反比例函数常见几何模型.docx
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反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型
一、知识点回顾
1..反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=
k
(k≠0).其解析式有三种表示方法:
x
①yk(k
x
0);②y
k
kx1(k
0);③xyk
2.反比例函数y=
(k≠0)的性质
x
(1)当k>0时函数图像的两个分支分别在第一,三象限内在每一象限内,y随
x的增大而减小.
(2)当k<0时函数图像的两个分支分别在第二,四象限内在每一象限内,y随
x的增大而增大.
(3)在反比例函数y=
k
中,其解析式变形为xy=k,故要求k的值(也就是求其图像上
x
一点横坐标与纵坐标之积).
k
(4)若双曲线y=
x
图像上一点(a,b)满足a,b是方程Z2-4Z-2=0的两根,求
双曲线的解析式.由根与系数关系得ab=-2,又ab=k,∴k=-2,故双曲线的解析式是
2
y=.
x
(5)由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零,所以图像和x轴,y轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势.
二、新知讲解与例题训练
模型一:
如图,点A为反比例函数y
k图象上的任意一点,且AB垂直于x轴,
x
精品资料
则有S
OAB
|k|2
例1:
如图
RtABC的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y=m
x
在第一象限的交点,且
SAOB
3,
(1)求m的值
(2)求ABC的面积
变式题
1、如图所示,点A1,A2,A3在x轴上,且O
8
A1=A1A2=A2A3,分别过
A1,A2,A3作y轴平行
线,与反比例函数y=
(x>0)的图像交于点
x
B1,B2,B3,分别过点
B1,B2,B3作x轴的平行
线,分别与y轴交于点
C1,C2,C3,连结
OB1,OB2,OB3,那么图中阴影部分的面积之和为
2、如图,点A在双曲线y
1
上,点B在双曲线y
x
3
上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,
x
若四边形ABCD为矩形,则它的面积为.
模型二:
例3:
一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反比例函数
yk的图象相交于点
x
A,B.过点A分别作ACx轴,AEy轴,垂足分别为
C,E;过点B分别作BFx轴,BDy轴,垂足分别为F,D,AC与BD交于
点K,连接CD.
(1))若点A,B在反比例函数y
k的图象的同一分支上,如图1,试证明:
x
①S四边形AEDK
S四边形CFBK
;②ANBM.
(2))若点A,B分别在反比例函数yBM还相等吗?
试证明你的结论.
k的图象的不同分支上,如图2,则AN与
x
图1图2
模型三:
如图,已知反比例函数y
k(k≠0,x>0)上任意两点P、C,过P做PA⊥x轴,
x
交x轴于点A,过C做CD⊥x轴,交x轴于点D,则
SOPC
S梯形PADC.
例4:
如图,在直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y
图象交于A(1,4)、B(4,1)两点,则△AOB的面积是.
k2的
x
例5:
如图,在直角坐标系中,一次函数
yk1xb的图象与反比例函数y
k2的
x
图象交于A(1,4)、B(3,m)两点,则△AOB的面积是.
例6:
如图1,已知直线y
的横坐标为4.
1x与双曲线y
2
k(k0)交于A、B两点,且点A
x
(1))求k的值;
(2))如图2,过原点O的另一条直线l交双曲线y
k(kx
0)于C、D两点(点
C在第一象限且在点A的左边),当四边形ACBD的面积为24时,求点C的坐标.
模型四:
在矩形AOBC中,OB=a,OA=b,分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点(不与B、C重合),过F
点的反比例函数y
k(xx
CEa
0)的图象与AC边交于点E,则.
CFb
y
AECF
x
OB
例7:
两个反比例函数y
k和yx
1
在第一象限内的图象如图所示,点P在ykxx
的图象上,PC⊥x轴于点C,交y
1的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y1xx
的图象于点B,当点P在y
k的图象上运动时,以下结论:
x
①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与
PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正
确的是(把你认为正确结论的序号都填上).
精品资料
课堂练习:
一、选择题
m
x
形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为()
1
A.y
x
2
B.y
x
3
C.y
x
6
D.y
x
题3题4题5
2
4、如图,A,B是函数y
的图像上关于原点对称的任意两点,BC//x轴,AC//y轴,ABC
x
的面积记为S,则S()
A.S=2B.S=4C.24
5、如图所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,
AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴,y
k
轴,若双曲线y=
(k≠0)与△ABC有交点,则k的取
x
值范围是()
A.1 二、填空题 1、如图,点A在双曲线y 1 上,点B在双曲线y x 3 上,且AB∥x轴,C、D在x轴上, x 若四边形ABCD为矩形,则它的面积为. 2、如图,双曲线y 2 (xx 0)经过四边形OABC的顶点A、C,∠ABC=90°,OC平分 OA与x轴正半轴的夹角,AB∥x轴,将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C,B'点落在OA 上,则四边形OABC的面积是. 3、如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B(2,0),∠AOB=60°,点A 在第一象限,过点A的双曲线为y= k ,在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l, x 以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O′B′. (1))当点O′与点A重合时,点P的坐标是. (2))设P(t,0),当O′B′与双曲线有交点时,t的取值范围是. 4、如图,已知双曲线 yk(kx 0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边 AB相交于点C.若点A的坐标为(6,4),则△AOC的面积为. y A 精品资料 D C BOx 5、双曲线 y1、 y2在第一象限的图像如图, 4 y1, x 过y1上的任意一点A,作x轴的平行线交y2于B, 交y轴于C,若 SAOB 1,则 y2的解析式是. 课后习练 一、填空题 1、如图,直线y=kx(k>0)与双曲线y= 4 交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2x1y2 x -7x2y1的值等于. k 2、反比例函数y= x 的图像上有一点P(a,b),且a,b是方程t2-4t-2=0的两个根,则 k=;点P到原点的距离OP=. 3、已知双曲线xy=1与直线y=-x+b无交点,则b的取值范围是. k 4、反比例函数y= x 的图像经过点P(a,b),其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的两 个根,那么点P的坐标是. 5、如图,已知双曲线 yk(k>0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB x 相交于点C.若△OBC的面积为3,则k=. yB D C x OEA 第5题图第6题图 6、如图,已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y= 2 的图像在第一象限内的交点, x 点B在x轴的负半轴上,且OA=OB,那么△AOB的面积为() 2 A.2B. 2 2 C.2D.22 7、已知P为函数y= 的图像上一点,且P到原点的距离为3,则符合条件的P点数为 x () A.0个B.2个C.4个D.无数个
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