反函数的单调性和奇偶性及其相互关系.docx
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反函数的单调性和奇偶性及其相互关系
原、反函数的单调性和奇偶性及其相互关系
北京十二中特级教师
刘文武
“函数是高中数学的重要内容之一,函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用;函数与代数式、方程、不等式、三角函数、数列内容联系非常密切;函数是进一步学习数学的重要基础知识;函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域。
”以上这段话是笔者摘自人教社高中《数学》第一册(上)第二章“函数“的章头的话(见P45),它指出了函数在中学数学中的地位和作用。
正因为如此,它也成了高考数学中的重中之重。
深刻理解和掌握函数(原函数、反函数)概念及其性质(单调性、奇偶性、周期性)是学好函数的关键。
本文旨在从教材出发,探讨总结原、反函数的单调性和奇偶性及其相互关系,重在“相互关系”上。
然而要把握它们之间的相互关系,首先就要求对教材中的基本概念有全面、深入、正确的理解。
一、知识整理
1、映射定义:
设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f),叫做集合A到集合B的映射,记作:
f:
A→B(P47)
一一映射定义:
设A,B是两个集合,f:
A→B是集合A到集合B的映射,如果在这个映射下,对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
(P48)
2、函数定义:
如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:
A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C(C≤B)叫做函数y=f(x)的值域。
(P51)
反函数定义:
函数y=f(x)(x∈A)中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系,把y用x表示出,得到x=?
(y)。
如果对于y在C中的任何一个值,通过x=?
(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么x=?
(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=?
(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作:
x=f-1(y)
在函数x=f-1(y)中,y是自变量,x表示函数,但在习惯上,我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f-1(x)。
(P66)
3、函数单调性定义:
增(减)函数定义:
设函数f(x)的定义域为I:
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。 (P58) 4、函数的奇偶性的定义: 偶函数定义: 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 奇函数定义: 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (P61) 二、发现联系 概念是思维的细胞,笔者之所以不厌其详地照抄课本上的这些概念并把他们放在一起,一是许多同学不会读书,不重视概念,不会在比较中寻求概念之间的联系;二是想通过对这些概念的比较既加深理解又期望发现他们之间的一些联系: 1.反函数与原来函数的关系 ①函数的反函数,本身也是一个函数,由反函数的定义,原来函数也是其反函数的反函数,故函数的原来函数与反函数互称为反函数。 ②反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域。 ③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数,由此得出下面4点: ④偶函数必无反函数。 ⑤单调函数必有反函数。 ⑥奇函数如果有反函数,其反函数也是奇函数。 ⑦原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。 ⑧互为反函数的图象间的关系。 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,关于这一关系的理解要注意以下三点: i)函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,这个结论是在坐标系中横坐标轴 为x轴,纵坐标轴为y轴,而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的; ii)(a,b)在y=f(x)的图象上<=>(b,a)在y=f-1(x)的图象上; iii)若y=f(x)存在反函数y=f-1(x),则函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的充分 必要条件为f(x)=f-1(x),即原、反函数的解析式相同。 2.函数的单调性与奇偶性之间的关系: ①P62例5已知函数y=f(x)在R上是奇函数,而且在(0,+∞)上是增函数,证明 y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数,从此题中可总结出: 奇函数在定义域内关于原点对称的区间上单调性相同。 ②P63练习2,已知函数y=f(x)是偶函数,而且在(-∞,0)上是增函数,判断y=f(x)在(0,+∞)上是增函数还是减函数? P65习题2、3第8题: 已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的判断。 由于偶函数的图象关于y轴对称,不难从这两题得出共同的结论: 偶函数在定义域内关于原点对称的区间上单调性相反。 3.单调函数的一些性质: ①单调函数在其开单调区间上既无最大值也无最小值; ②单调函数在其闭单调区间上既存在最大值又存在最小值; ③在公共定义域上,若干个单调增(减)函数的和函数仍是单调增(减)函数; ④在公共定义域上,两个单调性相反的函数的差函数的单调性与被减函数单调性相同。 ⑤y=af(x)+b(a>0,b∈R)与y=f(x)的单调性相同;y=af(x)+b(a<0,b∈R)与y=f(x)的单调性相反。 ⑥复合函数f(g(x))的单调性; f(x)、g(x)同为增函数或同为减函数时,f(g(x))为增函数; f(x)为增函数,g(x)为减函数;或f(x)为减函数,而g(x)为增函数时,f(g(x))为减函数。 4.奇、偶函数的一些性质: ①奇函数f(x)若在原点有意义,则必有f(0)=0 ②P106复习参考题二A组第12题: 求证: 在公共定义域内: i)奇函数与奇函数的积是偶函数; ii)奇函数与偶函数的积是奇函数; iii)偶函数与偶函数的积是偶函数。 上述命题中的“积”改成“商”结论仍然成立。 ③P107复习参考题二B组第6题: 设y=f(x)是定义在R上的任一函数,求证: i)F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; ii)F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。 本题结论给了我们构造奇、偶函数的构造方法。 如f(x)=ex是定义在R上的指数函数,则函数sh(x)=(ex-e-x)/2必是奇函数,函数ch(x)=(ex+e-x)/2必是偶函数,进而 th(x)=(ex-e-x)/(ex+ex)必是奇函数。 ④在公共定义域内: 两个奇(偶)函数的代数和函数仍是奇(偶)函数;两个奇偶性相反的函数的代数和函数是非奇非偶函数。 三、知识网络的应用 学习数学,非常重要的一点是在头脑里构筑知识的网络结构系统,找到各部分知识之间的内在的本质联系,这样,在解决新的陌生问题时,才能“牵一发而动全身”,迅速动员多种知识利器从各个方面“分解”、“围攻”,从而较快地解决问题,在展开下面的内容时,以下几个方面的知识认为是必须具备的。 ①在定义域上单调增的函数: y=kx(k>0);y=kx+b(k>0);y=x,y=x3,…,y=x2k+1(k∈ N);y=ex,y=lnx,y=ax(a>1),y=logax(a>1)等; 在定义域上单调减的函数:
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- 反函数 调性 奇偶性 及其 相互关系
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