完整版关于椭圆向量点乘类题型.docx
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完整版关于椭圆向量点乘类题型
向量点乘类
1、在直角坐标系中,点尸到两点的距离之和等于4,设点尸的
轨迹为a直线j■二丘+1与C交于,『两点.(i)写出c的方程;⑵山而,求k的值.
【解析】(i)设网抽回,由椭圆定义可知,点尸的轨迹c是以@为焦点,
长半轴为2的椭圆,它的短半轴b=音-郃丫=1,故曲线C|的方程为
xz+---1.
■A
j4
(2师明:
设义工“i)冏孙丁:
),其坐标满足"=消去J并整理,得
+比一3=。
故…=-£$"=-/.
山—丽即必=0,而江二囱LD-做+1)=-0毛+狂巧-工>1,于
33后2M.e
XjJC、十11:
IX——z=:
二-1-1=。
是一”…1+4V+A,解得
1g…0)的离心率为也.,且过点(0Q.
(1)求椭圆
考点:
椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系
2、已知椭圆二十L
的方程;
(2)若过点C(-1,0)且斜率为图的直线,与椭圆相交于不同的两点
工上,试问在工轴上是否存在点U,使正工,通—是与f无关的常数?
若存
3V+1
在,求出点n的坐标;若不存在,请说明理由
帮£=在t
【解析】
(1):
椭圆离心率为3,3,/5.1分又.・椭圆
2.1.;/.5b:
--
过点(虎,1),代入椭圆方程,得了一亍一二所以1":
用.4
分」•椭圆方程为
延十——
设在x轴上存在点M(m,0),使3k一一1是与k无关的常数,;直线L过
丁+3厂=5,
r.
Y
点C(-1,0)且斜率为K,方程为¥=如叫,由b'Xc”得
8MMM-5=0.设9CO,则
-6k2犷-5
苛十五,二1v_x、=——
丁许+-的+1cia口区...
XIA-MB--;——=〔工1,-m]-ViV.————
“一十1一,---jk+1
仿一吨lf升高
「二3之一£zt3%—G本r…
凳+1
1十**———+[k--w-h疗T十化"十
3^+13K+1
-M-\-6mk"+3/K+m2
设常数为t,则
-k*-15mli*+3m"k'-m
13m*+6m-1-Jt=&T..
■*];nm=——.0
恒成立,,解得台,即在x轴上存在点M机),使
正工延十一—
话一-1是与K无关的常数.
考点:
椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的位置关系,平面向量的数量
积。
点评:
中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,
运用韦达定理。
求椭圆标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质,建立了a,bac的方程组。
3、已知椭圆1c.二.工=1(&>占,6的离心率为」,以原点为圆心,椭圆的短半JF2
轴为半径的圆与直线工-)」#=0相切,直线Ly■明丁-4与椭圆C相交于A、B
【解析】(I)由题意知
故椭圆的方程为
36
OAOSxpr2-j-j:
-画+l)ij二-物iJ1-J:
j+16
116
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程.
4、如图,Fi,F2是离心率为正的椭圆C:
二_工.[(a>b>0)的左、右焦点,
23必
直线让x=—L将线段F1F2分成两段,其长度之比为1:
3.设A,B是C上的2
两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l
上.(I)求椭圆C的方程;(H)求总的取值范围。
4金一
以a=W.所以椭圆C的方程为I
1
(n)当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-Q,此时PC尤,0)、Q&,0),
f.p-^g=-\
当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,M(—二,
m)(mw0)A(x1,y1),B(x2,y2).由
江「r11
-Ji=,=
-—I、.=1
F7
LU
丁】二
得(x1+x2)+2(y1+y2)
1
0,则—1+4mk=0,故k=』加.此时,
直线PQ斜率为
PQ的直
线方程为
.联立
>=—I
Y*
-rV
昼.
消去y,整理得
(32储+1)1+16冽、+2”一2=0
.所以
是月口厘=1(x1—1)(x2—1)+y1y2=工人.包-盯)-1-G明-砌G双)刈
=(1-16鹤2}瓦切_(4冏]一勺)一1-E2
。
十16%*乂2小*—2)+(4叱-1)(-16毋)+1+/
322+132w:
+1
:
9;丁-1
32^7+1
令t=1+32m2,1
--——1551
FPR0=—~—
2^> -1_-.; I的取值范围为L-3-1 1” -1 又1 考点: 椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理 5、如图,已知椭圆C|: £+工=1(八八0)的离心率为色,以椭圆C的左顶 点厂为圆心作圆T: (x+2);+y;=r: (r>0],设圆丁与椭圆(T交于点A『与点 N. (1)求椭圆。 的方程; (2)求公/衣的最小值,并求此时圆1|的方 ⑶设点F是椭圆C|上异于V,丫的任意一点,且直线只尸小片分别与m轴 程; 1 |05|为定值。 【解析】 (1)依题意,得口二 椭圆 的方程为 (2)点I"与点T关于T轴对称,设n®Jjx区「门)不妨设当了°.由 月: 1-二、 于点在椭圆C’上,所以4(*)由已知T(T。 」,则 二(天十工h),4=K+工: -J'i),所以 门「77<=(/+2=}1! )-(xx2: -Vj)=(x1+2)'-v/ 二七十2尸二: 工J川占+3=京"_3T一 44455.由于.占一,故当 _S1,_3,rzS3. X1一一一.一■一一1]_JAx(一—.—J 5时,■工V取得最小值为5.由(*)式,,5,故5-5, r13 厂 又点在圆『上,代入圆的方程得到”.故圆丁的方程为: A'-y0=—~~—(x-x0)⑶设尸①心,则直线山尸的方程为: 士一,令J= 考点: 1.椭圆方程;2.配方法求最值. 6、已知椭圆 0工+工=[(金>5、6的离心率为工,以原点为圆心,椭圆的短半a1bz? 轴为半径的圆与直线 #=0相切,直线Ly■明丁-4与椭圆C相交于A、B —b"1 三 【解析】(I)由题意知 a: =—b 3 由A>0n(24m): -4x3fipm2+4)>0nm: >4 ,则 考点: 1.椭圆的方程;2.椭圆的离心率;3.直线和椭圆的综合应用;4.向量的数量积. .1/23。 )馆1⑼|为其右焦点,离心率为1 (1)求椭圆C 两点,且(豆7-西.(瓦7-齐.若存在,求出*的取值范围;若不存在, 请说明理由. 牛, 所求椭圆C的标准方程为. (n)假设存在这样的直线L=匕・幽满足题意,并设丫(七: /).因为 |(均7>(百-巧)*ChfT>5-2=6 (jfj—X;)-(X1-x: )—[(辰]一叫).(/cv3+曜)-1]•林修一"j.0 或'i5m.当一时,1: 3=附「Am-),显然符合 .,卅.—,(J+4.tT)|1_: j: j+41'5;—(S+4.^-) 题意;当「,时,代入人-3〉理,得r,,解得 ――.综上所述,存在这样的直线Q其斜率上的取值范围是一十日. 考点: 椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、一元二次方程根和系数的关 8、已知椭圆C: 工的离心率为更,且经过点HQ-1).(I)求椭口一斤2 圆的方程;(H)如果过点03的直线与椭圆交于m.两点qen点与x点不重合),①求而•下的值;②当工'”为等腰直角三角形时,求直线MV的方程. I_f__出 【解析】(I)因为椭圆经过点,因为宦二—一%一—下,解得才7 不满足题目条件.所以直线^^的斜率存在,设其斜率为2,则n屈方程为 g依+2L-3(144好)/奴-史=0 5,把“3代入椭圆方程得,25 2钦64 _,,、工.一==-..X.,= 则又1小[一旭1・济), 55(1-4%) (1次3 为等腰直角三角形,设乂¥的中点为网,则心」),且P萨港”底 6f-万一3=°或6f—订-3=\综上所述: 直线的方程为'M1或 考点: 1、求椭圆方程,2、直线与二次曲线的位置关系. 9、已知椭圆J: ? +端>口)的离心率为£,直线,: [■="+二与以原点为圆 心、以椭圆c的短半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆g的方程;(n)设椭圆G的左焦点为E,右焦点F: 直线『I过点月且垂直于椭圆的长轴,动直线『: 垂直r: 于点尸,线段产石垂直平分线交人于点“,求点u的轨迹g的方程;(田) ULA1।“it 设G与|工轴交于点。 ,不同的两点&S在G上,且满足°尺一灰5=0,求QS的取值范围. 广1+=1 •••椭圆5的方程是31 (n)MP=": ,.••动点.到定直线: 工三T的距离等于它到定点用口⑼的距离,・••动点M的轨迹是c为不准线,乏为焦点的抛物线.••点n的轨迹G的方程为厂二心 质=.1-y;y: +8|: -64 FL31时等号成立或4J4,又[之6」...当 Si即ft时,忤尸a,故团的取值范围是环收) 考点: 1.椭圆方程;2抛物线的定义;3.坐标法的应用. 10、已知月、月是椭圆二一[=1(八5>0)的左、右焦点,且离心率0=_L,点中口: b-2 为椭圆上的一个动点,AP三月的内切圆面积的最大值为^. (1)求椭圆的方程; (2)若W3C刀是椭圆上不重合的四个点,满足向量审与用共线,肆与他共线,且左,瓦5=5求卜R|_|访]的取值范围. 【解析】⑴由几何性质可知: 当“居月内切圆面积取最大值时,即取最 即,经计算得《三: ,匕=二后,口二』,故椭圆方程为16+11一) ②当直线斜率存在但不为0时,设・七的方程为: 3'二g十: ),由 "二总十2》 '二+J 1消去J’可得口.4,『十侬1+环;*0,代入弦长公式 ’1Z八 1>=一工U+ZJ h -24rt*-bki'" AC==i—I-—I----1।। 得: 3+W,同理由U6! : 消去J可得 取值范围是 考点: (1痫圆方程; (2)直线与椭圆的位置关系;(3)函数的值域. 11、在平面直角坐标系科叩|中,已知椭圆(十二=[(031)的左焦点为F,左、 b; 右顶点分别为AC,上顶点为B,过瓦GF三点作圆|尸(I)若线段心产|是 (H);圆F过点F=£C三点,二圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的 x~ 垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为2①BC的中点为 ]-C廿一cp(1_c&—C) 即『笫/尸在直线5厂。 上, 4占: —1 再十W=一,J0为二—^一口公下二阳工+力二」网士] 12_3 16y时取等号。 此时方程(*)中的八>0,75.1"0的最大值为1 考点: 直线与椭圆的位置关系 12、在平面直角坐标系中,已知定点A(—2,0)、B(2,0),异于A、B两 点的动点P满足先上、二_1,其中ki、k2分别表示直线AP、BP的斜率.(I) i,4 求动点P的轨迹E的方程;(H)若N是直线x=2上异于点B的任意一点,直线AN与(I)中轨迹E交予点Q,设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M(异于点B),点C(1,0),求证: |CM||CN|为定值。 【解析】(I)$(工回,由一4得工十274,其中“手匚,整理得尸点 —十小二1QhO) 的轨迹方程为-^ AN': V=—2)、rj、 4+修)4,+年酬"工+4酬=-16=0 (R)设金口叫喇手O),一0T .“V方程为Jf=g7,即产依-1),过定点CQO)定 值证法一: 即CALA『三点共线,又8是以AZ为直径的圆的切线,由切割线定理 定值证法二: 直线二一 _lewUCX'I=IoP=1…曲 可知,,为定值. "="一",直线&\m) M2'-2 |CV|-|CV|=J1+媪冈-xc141+后」珍-冷 .41+wa*|2—1|=(14-£)—i—=1 ,为定值. 考点: 椭圆的方程;直线与椭圆的位置关系点评: 关于曲线的大题,第一问般是求出曲线的方程,第二问常与直线结合起来,当涉及到交点时,常用到根与系数的关系式 13、如图,已知椭圆C: 三+3=乂次5530),・4、5是长轴的左、右端点,动a2加 点“满足卜8—,联结dlf,交椭圆于点F. (1)当b=2,b=G时, 设AfQ二),求苏一百? 的值; (2)若谈一切7为常数,探究以占满足的条件? 并说明理由;(3)直接写出左.用7为常数的一个不同于 (2)结论类型的几 124 4W二P=—(#+2)—=1 【解析】 (1)直线’2,解方程组-42,得33.所 0户@/二受)一(22)=4 以33^ 八_t (2)设汽%北),*@奴-0),因为£尸…m三点共线,于是…白物, r=lay亡十为1=iv2 即维-口.又/产,即‘一/所以 2 源//=6。 +批=*+差-=心、+%.g-型二田+M一”: 不%+口心口: 所以 当白「2"二o时,opan为常数泌[ (3)“设瓦为椭圆的焦点,匚为短轴的顶点,当工为等腰三角形时,-*nt^*,*1 0P为常数2犷或丁.”或给出“当产£—时,DFQ1为常数给或 用,属于中档题 14、已知圆的方程为xf—,过点£(24)作圆的两条切线,切点分别为4 4,直线&与恰妤经过椭圆三l=w>a)的右顶点和上顶点.(I)求 /b* 椭圆的方程;(H)设是椭圆工+2i=i(口>5>0)垂直于K轴的一条弦, AB所在直线的方程为卜=疗打用<口且5是椭圆上异于A、君的任意一点,直线AP、\BP分别交定直线: ―立于两点Q、区,求证述一£演》4. m 心,根据圆的切线性质,no_&上,所以--%,,所以直线小士 —1—](工^^.2)I—■—1—I 的方程为-2—.线舟*与J轴相交于QU,依题意疮=m,所求椭 (H)椭圆方程为4一,设式三,卜0—式肛叫8(叫T明则有 111.飞TJ,飞 0*_4)匚(1―工耳)+(4—-)・勺掰._1) .瓯诙>4 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查椭圆的标准方程,考查数形结合思想,考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力,难度较大. 15、已知点P(4,4),圆C: 砌二一/=5(旭<3)与椭圆E: 上__==1伊>匕>0)a2g 有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.(I)求m的值与椭圆E的方程;(H)设Q为椭圆E上的一个动点,求万一刀的取值范 【解析】 (1)代入点A(3,1滑m=1或5得m=12分设PF斜率为k, 直线P碓)方程为二次(文j+J-4#=0 : ",=不,解得上三! 或左三斗-t居的方程为1—F+工=°或? 工_j,_]g=o 祖十胃--22 口所求椭圆方程为is +工=1 令片0解得;工=T或卓工=-4石(TO) 11列方程组得: (2般点Q"一一•,-「一 -6e[-12,0] AP-AQ—3-yflcos9-I-3-^/5sin—6=fid口(84 考点: 本题主要考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,平面向量的坐标运算,三角函数辅助角公式。 点评: 中档题,求椭圆的标准方 程,主要运用了椭圆的几何性质,a,b,c,e勺关系。 曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理,简化解题过程。 通过向量的坐标运算,得到三角函数式,应用辅助角公式“化一”后,确定数量积的范围。 16、已知椭圆c二十二=宜口>白>0).(I)设椭圆的半焦距c=A,且『二吐/a'b" 成等差数列,求椭圆匚的方程;(R)设 (1)中的椭圆口与直线]'=h+l相交 于RQ两点,求OKOQ的取值范围. 分所以椭圆C的方程是32 6k3 %十工二———.JC.X.=———. ,械十2小3K+2,所以, 刀。 =$三+KH=/巧+{初+1"丘;+1|=(M+1*4+和X+爸)+1 一6M-6fc3-13 二—*]=二-7+ 定十2页十23M十2.3M+2,由 2331 t;>0.3k1+2>2,0<—二—-W+;—^.― ”*十223k十二2,所以。 口。 的取值 ।-2-1] 范围是;. 考点: 椭圆方程性质及椭圆与直线的位置关系点评: 椭圆中离心率 e=—_d*=5,+cA 口,当直线与椭圆相交时,常将直线与椭圆方程联立方程组,利 乌在椭圆C上.(I)求 用韦达定理设而不求的方法将所求问题转化为交点坐标表示 17、已知椭圆C的两个焦点为F(-L0)^(l: 0),点.门 椭圆匕的方程;(H)已知点用工0),设点产是椭圆。 上任一点,求港一面的取值范围. 22 …、》…「……f+9=1(Q方>°)……… 【解析】 (1)设椭圆C的方程为口b由椭圆定义, 2qH工鼻|+|监寸+以+亭+/一1人净=2^2 =L5-.故所求的椭圆方程为2J (2)设一一一一 周丽=(Tr)(工一力4/=j j[1T V-=1--PRPB=-j(2-x-1=-(ix-Y)2-- ,,点,在椭圆上,一.2「.22* 3 -金“wW...aL尸仔用有最小值2;二-石,尸牛的有最大值 =④%一说W0铲诙[々⑨ 2「.2,.二尸‘工产B的范围是2考点: 直线与椭圆的位置关系点评: 主要是考查了直线与椭圆的位置关系,以及向量的数量积的运用,属于基础题。
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