勾股定理及其逆定理复习典型例题.docx
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勾股定理及其逆定理复习典型例题
勾股定理及其逆定理复习典型例题
1.勾股定理:
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即:
a2+b2=c2)
2.勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长:
a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
4.区别:
勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理
5.联系:
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
6.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形
7.
(1)首先确定最大边(如:
C,但不要认为最大边一定是C)
8.
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形。
(若c2>a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形,若c2 二、例题分析 例1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。 解: 设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得: (3x)2+(4x)2=202 化简得x2=16; ∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96 注: 直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。 例2、等边三角形的边长为2,求它的面积。 解: 如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D 则: BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) ∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等) ∴BD=1 在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2,即: AD2=AB2-BD2=4-1=3 ∴AD= S△ABC= BC·AD= 注: 等边三角形面积公式: 若等边三角形边长为a,则其面积为 a 例3、直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。 解: 设此直角三角形两直角边分别是x,y,根据题意得: 由 (1)得: x+y=7, (x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3) (3)- (2),得: xy=12 ∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6(cm2) 例4、在锐角△ABC中,已知其两边a=1,b=3,求第三边的变化范围。 分析: 显然第三边b-a 解: 设第三边为c,并设△ABC是直角三角形 1当第三边是斜边时,c2=b2+a2,∴c= 2当第三边不是斜边时,则斜边一定是b,b2=a2+c2,∴c=2 (即 ) ∵△ABC为锐角三角形 所以点A应当绕着点B旋转,使∠ABC成为锐角(如图),但当移动到点A2位置时∠ACB成为直角。 故点A应当在A1和A2间移动,此时2 注: 此题易忽视①或②中一种情况,因为假设中并没有明确第三边是否直角边,所以有两种情况要考虑。 例5、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是() A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形: b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。 例如: 对于选择支D,∵82≠(40+39)×(40-39),∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形。 答案: A 例6、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 解: 连结AC ∵∠B=90°,AB=3,BC=4 ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理) ∴AC=5 ∵AC2+CD2=169,AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2 ∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理) ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB·BC+ AC·CD=36 本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。 例7、若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。 分析: 首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解: 此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得: (n+1)2+(n+2)2=(n+3)2 化简得: n2=4 ∴n=±2,但当n=-2时,n+1=-1<0,∴n=2 三、练习题 1、等腰三角形的两边长为4和2,则底边上的高是________,面积是_________。 2、一个直角三角形的三边长为连续偶数,则它的各边长为________。 3、一个直角三角形一条直角边为16cm,它所对的角为60°,则斜边上的高为_______。 4、四个三角形的边长分别是①3,4,5②4,7,8 ③7,24,25④3 4 5 其中是直角三角形的是() A、①②B、①③C、①④D、①②③ 5、如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是() A、1: 2: 4B、! : 3: 5C、3: 4: 7D、5: 12: 13 6、已知: 如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°, 求证: ∠A+∠C=180°。 7、已知直角三角形中,两边的长为3、4,求第三边长。 8、△ABC中,∠C=90°,a=5,c-b=1,求b,c的长。 9、如图: △ABC中,AD是角平分线,AD=BD,AB=2AC。 求证: △ACB是直角三角形。 三、练习题解答 1、 , 2、6,8,10 3、8cm 4、D 5、D 6、本题类似于例6,需连结AC证出△ACD也是直角三角形, 从而∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°,∴∠DAB+∠DCB=180° 7、解: 设第三边长为x, 1当第三边是斜边时: x2=32+42=25,即x=5 2当第三边不是斜边时,则斜边长为4: x2=42-32,即x= 8、此题类似于例3 解: 根据题意得: ∴ ∴ 9、证明: 作DE⊥AB于E ∵AD=BD,DE⊥AB ∴2AE=AB(等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合) ∠DEA=90°(垂直的定义) 又∵AB=2AC ∴AE=AC ∵AD是角平分线 ∴∠1=∠2 在△ACD和△AED中 ∴△ACD≌△AED(SAS) ∴∠C=∠AED=90(全等三角形对应角相等) ∴△ACB是直角三角形
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- 勾股定理 及其 逆定理 复习 典型 例题