评价复习参考03年高考数学试题和答卷.docx
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评价复习参考03年高考数学试题和答卷
民族神话
鸿蒙未辟
宇宙洪荒
亿万斯年
四极不张
03年高考数学试题和答卷评价
华南师范大学王林全(广州,510631,)
引言.我们处于一个改革变化的时代,教育的理念,思维的方式都在发生变化,03年高考数学试题(下称03年试题)反映了这种变化,它向传统的教学方式提出了挑战.本文着重评价03年试题特色和答卷的有关问题.
1.03年高考数学试题的特点
1.1根据大纲,重视基础,要求熟练
03年试题按照考纲、大纲和现行课本要求命题.考题内容基本上没有超过课本与大纲。
考查的知识面比较宽阔.涉及代数,三角,立体几何,平面解析几何等多方面,
要求对基础知识有相当的熟练程度。
如(12)题,如果对正三棱锥的图形特点和数量关系没有相当熟练的掌握,是不易做出来的.
例1.第(12)题.一个四面体的所有棱长都为
四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为
(A)3(B)4(C)3
(D)6
分析:
如图1,设正四面体P-ABC的外接球球心为O,外接球半径为R,则点O在四面体的高PO’上(O’是垂足),O’在正△ABC中AB的高CD上,已知PA=PB=PC=AB=BC=CA=
由直角三角形的边角关系算得:
PD=
/2,BO’=CO’=
/3,PO’=2
/3,在rt△OO’B中,用勾股定理得(PO’-R)2+BO’2=OB2,从而得到关于R的方程:
(2
/3-R)2+(
/3)2=R2,解得R=
/2,得球表面积S=3.答案(A).
图1
1.2稳中求变,难点增加,难度提高
03年试题的题型结构,考题分量与近年历届试题持平,各分科所占比例大致合理。
对一些常用的公式给予适当的提示。
然而,在数学学习中,一定的记忆仍然需要。
提高起点,尾巴不翘.03年试题打破了过去由易到难的考题分布格局,填空题、选择题的难点分布明显增多,给考生形成一定的心理挑战。
解答题的难度并非依题次而增高,几乎每题都设置了难点,作为解答题开始的(17)题,不同于往年设置较简单的代数题,而是有一定深度的立体几何问题,给考生造成一定的心理威胁。
选择题的难点增多。
(7)—(12)等六题,都需要认真思考才能正确解答.
例2.第(9)题.已知圆锥底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是
(A)2R2(B)
R2(C)
R2(D)
R2
分析:
如图2,设R, r分别为圆锥及其内接圆柱的半径,内接圆柱的高为r,则圆锥的高为3R,利用平行线截比例线段定理,得
,先求得圆锥的内接圆柱的全面积与圆柱半径r的函数关系式S=2(3Rr-2r2),当r=
R时,Smax=
R2, 从而答案为(B).该题把圆锥与及其内接圆柱的关系,圆柱的性质和全面积计算,平行线截比例线段定理,二次函数的极值等知识结合在一起,具有相当的综合性。
图2
难点分布广泛,只需简单思考即可求解的问题明显减少.选择题、填空题中的难度明显加大。
学生完成这两部分的问题需要一个小时以上,影响了做解答题的时间。
1.3动态情景,实验尝试,探求规律
《高中课标》指出,要用数学“描述客观世界的变化规律”,“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”,03年试题广泛出现运动变化的情境,要求学生解决相关的问题。
如:
例3.第
(1)题 在同一直角坐标系中,表示直线
:
y=ax与
:
y=x+a正确的是
图3(A) (B) (C) (D)
分析:
由已知的直线方程可知,当a变化时,
的斜率和
的截距也分别在变化,它们满足:
①
的斜率和
的截距相同;②
通过坐标原点;③
的斜率为1。
由图像可知,只有(C)同时满足上述条件。
不少试题设置了运动变化的环境,要求考生通过尝试,探索,猜想,寻求动态图形的某些规律性,体现了《高中数学课程标准》的理念.反映了高考对高中课标的有力支持.
图4
例4.第(8)题. 已知圆C:
已知圆(x-a)2+(y-2)2=4(a0),及直线
:
x-y+3=0,当直线
被圆C截得的弦长为
时,则a=
(A)
(B)2-
(C)
-1(D)
+1
分析:
本题的几何形象是:
半径为2的动圆C,其圆心在直线y=2上运动,当直线
被圆C截得的弦长为
时,要求确定圆心的位置. 如图4,考察△ABC,作AB边上的高CD,∵CA=CB=2,AD=DB=
∴CD=1,已知圆心为C(a,2),故可以用点到直线距离公式解决,设圆心C(a,2)到直线
的距离为d,则d=
,求得a=
-1.
例5第(11)题。
已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0),若1x42,则tg的取值范围是
(A)(1/3,1)(B)(1/3,2/3)(C)(2/5,1/2)(D)(2/5,2/3)
.
图5
分析:
《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索,动手实践,并主张在高中数学课程设立“数学探究”学习活动,03年数学试题反映了这方面的学习要求.如图5,本题需要求质点运动的入射角的正切的范围。
先作实验尝试,选定特殊值tg=1/2,则P0,P1,P2,P3分别为AB,BC,CD,DA的中点,P4与P0重合,此时x4=1;如果tg略小于1/2,则P4的横坐标为x41,如图5的虚线所示.可见tg1/2.符合题目所给的条件的选择中,只有(C)满足条件:
分析:
《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索,动手实践,并主张在高中数学课程设立“数学探究”学习活动,03年数学试题反映了这方面的学习要求.如图5,本题需要求质点运动的入射角。
先作实验尝试, 先选定特殊值tg=1/2,则P0,P1,P2,P3分别为AB,BC,CD,DA的中点,P4与P0重合,此时x4=1;如果tg略小于1/2,则P4的横坐标为x41,如图5的虚线所示.可见tg1/2.符合题目所给的条件中,只有(C)满足条件1x42,故应该选择(C).经过计算可以知道,当tg=2/5时,x4=2,可见tg(2/5,1/2),从而可知选择(C)是正确的.由上题可见,03年试题强调实验尝试,探索猜想在数学学习中的地位.这也是选择题的应有特点。
1.4 理性思考,数形结合,突出分类
03年试题考查了多种数学思想方法.分类讨论思想和数形结合思想在试题中占有重要分量。
分类讨论思想:
(18)题:
讨论所得的两根,按题意去掉负根;
(19)题:
讨论a的范围,讨论P真Q假,Q真P假等两种情况,这是解决问题的主导思想;
(21)题:
首先要根据条件正确得到轨迹方程
=1,完成这一步可得8分,如能正确讨论a2的取值对轨迹的影响, 确定所求轨迹的存在性以及曲线的不同类型,可再得4分.
(22)题:
处理(-1)n-1的符号,需要分别讨论n是奇数和偶数两种不同情况,根据上述两种情况,确定a0的范围.讨论部分占全题14分中的8分.由上述诸题可见,分类讨论思想在03年试题中占有重要地位.能否对解决问题的情况进行正确的分类,反映了考生思考问题是否全面,是否慎密,这是一种重要的思维品质.
数学的似真推理
类比是数学发现的重要源泉,然而,由类比而得到的数学结论有待进一步的实验验证,要肯定所得的猜想是真命题,还需要证明。
然而,我们不能够因为类比的局限性就不敢进行猜想.03年试题重视数学思维品质的培养,鼓励学生进行合理的猜想.
图6
例6:
第(15)题.在平面几何里,由勾股定理:
“设△ABC的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:
“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直,则_________________________________________.”
分析:
(如图6)由于三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直,故直角面可以类比于直角三角形的直角边,底面BCD被三个两两互相垂直的侧面所包围,故可以类比于直角三角形的斜边,从而可以得到猜想:
S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD.
当然,上述猜想需要经过演绎论证后予以确认,但回答填空题不要求写出证明过程.
(事实上,上式
左边=
(AB2·AC2+AC2·AD2+AD2·AB2)=
[AB2·AC2+(AC2+AB2)AD2]
=
(AB2·AC2+BC2·AD2)=
(BC2·AE2+BC2·AD2)
=
BC2(AE2+AD2)=
BC2DE2=S2△BCD=右边,∴猜想成立.)
数形结合思想
历年高考都十分重视考查学生对数形结合思想的运用,03年试题对运用这种方法的考查也很突出。
如
(1),
(2),(3),(5),(6),(8),(11),(12),(15),(16),(17),(18),(19),(20),(21)等题都可以借助数形结合思想方法寻找解题思路。
共占分值108分,可见这种思想方法是解决数学问题的重要方法. 在数学教学中必须重视这种思想方法的运用.
归纳与演绎思想
数学归纳法既含有归纳思想,也运用了演绎推理。
03年试题重视对运用归纳与演绎思想检查,如;(17)题Ⅰ,(22)题Ⅰ基本使用演绎推理的方法.(22)题Ⅱ先由n=1,2时得到a的范围,0a0
再对任意的nN,证明0a01/3,这个过程既用到归纳推理,也用到演绎推理.
1.4 网上评卷,电子监控,准确高效
03年广东高考全面实行网上评卷,有利于宏观调控评卷过程,及时发现问题,及时解决;成绩统计与质量评估方便准确;实现小组长、题组长、科组长、评卷领导组四级电子监控;杜绝了漏改,漏登分,登错分等现象,提高了评卷质量.
2.答卷的成绩总计
表103年高考数学成绩概况
题次
13-16
17
18
19
20
21
22
总计
满分
16
12
12
12
12
12
14
90
平均分
4.84
6.22
4.63
4.79
1.49
0.37
1.12
23.46
得分率(%)
30.25
51.83
38.58
39.91
1.24
0.03
0.08
26.06
由上表可见, 考生的成绩很不理想,究其原因,既有数学的教与学中的问题,也与考题的难度偏高,考题分布不尽合理有关.
3.考生答题情况分析
考生在答卷中主要出现几类错误:
3.1审题错误①遗漏信息,如(16)题,无视题目中用数字作答的要求;
②误解题意,如(16)题,未考虑也可以使用三种颜色;
3.2思路错误①判断有误,缺乏根据,如第17题,把D1E看成点D1到平面BDE的距离
②以偏概全,忘记分类,(18),(19),(21),(22)题,分类不周,或者没有分类.
③策略不当,忽视特值。
如(11),忽视1/2的作用;
3.3计算错误①误记公式,计算失效,例如(20)算错cos(-450);
②方法冗繁,不善简化,如(21),不善于利用对称性化简,不善于利用利用整体代入化简;
3.4表述错误:
①说理不清,因果倒置;
②符号混用,混淆视听,例如(21),把边长4a中的a,与椭圆标准方程的长半轴a混为一谈.
③自定符号,不作交代:
如(17),未讲清如何作辅助线,令人费解.
3.5心理失误:
例如,不敢实验,不敢猜想,
填空题(13-16)平均分共4.84分,得分集中在前两题,(15),(16)题得分甚少.
(13)题(题略):
对于区间的开闭性未分清楚,把(2,4)误写成(2,4);
(14)题(题略):
未掌握二项式展开式的系数Tn+1的规律性;
(15)题(题略):
许多考生不敢于猜想,要经过证明才放心; 未能正确掌握类比的方法,因而猜想有误;
例7(16)题.如图7,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有_____种.(以数字作答)
图7
分析:
对题意没有正确的理解;误以为要使用全部四种颜色,未想到三种颜色也可以符合涂色的要求.绝大部分考生得不到正确的结果.
审题不周,没有注意以数字作答,只写出组合算式.
注意到区域1与其他四个区域相邻,而其他每个区域都与三个区域相邻,因此,可以涂三种或四种颜色.
如果涂四种颜色,则有涂法共2P41P33=48种;
如果涂三种颜色,则有涂法共P43×P33=24种;从而共有符合要求的涂色方法72种.
例8:
第(17)题.已知如图8,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点,F为BD1的中点.
(Ⅰ)证明EF为BD1和CC1的公垂线;
(Ⅱ)求点D1到面BDE的距离.
分析:
在答卷中发现许多逻辑性错误,如:
①只证明到EF垂直于BD1或CC1中的一条,证不到EF垂直于另一条.
② 下判断的根据不足. 例如说EF⊥面BDD1B1,DD1⊥A2B2C2D2等,都没有列举足够的理由.
③因果关系不清楚.例如,DD1⊥BD,DD1∥CC1EF⊥CC1,等等.
④判断错误.例如,把D1E看成点D1到平面BDE的距离.
图8
(Ⅰ) 因为E是CC1的中点,它关于两个侧面具有对称性,∴ED1=EB,又F是对角线D1B的中点,∴EF⊥D1B;
F是对角线D1B的中点,因而也是长方体的中心,∴FC1=FC, 又点E为CC1的中点,∴EF⊥CC1,从而EF为BD1和CC1的公垂线.
(Ⅱ) 本题可以使用四面体的顶点转换技巧予以解决.在四面体D1BDE中,点D1到面BDE的距离不易直接求得,但是点E到面BDD1的距离恰为EF,而且四面体E-BDD1的底面BDD1的面积也易求,从而可以间接求得点D1到面BDE的距离.
设点D1到面BDE的距离为h,则h×S△EDB=EF×S△D1DB=3VE-BDD1
易求得EF=
,S△EDB=
,S△D1DB=
,∴h×
=
×
.
所以h=
.
图9
例9.第(18)题:
已知复数Z的辐角为600且z-1是z和z-2的等比中项,求z.
分析:
如图9,考察复平面上O,Z,C,D四点,点Z表示复数z,O,C,D分别表示0,1,2,线段的长ZO,ZC,ZD分别表示复数的模z,z-1,z-2,
在△ZOC中,利用余弦定理,得:
z-12=z2-z+1,
在△ZOD中,利用余弦定理,得:
z-22=z2-2z+4,
由条件得,z-12=zz-2, ∴z-14=z2z-22
∴(z2-z+1)2=z2(z2-2z+4),整理得z2+2z-1=0,
解得z=
-1.
主要的问题有:
①未充分利用=600的条件,不熟习复数的几何意义;②未充分利用模的条件;③计算有明显的错误,如z-2=r-2;④模的概念不清如z=r=2,等等.
第(19)(题略):
主要的问题有:
①未理解题意“P,Q中只有一个正确”它的正确含义是P真Q假,或Q真P假;②对于对数函数y=loga(x+1)的性质认识不清;认为函数y=loga(x+1)在(0,)内单调递减时,应该有a1;③思路繁笨,未能直接利用对数函数的单调性,而是从函数的单调性来考虑.
例10:
第(20)题.在某海滨城市附近海面有一台风.据监测,当前台风中心位于城市O(如图10)的东偏南(=arccos
)300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
分析:
本题展现了一种动态的问题情境.随着时间的变化,台风中心Q的位置在变化,台风的侵袭的范围在扩大,这个圆形区域与城市O的距离越来越小.类似的问题情境学生在初中就接触过,可以归结为解三角形的数学模型,并利用余弦定理解决.
设经过t小时,台风中心到达的位置为Q,按题意得,在△POQ中,PO=300km,PQ=t×20km,∠OPQ=-450,根据余弦定理得,
QO2=PO2+PQ2-2PO×PQcos(-450)……..①
因为cos=
∴sin=
从而cos(-450)=4/5,代入①式并整理得QO2=90000+400t2-9600t,
又以Q为中心的台风侵袭区域的半径为R,则R2=(60+10t)2,当ROQ
时,城市开始受到台风的侵袭.从而化为解不等式t2-36t+288≤0,解得
12≤t≤24.答:
12小时后,城市受到台风侵袭.
考生不适应于题设的动态情境,出现诸多错误,主要有:
①思路不清,方向不明,就急于计算,从而产生错误;②强加条件,认为OQ⊥PQ;③不会
利用cos=
/10求sin,即不能把=arccos(
/10)翻译为cos=
/10; ④相当一部分考生未能把问题与解三角形联系起来;⑤两角和差三角函数不熟练,而考卷中的公式缺乏参考作用.
图10
例11:
(21)题.已知常数a0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且
=
=
P为GE与OF的交点(如图11).问是否存在两个定点,使P到这两点的距离之和为定值?
若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
图11
分析:
题中点E、F、G、P都在运动,其中点P是由于点E、F、G的运动而生成,通过设立定比比值为,求出动点E、F、G、P的坐标,消去参数,就可以得到动点P的轨迹方程.
根据图11所建立的坐标系,矩形各顶点的坐标为A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a).设
=
=
=,按题意,
,∴BE=BC,
∴E(2,4a),同理可得F(2-4,4a),G(-2,4a-4a).设CD,EG分别交y轴于Q,H,则Q(0,4a),由对称性易知H(0,2a)则直线(利用对称性简化计算)
EG的方程:
y=a(2-1)x+2a……..①
OF的方程:
y=
x…………..②
由②2-1=-2ax/y,代入①整理得
=1.(2-1作整体代换!
)
当a2=1/2时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点;
当a2≠1/2时,点P的轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆两焦点的距离之和为定值;设焦距为2c,当a21/2时,
当a21/2时,则c2=
-
∴c=
,点P到该椭圆两焦点
(-
),(
)的距离之和为
;
当a21/2时,则c2=a2-1/2,∴c=
,点P到该椭圆两焦点
(0,
-
,),(0,
+
,)的距离之和为2
;
考卷上发现的主要的问题有:
①比例式设置不当,坐标计算有误;②未知数设置过多,找不到它们的联系;③得到椭圆方程后,未能化为标准形式,从而看不出中心和焦点;④未能就a的取值的不同情况正确地进行讨论.本题把动点轨迹问题,数学建模问题,分类讨论问题等几个难点结合在一起,使考生面临严峻的挑战.该题的得分率是各题中最低的.说明应用题仍然是当前数学学习的薄弱环节.
(22)题(题略):
由于考生对数学归纳法有一定的认识,中等以上学生能够在第Ⅰ小题取得部分成绩,故本题的得分率比(21)题略高。
存在的主要的问题有:
①时间不够,极少数人能正确完成;②用数学归纳法证明第Ⅰ小题时,匆匆走过场,关键步骤徒有形式,即从n到n+1这一关键步骤实际上没有证明;③做第Ⅱ小题时,大部分考生没有对(-1)n-1中n的奇偶性进行讨论.
4.试题和答卷的一些启示
03年高考试题和学生的答卷给当前中学数学教学提供了不少启示。
我们希望,在今后数学教学中应该注意:
认真学习高中数学课标的新理念,新内容,重视能力、素质与观念的健康发展;
重视开展开放性,探索性的数学学习活动,重视实验、探索、猜想,培养理性的精神;
抓好基础知识和基本技能的教学,双基是数学应用的基础,也是实验与探索的基础必须予以落实;
把数学思想方法作为正式的学习内容,提高学生的数学表达能力。
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