( ) 思路分析: 判断函数图象的依据: ①图象从左向右的升降情况;②图象升降的快慢程度;③利用图象中的特殊点(如起点、终点等);④先求函数解析式再判断函数图象. •解: (1)水量V显然是h的增函数,将容器的高等分成n段,每一段记为Δh,从开始注水起(即从下到上)计算,每段Δh对应的水量分别记为ΔV1,ΔV2,…,ΔVn,由于容器上小下大,∴ΔV1>ΔV2>…>ΔVn,即当h愈大时,相等高度增加的水量愈少,∴其图象呈“上凸”形状,故选A. • (2)∵时间t愈大,该学生离学校的距离d愈小,∴d是t的减函数,答案应为C、D中的一个,由于前一段时间速度快,后一段时间速度慢,即的值前大后小,故选D. •答案: (1)A (2)D 变式迁移2 (2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如右图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( ) A.在t1时刻,甲车在乙车前面 B.t1时刻后,甲车在乙车后面 C.在t0时刻,两车的位置相同 D.t0时刻后,乙车在甲车前面 •解析: 由图知甲车在(0,t1)段的曲边梯形面积大于乙车在(0,t1)段的曲边梯形的面积,面积表示路程,因此甲车在乙车的前面. •答案: A 【例3】 已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图象关于直线________对称,函数y=f(x)的图象关于直线________对称. 解法一: 函数y=f(2x+1)的图象是由函数y=f(2x)的图象沿x轴方向,向左平移 个单位得到的,而y=f(2x+1)是偶函数,其图象关于y轴对称,所以函数y=f(2x)的图象关于直线x= 对称.又函数y=f(2x)的图象是由函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 得到的,故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 解法二: ∵y=f(2x+1)是偶函数,∴f(-2x+1)=f(2x+1),∴f(1-x)=f(1+x),故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,函数y=f(2x)的图象关于直线x= 对称 •变式迁移3 (1)已知函数y=f(x)的定义域为R,且当x∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证: y=f(x)的图象关于直线x=m对称; • (2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a的值. (1)证明: 设P(x0,y0)是y=f(x)图象上任意一点, 则y0=f(x0). 又P点关于x=m的对称点为P′,则P′的坐标为(2m-x0,y0).由已知f(x+m)=f(m-x),得 f(2m-x0)=f[m+(m-x0)] =f[m-(m-x0)]=f(x0)=y0.即 P′(2m-x0,y0)在y=f(x)的图象上. ∴y=f(x)的图象关于直线x=m对称. • (2)解: 对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立. •∴|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立, •即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. •又∵a≠0,∴2a-1=0,得a= 函数图像的利用 【例4】 已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}. 解: f(x)= 作出图象如右图所示. (1)递增区间为[1,2],[3,+∞),递减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)由图象可知y=f(x)与y=mx图象有四个不同的交点,直线y=mx应介于x轴与切线l1之间. ⇒x2+(m-4)x+3=0. 由Δ=0得m=4±2 .m=4+2 时, x=- ∉(1,3)舍去. ∴m=4-2 ,l1方程为y=(4-2 )x. ∴m∈(0,4-2 ). ∴集合M={m|0 }. 方程的解的个数⇔方程等号两边所对应的曲线公共点个数,因此,可利用曲线(或函数图象)公共点个数来研究方程的解的个数. 变式迁移4 (2009·广东调考题)若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,求实数m的取值. 解: 在同一坐标系中分别画出函数y=|2x-m|及y=|3x+6|(如右图),由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,所以函数y=|2x-m|的图象应总在函数y=|3x+6|图象的下方,因此函数y=|2x-m|的图象也必经过点(-2,0),故m=-4. •1.列表描点法是作函数图象的最基本的方法,要作函数图象一般首先要明确函数图象的位置和形状; • (1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、凸凹性等等; • (2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等; •2.利用函数的图象可研究函数的性质,可判断方程解的个数,可通过解方程,根据函数的图象观察对应不等式的解等. •3.数形结合的思想方法也是高考中重点考查的内容.
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