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数学f91031877620
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第4章用字母表示数
§4.1字母表示数
【情境问题】
在小学里,我们除了学过长方形的面积的计算方法,还学过哪些图形的面积
的计算?
如何用字母表示这些图形的面积?
【自主探究】
1.想一想
如果用a,b表示两个数,那么加法交换律可以表示为____________;如果用
a,b,c表示三个数,那么乘法结合律可以表示为_______________.
2.试一试
用字母表示同分母的分数的加法法则:
_____________________.
3.做一做
⑴甲数比乙数大2,如果用x表示乙数,那么甲数表示为______;如果用x表示甲数,那么乙数表示为_______.
⑵如果甲数是乙数的3倍,如果用x表示乙数,那么甲数表示为______;如果用x表示甲数,那么乙数表示为______.
【回顾反思】
1.通过上面的练习,你体会到用字母表示数的优越性的吧,事实上,用字母表示数可以轻松地将各种数量关系(包括各种法则、公式、运算律等)表示出来.
2.在用一个数(已经用字母表示出来)表示另一个数时,必须弄清被表示的数与原数的关系,注意题目中条件的变化.
3.在用字母表示公式、法则、运算律时,必须对公式、法则、运算律本身内容非常熟悉,这就要求你能用一定的时间去背诵哟.
【应用拓展】
基础演练
1.用字母表示加法结合律:
______________________;乘法交换律:
_______________;分配律:
________________.
2.用字母表示三个连续整数:
____________________.
3.一位同学的第二的测验成绩比第一次的进步了10分,若他第二次的成绩为a分,那么他第一次的成绩为______分.
4.某学校的学生共有x人,其中男生占52%,则男生人数为___________,女生人数为________.
5.若a表示三角形的底边的长,h表示三角形的高,则三角形的面积表示为_______.
6.用y表示一个非0的数,那么它的倒数表示为_____,相反数表示为______.
能力升级
7.一个三位数,它的个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z,那么这个三位数可表示为________.
8.某次考试,初一
(1)班有a个同学,平均成绩为x,初一
(2)班有b个同学,平均成绩为y,那么这两个班的平均成绩为___________.
9.有一列数字:
1,2,3,5,8,13,21,…,n,n+1,…,请认真研究这列数字的特点,然后请你
表示出n+1后面的一个数为________.
拓展提高
10.比较两个算式的大小(在横线上填上“<”“>”“=”)
(1+2)2_____12+2×1×2+22
(-1+2)2_____(-1)2+2×(-1)×2+22
(5+3)2____52+2×5×3+32
(-2+0)2_____(-2)2+2×2×0+02
……
通过观察,你能发现什么规律?
请用字母表示这个规律:
_________________________.
11.观察下列表格,并回答问题:
日
一
二
三
四
五
六
a
b
x
c
d
请你把a,b,c,d分别用x表示出来:
a=____,b=____,c=____,d=_____.
§4.2代数式
【情境问题】
下列式子中,其中属于代数式的有哪些?
为什么?
⑴0,⑵-3,⑶a+2,⑷-ab,⑸v=
⑹a+b=b+a,⑺3>2,⑻4×(-5)=-20.
代数式
【自主探究】
1.想一想
通过上面的练习,你能否思考一下这样一些问题:
⑴代数式中能不能有各种运算符号?
代数式中能不能出现“>”,“<”,“=”等表示大小关系的符号?
⑵单独的一个数字是代数式吗?
单独的一个字母是代数式吗?
2.试一试
把下列式子填入相应的空格内:
⑴2.5,⑵-
⑶2y,⑷
⑸2a+2b,⑹
⑺2x>-3,⑻y=ax2+bx+c,⑼kx+b.
代数式:
_________________________.单项式:
____________________.
多项式:
_________________________.整式:
______________________.
3.做一做
根据要求列代数式:
⑴a,b两数的平方和表示为________.⑵a,b两数的和的平方表示为_______.
⑶a,b两数的差的倒数表示为______.⑷a,b两数的倒数的差表示为_______.
⑸n表示任意一个整数,那么任意一个偶数可以表示为_____,任意一个奇数可以表示为______,任意一个被3除余2的数表示为______.
⑹某商品实行8折优惠,若原价为x元,则现价表示为_______,若现价为y元,则原价表示为______.
【回顾反思】
1.通过今天的学习,你对知道什么样的式子才是代数式了吗?
在书写代数式时有哪些要求?
2.对于单项式,多项式,整式的关系你清楚了吗?
整式里允许有分母吗?
如果允许,那么分母中允许有a,b,c,…,或x,y,z,…等字母吗?
【应用拓展】
基础演练
1.下列代数式的书写正确的是()A.x2B.2
xC.x×yD.-3zE.s÷t
2.用代数式表示:
⑴比x的3倍小2的数_______________.
⑵被5除商为n余数为1的数_________.
⑶一个两位数,十位上的数为x,个位上的数比十位上的数小1,这个两位数为______.
⑷x,y两数的平方的差表示为__________.
3.设甲数为x,设乙数为y,用代数式表示:
⑴甲数的2倍与乙数的
的差_________.⑵乙数的
与甲数的2倍的差_________.
⑶被甲数除商为乙数的数___________.⑷乙,甲两数的倒数的差______________.
能力升级
4.与偶数2n相邻的两个偶数为__________.
5.一个边长为bcm的正方形纸片,把它围成一个圆柱的侧面,那么这个圆柱的体积为______.
6.两人在400m的操场上练习跑步,甲的速度是a米/秒,乙的速度是b米/秒,且a>b.若两人同时同地反向出发,那么______秒后第一次相遇;若两人同时同地同向出发,那么_____秒后两人第一次相遇.
拓展提高
7.3个足球队进行单循环比赛(每个队都要和其他队比一场),那么总共要举行多少场比赛?
4个队呢?
5个队呢?
想想看,若是有n个队,那么比赛的总场数怎么样用n表示?
8.
甲,乙两地相距s千米,张三和李四分别从两地同时出发,张三的速度是a千米/时,李四的速度是b千米/时,两人出发后多少小时相遇?
两人若行走了x小时,那么两人此时的相距多少千米?
§4.3代数式的值
(1)
【情境问题】
1.看图4.3-1,如果小朋友的年龄为x岁,那么
工人的年龄怎么表示?
2.当x=8时,工人过了40岁了吗?
【自主探究】
1.想一想
在上面的第二个问题中,我们要求工人的年龄,只要把x=8代入什么式子就可以了?
当x=6时呢?
2.试一试
⑴当a=2,b=-5时,求下列代数式的值:
①(a+b)(a-b)②a2-b2.
⑵当x+y=-2,xy=-4时,求代数式
-
的值.
3.做一做
填写下列表格,观察表中的两个代数式的值有什么特点?
并由此猜猜看,有什么结论.
x
0
-1
3
-3.5
(x+2)2
4
1
25
2.25
x2+4x+4
4
1
25
2.25
结论:
___________________________.
【回顾反思】
1.在学习过本课之后,你清楚在把字母的值代入求值的时候,要注意哪些问题吗?
2.在第“试一试”的第⑵小题里,虽然x与y的值都不知道,但我们可以把x+y,xy看做一个整体,把题目中的x+y用-2代替,xy用-4代替,然后计算出结果.这种代入的方法叫做整体代入,在初中这种方法用的非常广泛,你理解了吗?
【应用拓展】
基础演练
1.当a=-2,b=3时,求下列代数式的值:
⑴3(a-b)⑵3a-3b⑶(
)2⑷
⑸(a-b)2⑹a2-2ab+b2⑺(a+1)(b+1)⑻ab+a+b+1
2.当a=2,b=-3,c=-4时,代数式b2-4ac的值为___________.
3.如果a+b=-3,a×b=-4,代数式的
值为__________.
能力升级
4.已知x,y互为相反数,a,b互为倒数,t的绝对值为2,求代数式(x+y)2003+(-ab)2004+t2
5.已知
=2,求代数式
的值.
拓展提高
6.有一列数:
x1,x2,x3,…,xn,xn+1,…,其中x1=3.
⑴ 如果对任意的n,有xn+1=xn+2.①计算x2=____,x3=____,x4=____.②根据上面一小题的结果,请试着把xn用n表示出来:
xn=____.③计算x2004=_____.
⑵ 如果对任意的n,有xn+1=2xn.①计算x2=____,x3=____,x4=____.②根据上面一小题的结果,请试着把xn用n表示出来:
xn=____.③计算x6=_____.
否
§4.3代数式的值⑵
是
【情境问题】
【自主探究】
1.想一想
⑴在上面的问题中,如果第一次输入的数字是1,请你试试看,有什么发现?
如果输入任意一个比1大的数字,看看最后能否输出x?
如果输入任意一个比1小的数字呢?
⑵通过以上问题的思考,你能否做个猜测,要想最后能够输出x,那么一开始输入的数字有什么要求?
2.试一试
请你设计出计算代数式2x-1的值的计算程序,再填写下表:
x
0
2
-3.5
2x-1
3.做一做
a
如图:
⑴图形的周长是___________;
b
⑵当a=4,b=6时,图形的周长为_________;
【回顾反思】
1.在学完这一课后,你觉得在“试一试”中填表与上节课求代数式的值一类的题目有区别吗?
2.在生活中,我们经常对事情进行判断,“是”还是“否”需要标准,在这一课开始的问题中,判断“是”还是“否”的标准是什么?
【应用拓展】
基础演练
1.图1是数值转换机的示意图,如果输入的数字用x表示,那么输出的数字可以用代数式_________表示;
输出
图1
输入x
2.图2是数值转换机的示意图,如果输入的数字用x表示,那么输出的数字用代数式-3x+5表示,请按照上题的样式,将数值转换机中的方框填上:
输入x
输出-3x+5
图2
3.填表:
a
0
-1
2
a+2
a-2
(a+2)(a-2)
a2-4
能力升级
4.填写下表,并回答有关问题:
x
x1
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
x2
x2-4
s1
…
…
s2
请认真观察你所填写的数字,看看有没有什么规律?
然后猜想,如果x1与x2互为相反数,那么s1与s2的关系为___________;
拓展提高
5.某同学在1月份栽了一棵树,每个月测量一交树的高度,得到下列表格:
月份
1
2
3
4
…
x
树高(cm)
110
120
130
140
…
?
⑴ 按照表格的规律,6月份树的高度为________cm;
⑵第x个月时,树的高度为_________cm;
⑶在第_________月后,树的高度会超过185cm;
§4.4合并同类项
【情境问题】
已知a=3.5,求代数式2a2+3a2+5a2的值.
【自主探究】
1.想一想通过上面的题目的练习,你是否想到了在有些计算代数式的值时,可以先将原来的代数式做适当化简.你注意到上面的代数式中每一项有什么特点吗?
2.试一试请依照例子将左右两个圈内的同类项找出来:
3.做一做合并下列同类项
⑴2m+3m+5m⑵-9x2-5x2⑶2a+3b-5a+b
⑷-4y3+4y3⑸7t2-3+2t-6t2-5t+8⑹2(x-y)2+3(x-y)-3(x-y)2-(x-y)
【回顾反思】
1.通过今天的学习,你知道两个式子如果是同类项,有哪些是相同的吗?
如果是两个数字,那么它们是同类项吗?
2.在合并同类项时,只要把什么相加?
什么是不变的?
如果两个同类项的系数是相反数的关系,那么这两项合并同类项后结果是多少?
【应用拓展】
基础演练
1.在下列各组式子中,不是同类项的一组是()
A.2,-5B.–0.5xy2,3x2yC.-3t,200tD.ab2,-b2a
2.已知关于x的式子ax+bx在合并同类项后结果为0,则a,b的关系为()
A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.以上均错
3.合并下列各式中的同类项
⑴-6xy-4xy+3xy⑵2x2-4x-3x2+5+6x-2⑶-5a+2b-3b+5a+b
⑷-st3+2s3t+4st3-3s3t⑸2xn-3xn-1+xn+2xn-1
4.求下列代数式的值:
⑴x2+3x-4x2+5x+2x2-3,其中x=
.⑵(2x-y)2-3(2x-y)-4(2x-y)2+(2x-y),
其中2x-y=-2.
能力升级
5.已知2xm+2nym-1与-3x6+ny3是同类项,求m,n的值.
6.已知(x-y-2)2+│x+y+1│=0,求(x-y)2+3(x+y)3-2(x-y)2-(x+y)3的值.
拓展提高
7.已知,3a
b与ab是同类项,3a
b与a2b是同类项,3a
b与a3b是同类项,…,3a
b与akb是同类项,求:
.
§4.5去括号⑴
【情境问题】
在解决这个问题时,甲同学的答案是a-(b+c),乙同学的答案是a-b-c,他们的答案是否都是正确的?
如果是,那么我们可以得到一个等式,这个等式是什么?
【自主探究】
1.想一想根据上面问题中的结论,请你猜猜看,把a-(b-c),a+(b-c)中的括号给去掉,
结果应该是什么?
2.试一试去括号:
⑴(a+b)+(c-d)=_______________;⑵(a+b)-(c-d)=_______________;
⑶a+3(-b+c-d)=_______________;⑷a-3(-b+c-d)=_______________;
3.判断下列去括号是否正确,如果错误,请说明错在哪里:
⑴x-(y-z)=x-y-z⑵x2-2(x+1)=x2-2x+2
⑶s+3(r-t)=x+3r-t⑷a-4(-b+c)=a+4b-4c
【回顾反思】
1.在去括号时,原来括号里的各项是否变符号,就是要看什么?
什么情况时,括号里的各项要改变符号?
什么情况时不改变符号?
2.在去括号时,如果括号前面有数字,那么这个数字是不是仅仅和括号里的第一项去乘?
如果不是,那么应该怎么样?
【应用拓展】
基础演练
1.判断下列各式是否正确:
⑴x+2(y-2z)=x+2y-2z()
⑵2a-(-c+d)=2a+c+d()
⑶-z-5(-x+2y)=-z-5x+2y()
⑷2a-3(3b-c)=2a-9b+3c()
2.将式子-[-a-(-b-c)-d]去括号号结果为()
A.a+b+c-dB.a-b+c+dC.a-b-c+dD.–a-b-c-d
3.先去括号,再合并同类项:
⑴2a-(a2-a+3)⑵2t+3(t-2)-(t+3)
⑶-(x2-2x-3)-2(-x2+x+1)⑷
能力升级
4.先将下列各式化简,再求值:
⑴3a2b+(b2a+3a2+3)-(3a3-2ab2-a2b),其中a=2,b=-1
⑵(4x2-3x)+(2-x2-4x)-(2x2+x-1),其中x=-3
5.已知x,y两数在数轴上的位置如图所示,化简│1+y│-│1+x│+│x+y│-│y-x│
y-10x1
拓展提高
6.⑴若b>0,a为任意一个有理数,请比较a+b与a-b的大小.
⑵在上面的问题中,若b<0,结果又是怎么样?
§4.5去括号⑵
A
B
C
2a+3b
a-b
【情境问题】
【自主探究】
1.想一想在上面的问题中,在进行列式时,要注意添上什么符号?
2.试一试某多项式与-2x2+x+1的和为x2+2x-2,求某多项式;
3.做一做
1已知A=2x2-3x,B=-x2+2x,求A+B,A-B.
⑵甲同学有书x本,乙同学的书比甲同学的2倍少1本,丙同学的书是乙同学的3倍多2,
求三名同学的书共有多少本.
【回顾反思】
1.在进行整式的计算时,经常要列式,而在列式时,又需要添一种符号—括号,很多时候
如果把括号丢了,结果就不同.请试试看,在情境问题中计算AB比BC大多少时,如果不添括号,结果是什么?
和原来的结果是否相同?
2.整式的计算中,主要用到哪两种变形?
每一种变形要注意些什么?
【应用拓展】
基础演练
1.填空:
⑴单项式x,-x2,-3x,2x2的和为________
⑵单项式2a与-3a的差为________
⑶多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2的和为_____________
⑷某多项式与-a2+ab+2b2的和为ab,则某多项式为___________
2.三个连续的偶数,中间一个为2x,则这三个连续偶数的和为()
A.6x-2B.6x+2C.6xD.以上都错
3.计算:
⑴-2(xy-3x2)-2y2-[(4xy+x2)-xy]
⑵-2(-3ab+2c)+3(-2ab-5c)
⑶2a2-2[3a-2(-a2+2a-1)-4],其中a=2
能力升级
4.设A=y2+xy-x2,B=y2-xy+2x2,x=1,y=-2,求A-B.
5.小李在计算x2+xy与一个多项式的和时,却把和当成了差,结果为xy-y2,则正确的结果
应该是什么?
拓展提高
…
图1
图2
图3
6.如图所示,设每个小三角形的面积为s.
⑴第n个图中小三角形的个数比第n-1
图中小三角形的个数大_______;
⑵第n个图中所有小三角形的面积的
和为_________;
⑶前四个图中所有小三角形的面积的和与第五个图中小三角形的面积
的差为______.
数学活动——正方体涂色
【课前准备】
1.学生分组:
学生自由组合成3-4人学习小组;
2.材料:
每一组由一个学生准备一个用白色橡皮泥或白萝卜做成的正方体,并把它涂上自己喜欢的颜色.
【做一做】
1.把每一条棱分成三等分,然后沿等分点把正方体切开,得到一些小正方体,想一想应该有多少个?
2.数一数,三面涂色的小正方体有几个?
两面涂色的小正方体有几个?
只有一面涂色的的有几个?
各面都没有涂色的有几个?
【议一议】
在原来大正方体上,什么位置的小正方体三面涂色?
什么位置的小正方体两面涂色?
什么位置的小正方体只有一面涂色?
什么位置的小正方体各面都没有涂色?
【猜一猜】
1.如果把正方体的棱四等分,再沿四等分点把正方体切开,那么三面涂色的小正方体有几个?
两面涂色的小正方体有几个?
只有一面涂色的的有几个?
各面都没有涂色的有几个?
2.如果把正方体的棱n等分,结果又是怎么样的呢?
【总结与反思】
通过本课的活动,同学们是不是想到了这样一点,要解决一个复杂的问题,我们可以从一个相对简单但属于同一类型的问题入手,然后掌握这类问题的规律,再来解决原来的那个复杂的问题.
好好地体会吧.
第4章测试卷(A卷)
一、填空题:
1.如果用a,b表示两个数,那么加法交换律可以表示为____________.
2.一个两位数,它的个位上的数字为x,十位上的数字为y,那么这个两位数可表示为________.
3.设甲数为x,设乙数为y,用代数式表示甲数的
与乙数的2倍的差_________.
4.已知2xm与-3x2m-3是同类项,则m=_________.
5.当a=-2,b=3,c=4时,代数式b2-4ac的值为___________.
6.去括号2a-(-c+d)=_____________.
二、选择题:
A.B.C.D.
7.下列各组单项式中,是同类项的是()
A.2x2y,-xy2B.–a3b2,3b2a3C.3xy,-2xyzD.32,x2
8.下列各式计算正确的是()
A.3x2-2x2=1B.3x2-2x2=xC.3x2-2x2=x2D.3x2-2x2=2x
9.某人先以速度v1千米/时行走了t1小时,再以速度v2千米/时行走了t2小时,则某人两次行走的平均速度为()
A.
B.
C.
D.以上均错
10.对于代数式-m5+2m3-3m,m=1和m=-1时的值()
A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.都有可能
三、解答题:
11.计算:
3x-2(x-1)-(x+1)
12.(a2-3ab+2b2)-(2a2-ab+b2)
13.3ab-{5a-4[ab-
(ab+a)]+4ab}
14.已知
=2,求代数式
的值.
15.已知A=2x2-3x,B=-x2+2x,当x=-1时A+B与A-B的值.
16.化简并计算3abc+2(a2b+b2c-abc)-abc+2ac2,其中a=-1,b=1,c=-2.
17.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示,
cb0a
化简:
│b+c│-│a+c│-│b-a│.
18.有下列算式:
42-22=12=4×3
62-42=20=4×5
82-62=28=4×7
102-82=36=4×9
…
观察这些等式,看一看有什么规律,请你用含有字母的等式将你找到的规律表示出来.
第4章测试卷(B卷)
一、填空题:
1.用字母表示三个连续整数的平方和:
____________________.
2.单项式
的系数为________.
3.甲单独
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