新人教版九年级数学上册《一元二次方程》教案导学案全章.docx
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新人教版九年级数学上册《一元二次方程》教案导学案全章
第21章一元二次方程
教材内容
1.本单元教学的主要内容.
一元二次方程概念;解一元二次方程的方法;一元二次方程应用题.
2.本单元在教材中的地位与作用.
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的,它也是
一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本书的重点内容.
教学目标
1.知识与技能
了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题.
2.过程与方法
(1)通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型.?
根据数学模型恰如其
分地给出一元二次方程的概念.
(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等.
(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法,?
导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.
(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a≠0)导出解一元二次方程的求根公式,接着讨论求根公式的条件:
b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.
(5)通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它.
(6)提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,?
并用该模型解决实际问题.
3.情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.
教学重点
1.一元二次方程及其它有关的概念.
2.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程.
3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点
1.一元二次方程配方法解题.
2.用公式法解一元二次方程时的讨论.
3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.教学关键
1.分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型.
2.用配方法解一元二次方程的步骤.
3.解一元二次方程公式法的推导.
课时划分
本单元教学时间约需18课时,具体分配如下:
21.1
一元二次方程
2课时
21.2降次──解一元二次方程
9课时
21.3
实际问题与一元二次方程
3课时
教学活动、习题课、小结4课时
第1课时一元二次方程
(1)
1、使学生了解一元二次方程的意义。
学习2、通过提供实际问题的情境,让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的
实际意义。
目标3、能够根据具体问题中的数学关系,列出程体会一元二次方程是刻画现实世界
的一个有效的数学模型。
学习重点
建立一元二次方程的概念,认识一元二次方程的一般形式。
学习难点
在一元二次方程化成一般形式后,如何确定一次项和常数项。
教
学
互
动
设
计
设计意图
一、自主学习
感受新知
【问题1】有一块面积为
900平方米的长方形绿地,并且长比宽多10米,鼓励学生独立解
则绿地的长和宽各为多少?
决问题,让学生
【分析】设宽为x米,则列方程得:
x(x+10)=900;
初步感受一元二
整理得
x2+10x-900=0
①
次方程,同时让
【问题2】学校图书馆去年年底有图书
5万册,预计至明年年底增加到
学生体会方程这
7.2万册,求这两年的年平均增长率。
一刻画现实世界
【分析】设这两年的年平均增长率为
x,则列方程得:
5(1+x)2=7.2;
的数学模型.
整理得5
x2+10x-2.2=0
②
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛
一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排
7天,每天安排4场比赛,比
赛组织者应邀请多少个队参赛?
【分析】全部比赛共
4×7=28场,设应邀请
x个队参赛,则每个队要与
其它(x-1)队各赛1场,全场比赛共1(
1)
1
xx
场,列方程得:
x(x1)28;
2
2
整理得
2
③
x-x-56=0
二、自主交流
探究新知
【探究】
(1)上面三个方程左右两边是含未知数的
整式(填“整式”
主体活动,探索
“分式”“无理式”);
一元二次方程的
(2)方程整理后含有
一个未知数;
定义及其相关概
(3)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是
二次。
念.
【归纳】
1、一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个求知数(一元),并且求知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形
式:
ax2
+bx+c=0(a≠0)
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax2是二次项,a是二次项
系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项。
2
b≠0时就是一元一次方程了。
所以在一般形式中,必须包含a≠0这个条件。
【补充练习】判断下列方程,哪些是一元二次方程?
(1)x3-2x2+5=0;
(2)x2=1;
判断一个方程是
2
x-
1
2
3;
2
不是一元二次方
(3)
5x-2
=x
-2x+
(4)2(
x+1)=3(x+1);
程,首先要对其
2-2
x
4
x
2+1;
5
ax
2+
bx
整理成一般形
(5)
=
(6)
+=0
x
c
式,然后根据定
义判断。
三、自主应用
巩固新知
【例1】将方程
3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出
进一步巩固一元
其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
二次方程的基本
【分析】一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程3x
概念
(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等.
解:
去括号,得:
3x2
-3x=5x+10
移项合并同类项,得:
3x2-8x-10=0
其中二次项系数是
3,一次项系数是-8,常数项是-10。
【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前
面的符号.
【例2】将方程(
x
+1)2+(-2)(
+2)=?
1化成一元二次方程的一般形
x
x
式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
【分析】通过完全平方公式和平方差公式把(
x+1)2+(x-2)(x+2)=?
1
2
化成ax+bx+c=0(a≠0)的形式.
解:
去括号,得:
x
2+2+1+
x
2-4=1
x
移项合并同类项,得:
22
+2-4=0
x
x
其中二次项是
2x2,二次项系数是2,一次项是
2x,一次项系数是-8,常
数项是-10。
2
2
【例3】求证:
关于
x的方程(m-8m+17)x+2mx+1=0,不论m取何值,
该方程都是一元二次方程.
【分析】要证明不论
m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明
2
≠0即可.
m-8m+17?
2
2
+1
证明:
m-8m+17=(m-4)
∵(m-4)2≥0
∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0
∴不论
取何值,该方程都是一元二次方程.
m
四、自主总结
拓展新知
1、≠0是
2+
+=0成为一元二次方程的必要条件,
否则,方程
2+
+=0变为
+=0,
a
ax
bxc
ax
bxc
bxc
就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项,应先将方程化为一般形式。
五、课堂作业P41.2
教学反思
第2课时一元二次方程
(2)
学习1、会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念。
目标2、会估算实际问题中方程的解,并理解方程解的实际意义。
学习重点一元二次方程解的探索。
学习难点一元二次方程近似解的探索。
教学互动设计
一、自主学习感受新知
【问题1】把方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2.将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=?
1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.
【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程?
为什么?
①x2+4x+2=0
②x2+3x-2=x2
x
③x2-2xy-3=0
④ax2+bx+c=0
二、自主交流
探究新知
【探究】猜测方程x2
x
560的解是什么?
【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解,
又叫作一元二次方程的根.
【问题3】下面哪些数是方程
2x2
+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
【分析】要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可.
解:
将上面的这些数代入后,只有
-2
和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3
是一元二次方程
2x2+10x+12=0的两根.
【问题4】认真观察下列方程的结构形式,试写出下列方程的根,并说出你的
理由。
⑴x2-16=0
⑵(x+3)(x-2)=0
⑶(x-2)2=49
⑷x2-2x+1=25
【分析】要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方
根或两个数的积为0的意义来思考解题.
解:
⑴∵x2-16=0
⑵∵(x+3)(x-2)=0
∴x2=16
∴x+3=0或x-2=0
∴x=±4
∴x=-3或x=2
⑶∵(x-2)2=49
⑷∵x2-2x+1=25
∴x-2=±7
∴(x-1)2=25
∴x=9或x=-5
∴x-1=±5
∴x=6或x=-4
三、自主应用
巩固新知
【例1】若x=2是方程ax2
4x
5
0的一个根,你能求出
a的值吗?
设计意图
复习巩固一元二次方程的相关概念。
探究一元二次方程根的概念以及作用.
进一步巩固方程的根的含义.方程的根可以起到检验的作用——检验一个数是否是方程的根.
【分析】根据根的定义可以知道,若一个数是方程的根,那么把这个数代入方
程后,等号必定成立,于是可以构造出关于a的一元一次方程,进而解即可.
a=3.
4
【例2】若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数
式2007(a+b+c)的值。
【分析】如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解。
例3.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,?
这块铁片应该怎样剪?
设长为xcm,则宽为(x-5)cm列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题:
(1)x可能小于5吗?
可能等于10吗?
说说你的理由.
(2)完成下表:
x1011121314151617
x2-5x-15
0
(3)你知道铁片的长x是多少吗?
分析:
x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同,不能用平方根的意义和八年级
上册的整式中的分解因式的方法去求根,?
但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根.
解:
(1)x不可能小于5.理由:
如果x<5,则宽(x-5)<0,不合题意.
x不可能等于10.理由:
如果x=10,则面积x2-5x-150=-100,也不可能.
(2)
x
10
11
12
13
14
15
16
17
x2-5x-15
-100
-84
-66
-46
-2
0
26
54
0
4
(3)铁片长x=15cm
【练习】
方程的根的另一
个作用——代入方程使等号成
立.
四、自主总结拓展新知
1、一元二次方程根的概念;
2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根;
3、要会用一些方法求一元二次方程的根.
五、课堂作业
P43.4.5.6
【补充练习】
1、方程x(x-1)=2的两根为【
】.
A.x1=0,x2=1
B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D
.x1=-1,x2=2
2、方程x2-81=0的两个根分别是
x1=________,x2=__________.
3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
4、若一元二次方程
ax
2+
+
=0(
a
≠0)有一个根为
1,则
++
=
;若有一个根是-1,则
b
bxc
abc
与a、c之间的关系为
;若有一个根为
0,则c=
。
5、如果
x
=1是方程
ax
2+
+3=0的一个根,求(-
)2+4
的值.
bx
ab
ab
教学反思
第3课时解一元二次方程——配方法(
1)
学习1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。
目标2、渗透转化思想,掌握一些转化的技能。
学习重点掌握直接开平方法解一元二次方程。
学习难点灵活运用直接开平方法解一元二次方程。
教学互动设计
一、自主学习感受新知
【问题1】求出或表示出下列各数的平方根。
⑴25⑵0.04
⑶0⑷7
⑸
9
⑹121
16
2
【问题2】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm,小李用这桶漆恰好刷完
10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
设正方体的棱长为
xdm,则一个正方体的表面积为
2
2
6xdm,根据一桶油
漆可刷的面积列出方程:
10×6x2=1500
由此可得:
x2=25
根据平方根的意义,得x=±5
即x1=5,x2=-5
可以验证5和-5是方程的两根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长
为5dm。
二、自主交流
探究新知
求出下列各式中
x的值,并说说你的理由.
⑴x2=49
⑵9x2=16
⑶x2=6
⑷x2=-9
2
【探究】对照问题
1解方程的过程,你认为应该怎样解方程
(2x-1)=5
及方程x2+6x+9=4?
方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方
根的意义,可将方程变形为
2x1
5,即将方程变为
2x1
5和
2x
15两个一元一次
方程,从而得到方程
(2x-1)
2=5
的两个解为
1
5
1
5
x=
,x=
。
1
2
2
2
在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”
,转化
为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了。
2
(x+3)
2
方程x+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成
=4,
进行降次,得到
x+3=±2
,方程的根为
x1=-1,x2=-5。
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一
次方程.
即,如果方程能化成
x2
p或(mx
n)2
p(p0)的形式,那么可得
设计意图
创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容.
列出方程后,让学生讨论方程的解法,由于所列出的方程形式比较简单,可以运用平方根的定义(即开平方法)来求出方程的解.
鼓励学生独立解决问题,在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”—
—把二次降为一次,进而解一元一次方程即可.
x
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