43曲线的凸性及拐点函数作图docx.docx
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教案(首页)
授课日期
授课班级
课题
4.3曲线的凸性及拐点函数作图
计划学时
2课时
教学目标
1.熟练掌握函数拐点以及1叫凸区间的定义;2.掌握函数1叫凸性的判定方法及拐点定理;3.熟练掌握函数草图的做法并了解一般的作图步骤;
教学重点解决措施
教学重点:
函数凹凸性的判定方法及拐点定理解决措施:
讲授、演示
教学难点解决措施
教学难点:
函数草图的做法
解决措施:
讲授、演示
教学设计教学手段教学方法
多媒体教学、板书演示
板书设计授课提纲
一、复习
二、新授
4.3曲线的凸性及拐点函数作图
(一)函数拐点以及凹凸区间的定义
(二)函数凹凸性的判定方法及拐点定理
(三)函数草图的做法并了解一般的作图步骤
三、练习
四、小结
五、作业
5分钟
题.
【新课引入】
I•凸性及拐点
在第一章我们讨论过函数的作图问题。
但能使用的手段不
其实所有函数的图像可有这四种图像组合而成
解释
多。
本章第一节用导数的正负判断函数的增减性及极值点,无疑是增加了作图的有效手段,但
切线的斜线率是减小的。
而图4.14的右图却正好相反,即当x增大时,切线率是增大的。
因此用导数增减性可完全反映出图形的凸性。
【新课讲授】
教学过程设计
时间分配
教师活动
H
定义一设函数y=/(%)在(以)可导,如呆厂⑴世递减的,则称曲线尸/&)在仏切内是凸的;如果广⑴是递增的,则称曲线)=y(兀)在(Q上)内事凹的。
定义二设函数y=/(X)在所考虑的区间可导,则曲线)=/(兀)的凸凹分界点称为曲线)匸/(Q的拐点。
如何判断曲线的凸凹及拐点呢?
曲线的凹凸是由广(兀)得增减性来定义的,又因为厂⑴足厂⑴的导数,所以广(兀)的增减可由厂⑴的正负号来判断。
于是可得到下列几个定理。
定理一若fr(x)>O,xe(a9b),则曲线y=f(x)在仏b)内是凹的,反之,若/r(x)<O,xe(a,b)则曲线y=/(兀)在G,b)内事凸的。
定理二(拐点的必要条件)若点(心/比))是曲线
),=/(%)的拐点。
且兀。
处二阶导数存在。
则厂亿)=0。
定理三若厂(兀0)=0且/©)在无0两侧变号,则点(兀oJ&o))是曲线的拐点。
例1求曲线尸111(1+兀彳)的拐点。
并判断曲线在什么
区间上是凸的,在什么区间上是凹的?
解函数的定义域是(-oo,+oo)。
50分钟
定义,交代注意
占
教学过程设计
时间分配
教师活动
H
2x
y=.2‘
1+天
=2(l-x2)(1+讨
令y"=0,得兀=l,x=-1。
讨论如下:
当一oovxv-l时,yn<0,曲线是凸的,
当-1VXV:
!
时,)彳>0,曲线是凹的,
当lvxv+x时,y"v0曲线是凸的。
由此知拐点为
(-Lin2)及(1,In2).(-汽―1),(1,+®)为区间,(-1,1)为凹区间。
Y2+1
例2讨论曲线y二入1的凸凹及拐点。
,
X
例题
选解
解算出
Z11
y=|2,
X
”2
函数的定义域为(-oo,0)U(0,+oo),讨论如下:
当XV0时,/<0,曲线是凸的,
当想x>时,/>0,曲线是凸的,
因为x=0不在定义域内,所以曲线无拐点。
II•函数作图
教学过程设计
时间分配
教师活动
Ka
作函数的图形,大致可以分为以下步骤:
(1)初步研究:
如何讨论定义域,对称性,周期性
(2)讨论增减区间•极值点及极值;
(3)讨论F1凸区间及拐点;
(4)讨论一些特殊情形,如有点兀()使=〜及若lim/K
JCTX0XT8XTX。
说明曲线与直线x=x0无限接近(如图4.15),直线x=x0称为曲线y二/(兀)的水平渐近线。
若lim/&)=A(常数),说明曲线与直线尸A无
XT8
限接近•直线尸A称为曲线歹=/⑴的水平渐近线(如图4.16).
(5)根据需要再增算几个点
注意,作图时限讨论
(1)
(2)(4)与(5)•因为往
往有这样情形
(1),
(2),(4)与足以画出其图形.当还不足以画出图形时,在讨论(3).
st
师动
教活
时间
分配
绍图聚
介作步
X
(-00,-1)
x=-l
(-1,1)
X=1
(1,-
/
y
0
+
0
-
图形
极小值点
/
极大值点
\
绍下进的頼用何观思充明介一渐线由利几直的叔补说
兀二±1是驻点,它把定义域分为三段.图形变化见下表。
极小值为/(-I)=-*极大值为/⑴=
例3作函数f\x)=的图形.
1+JC
解函数的定义域为(-oo,+oo),是奇函数,所以图形对称于原点.
1-X2
讨论渐近线:
lim—=0o
AT81+兀_
故有水平渐近线y=0,X/(0)=0,当x>0时/(兀)>0
有以上材料就可大致画岀图形。
例4作函数),=厂・的图形。
解:
函数的定义域为(-oo,+oo),是偶函数,图形对称y轴,
且y〉0,所以图形在x轴的上方。
X
(-°°,0)
x=0
(0卄)
/
y
+
0
-
图形
/
极大值
点
、
=_2皿一'°令y=0,得驻点兀=0.
极大值为/=1
y"=2(2x2-1)厂
令)/=o,得兀二±丄
V2
误!
未找到引用源。
)
・8,错
(错误!
未找到引用源。
,
1
(错」找至!
错误!
未找到
引用源。
)
o
注
占
八、、
概
论
的
态
布
形
:
思
率
中
正
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图
拐点
拐点为(错误!
未找到引用源。
,错误!
未找到引用源。
),(错误!
未找到引用源。
,错误!
未找到引用源。
)•错误!
未找到引用源。
=0,有水平渐近线错误!
未找到引用源。
根据以上讨论的情况,可大致地作出图形(图4.18)。
例5作函错误!
未找到引用源。
的图形.
解定义域为错误!
未找到引用源。
,图形对称y轴。
错误!
未找到引用源。
・
在定义域内无驻点,也没有极值点。
错误!
未找到引用源。
•
无错误!
未找到引用源。
的点,无拐点。
在错误!
未找到引用源。
及错误!
未找到引用源。
内错误!
未找到引用源。
,图形是凸的。
又
紺夫栈至II耳I田鴻
所以押垂直渐近线養误味找到引用源。
(左侧),错误!
未找到引用源。
(右侧)
教师学生
活动活动
当错误!
未找到引用源。
时,错误!
未找到引用源。
根据以上讨论可大致作岀其图形(图4.19)0
回答
5分钟提问
指导练
13分习
钟
2分钟
巩固练习
【课堂小结】
1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法;
2.曲线的渐近线;
3.函数图形的作法.
【作业布置】
课内练习:
1、求曲线错误!
未找到引用源。
的拐点及凹凸区间。
2、求曲线错误!
未找到引用源。
的拐点及凹凸区间。
3、作错误!
未找到引用源。
的图形.
4、作错误!
未找到引用源。
的图形。
5、作错误!
未找到引用源。
)的图形
课外作业:
试确定一个x的六次多项式P(x),已和曲线错误!
未找到引用源。
切x轴于原点,且在拐点(-1,1),在(1,1)处切线水平。
【教学反思】
教学过程设计
时间分配
教师活动
H
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