普通高等学校招生全国统一考试 理科.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科
(新课标卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={0,1,2},N=,则=( )
A. {1}
B.{2}
C.{0,1}
D.{1,2}
2.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,zxxk,则( )
A. -5
B. 5
C. -4+i
D.-4-i
3.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=( )
A. 1
B. 2
C.3
D.5
4.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A. 5
B.
C. 2
D.1
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D.0.45
6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A. B. C. D.
7.执行右图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=
A.0 B.1 C.2 D.3
9.设x,y满足约束条件,则的最大值为( )
A.10 B.8 C.3 D.2
10.设F为抛物线C:
的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,
则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
12.设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.本试题由整理
二.填空题
13.的展开式中,的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)
14.函数的最大值为_________.
15.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是__________.
16.设点M(,1),若在圆O:
上存在点N,使得zxxk∠OMN=45°,则的取值范围是________.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知数列满足=1,.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求的通项公式;
(Ⅱ)证明:
.
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:
PB∥平面AEC;
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
19.(本小题满分12分)
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
20.(本小题满分12分)
设,分别是椭圆C:
的左,右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.
(Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.
21.(本小题满分12分)
已知函数=zxxk
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设,当时,,求的最大值;
(Ⅲ)已知,估计ln2的近似值(精确到0.001)
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,有途高考网同按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22.(本小题满分10)选修4—1:
几何证明选讲
如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:
(Ⅰ)BE=EC;
(Ⅱ)ADDE=2
23.(本小题满分10)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴
为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,
.zxxk
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
24.(本小题满分10)选修4-5:
不等式选讲
设函数=
(Ⅰ)证明:
2;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、 选择题
(1)D
(2)A (3)A (4)B (5)A (6)C (7)D
(8)D (9)B (10)D (11)C (12)C
二、 填空题
(13) (14)1 (15)(-1,3) (16)[-1,1]
三、解答题
(17)解:
(1)由得
又,所以,{}是首项为,公比为3的等比数列。
=,因此{}的通项公式为=
(2)由
(1)知=
因为当n1时,所以,
于是,=
所以,
(18)解:
(1)连结BD交AC于点O,连结EO
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点
又E为的PD的中点,所以EOPB
EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC
(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直
如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,为单位长,建立空间直角坐标系,则A—xyz,则D(0,,0),则E(0,,),=(0,,)
设B(m,0,0)(m>0),则C(m,,0)
设n(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则{ 即{
可取=(,-1,)
又=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设=,即
=,解得m=
因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为,三棱锥E-ACD的体积为
V==
19解:
(1) 由所得数据计算得
=(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3
=9+4+1+0+1+4+9=28
=(-3)(-1.4)+(-2)(-1)+(-1)(-0.7)+00.1+10.5+20.9+31.6=14,
b===0.5
a=-b=4.3-0.54=2.3
所求回归方程为=0.5t+2.3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入
(1)中的回归方程,得
y=0.5×9+2.3=6.8
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
(20)解:
(Ⅰ)根据c=以及题设知M(c,),2=3ac
将=-代入2=3ac,解得=,=-2(舍去)
故C的离心率为
(Ⅱ)由题意,原点O的的中点,M∥y轴,所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点,故=4,即
①
由=得=
设N(x,y),由题意可知y<0,则即
代入方程C,得+=1 ②
将①以及c=代入②得到+=1
解得a=7,
a=7,
(21)解
(Ⅰ)+-2≥0,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(—∞,+∞)单调递增
(Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x
(x)=2[++]=2(+)(+)
(1) 当b2时,g’(x)0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-,+)单调递增,而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;
(2) 当b>2时,若x满足,2<<2b-2即0 g(0)=0,因此当0 综上,b的最大值为2 (3) 由 (2)知,g(ln)=-2b+2(2b-1)ln2 当b=2时,g(ln)=-4+6ln2>0,ln2>>0.6928 当b=+1时,ln(b-1+)=ln g(ln)=-2+(3+2)ln2<0 in2<<0.693 (22)解: (1)连结AB,AC由题设知PA=PD,故PAD=PDA 因为PDA=DAC+DCA PAD=BAD+PAB DCA=PAB 所以DAC=BAD,从而。 。 。 。 。 。 。 因此= (2)由切割线定理得=PB*PC 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB 由相交弦定理得AD*DE=BD*DC 所以,AD*DE=2 (23)解: (1)C的普通方程为 +=1(0) 可得C的参数方程(t为参数,0 (Ⅱ)设D(1+cost,sint).由(Ⅰ)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆。 因为C在点D处的切线与I垂直,所以直线GD与I的斜率相同。 tant=,t=π/3. 故D的直角坐标为(1+cosπ/3,sinπ/3),即(3/2,/2). (24)解: (Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+1/a|+|x-a|≥|x+1/a-(x-a)|=1/a+a≥2. 所以f(x)≥2. (Ⅱ)f(x)=|3+1/a|+|3-a|. 当a>3时,f(3)=a+1/a,由f(3)<5得3<a<
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