九年级数学上册全册导学案人教版含答案.docx
- 文档编号:16511769
- 上传时间:2023-07-14
- 格式:DOCX
- 页数:34
- 大小:33.98KB
九年级数学上册全册导学案人教版含答案.docx
《九年级数学上册全册导学案人教版含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《九年级数学上册全册导学案人教版含答案.docx(34页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
九年级数学上册全册导学案人教版含答案
九年级数学上册全册导学案(人教版含答案)
第二十一 一元二次方程
21.1 一元二次方程1了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.
2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+=0(a≠0)及有关概念.
3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:
一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.
难点:
由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟)
问题1:
如图,有一块矩形铁皮,长100,宽0,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为36002,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为x,则盒底的长为__(100-2x)__,宽为__(0-2x)__.列方程__(100-2x)•(0-2x)=3600__,化简整理,得__x2-7x+30=0__.①
问题2:
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
分析:
全部比赛的场数为__4×7=28__.
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他__(x-1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x(x-1)2__场.列方程__x(x-1)2=28__,化简整理,得__x2-x-6=0__.②
探究:
(1)方程①②中未知数的个数各是多少?
__1个__.
(2)它们最高次数分别是几次?
__2次__.
归纳:
方程①②的共同特点是:
这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.
1.一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:
ax2+bx+=0(a≠0).
这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,____是常数项.
点拨精讲:
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条,不能漏掉.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)
1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?
(1)x3-2x2+=0;
(2)x2=1;
(3)x2-2x-14=x2-2x+3;
(4)2(x+1)2=3(x+1);
()x2-2x=x2+1;(6)ax2+bx+=0
解:
(2)(3)(4).
点拨精讲:
有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.
2.将方程3x(x-1)=(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解:
去括号,得3x2-3x=x+10移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10
点拨精讲:
将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)
1.求证:
关于x的方程(2-8+17)x2+2x+1=0,无论取何值,该方程都是一元二次方程.
证明:
2-8+17=(-4)2+1,
∵(-4)2≥0,
∴(-4)2+1>0,即(-4)2+1≠0
∴无论取何值,该方程都是一元二次方程.
点拨精讲:
要证明无论取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明2-8+17≠0即可.
2.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
解:
将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.
点拨精讲:
要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)
1.判断下列方程是否为一元二次方程.
(1)1-x2=0;
(2)2(x2-1)=3;
(3)2x2-3x-1=0;(4)1x2-2x=0;
()(x+3)2=(x-3)2;(6)9x2=-4x
解:
(1)是;
(2)不是;(3)是;
(4)不是;()不是;(6)是.
2.若x=2是方程ax2+4x-=0的一个根,求a的值.
解:
∵x=2是方程ax2+4x-=0的一个根,
∴4a+8-=0,
解得a=-34
3.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是2,求正方形的边长x;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x
解:
(1)4x2=2,4x2-2=0;
(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0
学生总结本堂的收获与困惑.(2分钟)
1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+=0(a≠0),特别强调a≠0
3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.
学习至此,请使用本时对应训练部分.(10分钟)
21.2 解一元二次方程
21.21 配方法
(1)1使学生会用直接开平方法解一元二次方程.
2渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:
运用开平方法解形如(x+)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.
难点:
通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)
问题1:
一桶某种油漆可刷的面积为100d2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
设正方体的棱长为xd,则一个正方体的表面积为__6x2__d2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:
__10×6x2=100__,
由此可得__x2=2__,
根据平方根的意义,得x=__±__,
即x1=____,x2=__-__.
可以验证____和-都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为____d
探究:
对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=及方程x2+6x+9=4?
方程(2x-1)2=左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x-1=±__,即将方程变为__2x-1=和__2x-1=-__两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=的两个解为x1=__1+2,x2=__1-2__.
在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.
方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__,方程的根为x1=__-1__,x2=__-__
归纳:
在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或x+n=±p
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)
解下列方程:
(1)22=8;
(2)2(x-8)2=0;
(3)(2x-1)2+4=0;(4)4x2-4x+1=0
解:
(1)22=8,
(2)2(x-8)2=0,
2=4, (x-8)2=2,
=±2, x-8=±,
∴1=2,2=-2; x-8=或x-8=-,
∴x1=13,x2=3;
(3)(2x-1)2+4=0, (4)4x2-4x+1=0,
(2x-1)2=-4<0, (2x-1)2=0,
∴原方程无解; 2x-1=0,
∴x1=x2=12
点拨精讲:
观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)(3x+1)2=7;
(2)2+2+1=24;
(3)9n2-24n+16=11
解:
(1)-1±73;
(2)-1±26;(3)4±113
点拨精讲:
运用开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.
2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值.
解:
±1
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟)
用直接开平方法解下列方程:
(1)3(x-1)2-6=0;
(2)x2-4x+4=;
(3)9x2+6x+1=4;(4)36x2-1=0;
()4x2=81;(6)(x+)2=2;
(7)x2+2x+1=4
解:
(1)x1=1+2,x2=1-2;
(2)x1=2+,x2=2-;
(3)x1=-1,x2=13;
(4)x1=16,x2=-16;
()x1=92,x2=-92;
(6)x1=0,x2=-10;
(7)x1=1,x2=-3
学生总结本堂的收获与困惑.(2分钟)
1.用直接开平方法解一元二次方程.
2.理解“降次”思想.
3.理解x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?
学习至此,请使用本时对应训练部分.(10分钟)
21.21 配方法
(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.
2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:
掌握配方法解一元二次方程.
难点:
把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.
(2分钟)
1.填空:
(1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2;
(2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2;
(3)x2+px+__(p2)2__=(x+__p2__)2
2.若4x2-x+9是一个完全平方式,那么的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)
问题1:
要使一块矩形场地的长比宽多6,并且面积为162,场地的长和宽分别是多少米?
设场地的宽为x,则长为__(x+6)__,根据矩形面积为162,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.
探究:
怎样解方程x2+6x-16=0?
对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?
解:
移项,得x2+6x=16,
两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x2+bx+(b2)2的形式,得
__x2__+6__x__+9=16+__9__,
左边写成平方形式,得
__(x+3)2=2__,
开平方,得
__x+3=±__, (降次)
即__x+3=__或__x+3=-__,
解一次方程,得x1=__2__,x2=__-8__.
归纳:
通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.
问题2:
解下列方程:
(1)3x2-1=;
(2)4(x-1)2-9=0;
(3)4x2+16x+16=9
解:
(1)x=±2;
(2)x1=-12,x2=2;
(3)x1=-72,x2=-12
归纳:
利用配方法解方程时应该遵循的步骤:
(1)把方程化为一般形式ax2+bx+=0;
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;
(3)方程两边同时除以二次项系数a;
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
()此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程解.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)
1.填空:
(1)x2+6x+__9__=(x+__3__)2;
(2)x2-x+__14__=(x-__12__)2;
(3)4x2+4x+__1__=(2x+__1__)2
2.解下列方程:
(1)x2+6x+=0;
(2)2x2+6x+2=0;
(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
解:
(1)移项,得x2+6x=-,
配方得x2+6x+32=-+32,(x+3)2=4,
由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-
(2)移项,得2x2+6x=-2,
二次项系数化为1,得x2+3x=-1,
配方得x2+3x+(32)2=(x+32)2=4,
由此可得x+32=±2,即x1=2-32,
x2=-2-32
(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,
移项得x2+4x=1,
配方得(x+2)2=,
x+2=±,即x1=-2,x2=--2
点拨精讲:
解这些方程可以用配方法完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(分钟)
如图,在Rt△AB中,∠=90°,A=8,B=6,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿A,B方向向点匀速移动,它们的速度都是1/s,几秒后△PQ的面积为Rt△AB面积的一半?
解:
设x秒后△PQ的面积为Rt△AB面积的一半.根据题意可列方程:
12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,
即x2-14x+24=0,
(x-7)2=2,
x-7=±,
∴x1=12,x2=2,
x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.
答:
2秒后△PQ的面积为Rt△AB面积的一半.
点拨精讲:
设x秒后△PQ的面积为Rt△AB面积的一半,△PQ也是直角三角形.根据已知条列出等式.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)
1.用配方法解下列关于x的方程:
(1)2x2-4x-8=0;
(2)x2-4x+2=0;
(3)x2-12x-1=0;(4)2x2+2=
解:
(1)x1=1+,x2=1-;
(2)x1=2+2,x2=2-2;
(3)x1=14+174,x2=14-174;
(4)x1=62,x2=-62
2.如果x2-4x+2+6+z+2+13=0,求(x)z的值.
解:
由已知方程得x2-4x+4+2+6+9+z+2=0,即(x-2)2+(+3)2+z+2=0,∴x=2,=-3,z=-2
∴(x)z=[2×(-3)]-2=136
学生总结本堂的收获与困惑.(2分钟)
1.用配方法解一元二次方程的步骤.
2.用配方法解一元二次方程的注意事项.
学习至此,请使用本时对应训练部分.(10分钟)
21.22 公式法1理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.
2会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:
求根公式的推导和公式法的应用.
难点:
一元二次方程求根公式的推导.
(2分钟)
用配方法解方程:
(1)x2+3x+2=0;
(2)2x2-3x+=0
解:
(1)x1=-2,x2=-1;
(2)无解.一、自学指导.(8分钟)
问题:
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?
问题:
已知ax2+bx+=0(a≠0),试推导它的两个根x1=-b+b2-4a2a,x2=-b-b2-4a2a
分析:
因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
探究:
一元二次方程ax2+bx+=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+=0,当b2-4a≥0时,将a,b,代入式子x=-b±b2-4a2a就得到方程的根,当b2-4a<0时,方程没有实数根.
(2)x=-b±b2-4a2a叫做一元二次方程ax2+bx+=0(a≠0)的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.
()一般地,式子b2-4a叫做方程ax2+bx+=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4a
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(分钟)
用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?
(1)2x2-3x=0;
(2)3x2-23x+1=0;
(3)4x2+x+1=0
解:
(1)x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;
(2)x1=x2=33;有两个相等的实数根;
(3)无实数根.
点拨精讲:
Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)
1.方程x2-4x+4=0的根的情况是( B )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
.有一个实数根
D.没有实数根
2.当为何值时,方程(+1)x2-(2-3)x++1=0,
(1)有两个不相等的实数根?
(2)有两个相等的实数根?
(3)没有实数根?
解:
(1)<14;
(2)=14; (3)>14
3已知x2+2x=-1没有实数根,求证:
x2+x=1-2必有两个不相等的实数根
证明:
∵x2+2x-+1=0没有实数根,
∴4-4(1-)<0,∴<0
对于方程x2+x=1-2,即x2+x+2-1=0,
Δ=2-8+4,∵<0,∴Δ>0,
∴x2+x=1-2必有两个不相等的实数根.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)
1.利用判别式判定下列方程的根的情况:
(1)2x2-3x-32=0;
(2)16x2-24x+9=0;
(3)x2-42x+9=0;(4)3x2+10x=2x2+8x
解:
(1)有两个不相等的实数根;
(2)有两个相等的实数根;
(3)无实数根;
(4)有两个不相等的实数根.
2.用公式法解下列方程:
(1)x2+x-12=0;
(2)x2-2x-14=0;
(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;
()x2+2x=0; (6)x2+2x+10=0
解:
(1)x1=3,x2=-4;
(2)x1=2+32,x2=2-32;
(3)x1=1,x2=-3;
(4)x1=-2+6,x2=-2-6;
()x1=0,x2=-2;(6)无实数根.
点拨精讲:
(1)一元二次方程ax2+bx+=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,确定的;
(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4a≥0的前提下,把a,b,的值代入x=-b±b2-4a2a(b2-4a≥0)中,可求得方程的两个根;
(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.
学生总结本堂的收获与困惑.(2分钟)
1求根公式的推导过程.
2用公式法解一元二次方程的一般步骤:
先确定a,b,的值,再算出b2-4a的值、最后代入求根公式求解.
3用判别式判定一元二次方程根的情况.
学习至此,请使用本时对应训练部分.(10分钟)
21.23 因式分解法1会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.
2能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:
用因式分解法解一元二次方程.
难点:
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.
(2分钟)
将下列各题因式分解:
(1)a+b+=(__a+b+__);
(2)a2-b2=__(a+b)(a-b)__;
(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)
问题:
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10/s的速度竖直上抛,那么经过xs物体离地的高度(单位:
)为10x-49x2你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?
(精确到001s)
设物体经过xs落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-49x2=0, ①
思考:
除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?
分析:
方程①的右边为0,左边可以因式分解得:
x(10-49x)=0,
于是得x=0或10-49x=0, ②
∴x1=__0__,x2≈204.
上述解中,x2≈204表示物体约在204s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0s时物体被抛出,此刻物体的高度是0
点拨精讲:
(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.
(2)如果a•b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:
如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(分钟)
1.说出下列方程的根:
(1)x(x-8)=0;
(2)(3x+1)(2x-)=0
解:
(1)x1=0,x2=8;
(2)x1=-13,x2=2
2.用因式分解法解下列方程:
(1)x2-4x=0;
(2)4x2-49=0;
(3)x2-20x+20=0
解:
(1)x1=0,x2=4;
(2)x1=72,x2=-72;
(3)x1=x2=2一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)
1.用因式分解法解下列方程:
(1)x2-4x=0;
(2)3x(2x+1)=4x+2;
(3)(x+)2=3x+1
解:
(1)x1=0,x2=4;
(2)x1=23,x2=-12;
(3)x1=-,x2=-2
点拨精讲:
用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.
2.用因式分解法解下列方程:
(1)4x2-144=0;
(2)(2x-1)2=(3-x)2;
(3)x2-2x-14=x2-2x+34;
(4)3x2-12x=-12
解:
(1)x1=6,x2=-6;
(2)x1=43,x2=-2;
(3)x1=12,x2=-12;
(4)x1=x2=2
点拨精讲:
注意本例中的方程可以试用多种方法.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)
1.用因式分解法解下列方程:
(1)x2+x=0;
(2)x2-23x=0;
(3)3x2-6x=-3;(4)4x2-121=0;
()(x-4)2=(-2x)2
解:
(1)x1=0,x2=-1;
(2)x1=0,x2=23;
(3)x1=x2=1;
(4)x1=112,x2=-112;
()x1=3,x2=1
点拨精讲:
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 九年级 数学 上册 全册导学案人教版含 答案
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)