基于TSGARCH金融市场波动率与非对称跳跃.doc
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金融市场随机波动率及非对称纯跳跃过程
吴恒煜朱福敏
(西南财经大学经济信息工程学院四川成都611130)
摘要:
为寻求金融市场系统性风险的条件方差与随机跳跃的收益率期望之间的演变关系,通过GARCH模型结合TemperedStable过程用以描绘收益率分布的非对称及截尾特性。
针对上证综合指数,建立TS-GARCH模型研究市场不同阶段下条件异方差及随机跳跃的条件期望演化过程,揭示了在随机波动率下金融资产带有非对称无限跳跃风险的补偿预期与波动率之间的非对称关系。
关键词:
调节稳态分布,GARCH模型,条件方差,非对称随机跳跃,风险补偿预期
Abstract:
Toseekforthedevelopmentrelationsbetweentheconditionalvariancesofsystematicrisksandtheyieldexpectationsofrandomjumpinginthefinancialmarket,weusetheGarchModelcombinedwiththeTemperedStableProcesstodepicttheasymmetricandtruncatedcharacteristicsofyieldsdistribution.InresponsetoShanghaiCompositeIndex,TheTS-GARCHModelisestablishedtostudytheevolutionprocessoftheconditionalheteroskedasticityandconditionalexpectationofrandomjumpingunderdifferentstagesofthemarket.Werevealedtheasymmetricalrelationshipsbetweenthecompensationforexpectedandthevolatilityamongthefinancialassetswiththeriskofasymmetricinfinitejumpundertheconditionsofstochasticvolatility.
Keywords:
Temperedstabledistribution,GARCHModel,Conditionalvariance,Non-symmetricrandomjumping,theexpectedcompensationforrisk.
1引言
金融市场中的随机数据分布通常呈现非高斯分布的特性[1]。
有别于连续几何布朗运动,非高斯随机分布可能存在的尖峰、后尾和有偏现象[2],同时市场还可能存在跳跃及波动聚集特征[3]。
TS-GARCH模型可以同时捕获两种状态[4]。
TemperedStable也属于Levy过程,与-stable有许多共同之处,相比正态分布,stable分布的密度曲线双尾递减速度更快,属于截尾稳态分布,对中国这样的存在涨跌幅限制的金融市场尤为适用[5]。
另外比起正态分布及各种高斯核密度分布,TS拥有正负两个不同的跳跃测度,可以描绘分布的非对称特性,从而便于分析不同跳跃带来的差异,并体现可能存在的有偏和截尾情形[6],更重要的是TS过程的随机分布要比-stable的尾部递减得更加稳健,-stable的侧翼密度下降过于迅猛,不符合金融数据的特点[7]。
TS过程有许多类型,包括简化条件下的VarianceGamma[8]及CGMY[9]过程,还包括扩展的Kim-RachevTS过程[10],ModifiedTS及RapidlyDecreasingTS过程[11]等等。
本文采用常态TS模型,用以捕获非对称的无穷随机纯跳跃。
波动率聚集问题借助条件异方差模型刻画随机时变的波动率过程可以得到解决[12],条件方差、时变波动率影响未来的随机跳跃幅度[13]。
金融资产在随机过程中的风险补偿来源于对随机波动风险下的超额预期报酬,对于指数Levy过程而言,风险补偿可以通过特征函数的Laplace变换公式计算得到,而自变量即为时变的波动率[14],可见变化的波动率也会影响随机跳跃的预期风险报酬。
BS模型揭示了预期收益率与波动率之间的相关关系[15],以描绘非对称无穷纯跳跃的TS模型代替连续布朗运动,是否存在与布朗运动不同的风险补偿?
本文试图通过GARCH模型建立的条件异方差的演化过程,并通过非对称无穷纯跳跃TS模型计算对跳跃的风险补偿,在中国股市上不同阶段比较两者的非对称关系,同时分析应当建立的相适应的投资策略。
2文献综述
目前金融市场的经典模型都是以随机数服从正态分布为基本假设,然而许多实证研究表明股市回报率违背这一假设。
Fama(1963)[2],Hull(1987)等[3]通过模型证实金融资产收益率分布与正态分布不同,往往呈现厚尾、尖峰和有偏的特征,不管离散或者连续金融模型都需要考虑一个非正态无限可分的分布代替传统假设。
当Mandelbrot(1963)[19]介绍-stable模型用于金融市场资产定价的实证,-stable过程便成为正态分布假设的一种有力替代。
不过,众多实证研究不支持正态分布的假设,但也常常与-stable有所不同[10,11]。
金融资产收益率分布的尾部常常厚于正态分布的尾部但又薄于-stable分布,而处于两者之间的即为调和的稳态分布(TemperedStable)及调和的无限可分分布(Temperedinfinitelydivisibledistribution)[4],是通过-stable乘以一个指数调和测度而来。
其中VarianceGamma[8]和CGMY(Car,Geman,Madan,andYor)就是TS过程的一种,特别是CGMY过程被称为除BS模型之外革命性的跨越[9]。
TS过程的出现,使得金融市场的实证研究更为广泛并且实用,因为除了连续扩散外它可以描绘有限活动率及无限活动率的非对称跳跃过程。
这些研究促进了非高斯过程在时间序列及期权定价上理论与实践上的研究,它们已经逐渐演变成固定的公式和程序以便为理论创新和实践操作者灵活运用[20]。
TS分布可以通过设定参数使得随机分布的所有矩都可能存在,也可以存在部分指数矩,而这些性质在构建期权定价模型中都至关重要。
TS过程的标准公式由Rosinski[6]定义而来。
其中KoBoL及CGMY过程、VarianceGamma过程、InverseGaussian(IG)都属于这类随机分布族进行测度参数化变形而来[7]。
另外,TS分布已经有了更多更加灵活和参数多样化的广义调和稳态分布(GTS),其中包括ModifiedTS,RapidlydecreaseTS,KRTS,NormalTS等等[11]。
虽然TS模型和Levy过程都因为密度函数的复杂或者不存在使得在金融模型中部分应用极为困难,然而因为特征函数的数值计算方法及随机数生成法则的出现也使得这类模型有着良好的应用前景。
无限可分的性质使得TS过程可以沿用Levy过程的基本公式,例如测度变换、指数仿射结构等等[18]。
借助傅里叶数值计算和蒙特卡洛模拟,TS族的密度估算,参数估计和随机模拟都可以得到有效的解决[17]。
无限可分分布也可以用于离散时间金融模型的构建。
其中最为典型的是股价回报率和GARCH模型,它仍然可以在随机分布中体现其特有的厚尾、尖峰和有偏现象。
这也是对条件方差服从正态分布假设的一个改进。
假设随机过程的演进方式(innovation)服从更加灵活复杂多变的经验分布而非正态分布对于期权定价、风险管理和投资组合都有重大的影响[13]。
关于波动率微笑,Andersin(2001)等[1],Duan(1995)[12]的正态分布假设下GARCH模型可以解决波动率聚集现象。
Kim等通过构建新的GARCH模型并结合无限可分分布的演进方式用以代替连续几何布朗运动,从而能够融合金融资产回报的波动率集聚、又能捕获厚尾、尖峰和有偏的性质[4]。
根据Harrison等建立的期权套利定价鞅理论,金融资产的价值为改资产的基础标的在一系列风险中性或者等价鞅测度下的支付函数的期望值,而这个中性测度(或称无套利鞅测度)往往与历史数据估计而来的市场测度完全不同[21]。
例如,在BS模型中假设资产回报率分布服从正态分布,那么一份欧式期权的看涨和看跌价值就是金融标的资产的两个主要参数的表达式,即波动率和无风险收益率[22]。
普通的基础资产价值的预期同样是由收益率均值和波动率方差决定。
基于市场股票的综合指数反映了整个市场的平均回报率水平和系统性风险,股票指数的回报即可分为市场的无风险报酬加上承担系统风险的风险补偿[23]。
关于正态分布假设下的基础金融资产在无风险条件下的报酬预期为无风险收益率,而风险资产的风险补偿或风险溢价的计算是在风险中性测度下的波动率的函数。
事实上,正态分布假设的基础资产的风险补偿即为风险中性条件下的关于收益率的随机扩散预期。
在连续指数布朗运动过程中它始终等于风险中性测度下的波动率平方的一半,不管上涨还是下跌,它和波动率对称性的成正比。
而在Levy过程中,风险中性条件下的无穷随机跳跃关于波动率的风险补偿即为Levy过程特征指数关于波动率的Laplace变换[14]。
在以往的国内外所有文献中,暂无关于非对称无穷随机纯跳跃过程在时变波动率下的风险补偿关系的研究。
3模型
3.1TS过程
TemperedStable从属于Levy过程,结合了-stable和Gaussian趋势组成的尾部调和稳态分布,它的尾部分布介于过薄的正态分布和过厚的-stable分布之间,在金融市场和统计学中拥有优良的建模效果。
对于稳态分布来说,调和稳态分布(TS)可以存在有限的方差,即有-stable的局部行为,又有较为平缓的尾部分布。
通过参数表示TS模型的跳跃测度,
其中且,这表示有着不同的跳跃程度,上涨和下跌的发生测度可能因参数的差异而不同。
反映密度曲线两边的陡峭程度(也称递减程度),越大越平缓。
决定密度曲线的尖锐程度,越小越尖。
若假设Levy三项中的线性漂移率、扩散率和跳跃测度分别为,根据Levy-Kintchine公式
可得到TS分布的特征函数为
密度函数可以通过特征函数的逆傅里叶变换得到,但是TS分布没有封闭的密度函数形式。
若假设金融资产对数收益率随机过程中线性漂移率、瞬时波动率及随机跳跃分别为变量,那么资产价格的变化表达式为
其中是对数收益率下随机跳跃过程的条件期望(均值),用于进行随机跳跃因子的鞅修正,是对随机因子在条件方差下风险补偿。
若随机因子为布朗运动,有。
若假设随机因子服从过程,则称为TS模型。
纯跳跃TS过程的风险补偿同样可以通过矩母函数或者特征函数计算,即
3.2GARCH-TS模型
用广义条件异方差GARCH(1,1)模型构建条件波动率过程,有
其中且使得方差保持平稳性。
根据TS过程及中,有约束的GARCH-TS模型
若假设无风险收益率及风险市场价格分别为,由模型可转换成
4实证研究
4.1参数估计
在高斯分布的假设下,通常GARCH模型进行市场拟合的参数可以采用极大似然估计,其他拥有密度函数的分布也可以采用最大似然法。
TS分布仅拥有封闭的特征函数而无确切的封闭密度函数表达式,极大似然估计方法不能直接运用于TS-GARCH模型的参数估计,但可以利用特征函数的逆向傅里叶变换来近似估计TS过程的密度分布图。
通过特征函数进行快速傅里叶逆变换(FFT)近似估计离散样本密度极大似然法(MLE)称为FFT-MLE法。
假设对数收益率样本随机项服从TS过程,有密度表达式
其中。
若令再设立恰当的初始值就可以进行快速傅里叶变换计算密度分布的近似值。
(推导过程见附录)。
在对数极大似然条件下,参数需要满足:
除了FFT-MLE外,这种条件异方差模型的风险中性修正下随机项可能还有一个特点,即零均值,单位方差,称之为标准化的随机分布。
这意味着将限制随机项参数的自由度,譬如在TS模型中,方差为1均值为零,那么一个充分条件为
在这种条件下采用有效矩估计将会更加便捷。
通过高斯核的极大似然估计GARCH模型的三个参数,再构建随机项样本,通过特征函数进行矩配对的方法称为CF-MME。
CF-MME需要根据特征函数计算相应的n阶原点矩条件,或通过TS模型的特征指数计算n阶累计量(cumulant)
由于TS分布与-stable类似存在有限的n阶中心矩及有限的特征指数n阶累积量,采用前四阶累积量计算公式是有效的。
在CF-MME下,最小二乘结果的参数需要满足条件
4.2数据与样本
为了观测纯跳跃模型带来的风险补偿与波动率之间的演化关系,需要有随着时间变化的波动率序列和相应的风险补偿的期望。
市场指数是揭示系统性风险的最佳载体,取每日收盘价时间序列做收益率分析。
为满足参数估计的步数要求,将观测的每4年左右指数日收益率数据归为一个阶段,样本数量均以为一个阶段的样本容量,恰好能满足快速傅里叶变换的要求。
为了描绘金融市场四个阶段下条件方差及跳跃的条件均值间相互演变过程,可通过数据、参数和图形用于直观展示四个阶段的演变差异。
3.3上证综合指数
从1991年12月19日交易所第一笔交易至2007年8月29日约12年的时间共计4097个收盘价,平分为四个阶段,每个阶段含有1024个日收益率。
按照高斯核密度极大似然法结合低阶矩估计捕获模型参数,用于计算条件方差及随机跳跃风险下的条件期望,并绘图,参数和图形结果见表1及图。
表1上证指数市场参数估计结果
Table1ParameterestimationresultforShanghai
Time
Log
1
7.23e-5
1.26e-6
0.26
0.74
11.97/25.30
3.45
11.07
0.35
1202
2
1.79e-4
5.49e-5
0.13
0.79
15.83
0.0025
10.16
1.36
1531
3
7.69e-5
1.73e-6
0.129
0.87
11.92/12.70
4.29
6.52
0.85
2009
4
8.94e-5
2.78e-6
0.069
0.92
44.66/2.31
14.26
3.92
-2.1
1971
表1列出了模型在4个阶段下的参数估计结果。
其中‘Log’为极大似然估计的对数似然值。
4个阶段的参数差异较大,各个阶段的随机变化特征存在较大的差异。
根据我国金融市场发展经历的变革,第一阶段至第二阶段中期都未实行涨跌限制,从1996年12月16日起对上市交易股票实行涨跌幅限制以来,第三、四阶段的样本似然值得到较大的提升,也侧面说明对于稳定市场,抑制过度投机波动是有积极的意义的。
另外,从参数特点可以获知,T2时期,远远小于,期间经历了熊市。
相反T4阶段经历了牛市。
从的分布区间来看,T2中,随机分布不存在二次变差,说明T2确实处于风险失控阶段,也是在此阶段提出涨跌幅限制原因所在。
通过模型参数,计算GARCH模型下随机波动率的时间序列及随机跳跃下对条件风险的补偿(关于条件方差的跳跃期望)。
为了比较异方差波动率下的连续布朗运动与非对称纯跳跃随机过程的风险补偿差异,用表示TS过程的风险补偿,LBM表示几何布朗运动下的风险补偿。
由于风险补偿表达式都是关于波动率的,为了能直观观测演变关系,拉近波动率、GBM及TS三者之间比较距离,图中还作出了条件方差与其他二者的演变关系图。
图1a、2a、3a、4a直观显示了四个时期的金融市场波动状况,T1,T2有着相同的纵坐标区间,波动率分别集中于0.06及0.03,其中T1后半期、T2前半期波动极为剧烈,大幅震荡。
T3,T4纵坐标刻度比T1,T2缩小近5倍之多,波动率都集中在0.015。
经过一段时间的发展,金融市场稳定性得到较大提高。
图1aT1时期的波动率与两者风险补偿关系
Fig.1aTherelativeinnovationofvolatilityandLaplace’sinT1
图1bT1时期的条件方差与风险补偿关系
Fig.1bTherelativeinnovationofconditionalvarianceandLaplace’sinT1
图2aT2时期的波动率与两者风险补偿关系
Fig.2aTherelativeinnovationofvolatilityandLaplace’sinT2
图2bT1时期的条件方差与风险补偿关系
Fig.2bTherelativeinnovationofconditionalvarianceandLaplace’sinT2
图3aT3时期的波动率与两者风险补偿关系
Fig.3aTherelativeinnovationofvolatilityandLaplace’sinT3
图3bT1时期的条件方差与风险补偿关系
Fig.3bTherelativeinnovationofconditionalvarianceandLaplace’sinT3
图4aT4时期的波动率与两者风险补偿关系
Fig.4aTherelativeinnovationofvolatilityandLaplace’sinT4
图4bT1时期的条件方差与风险补偿关系
Fig.4bTherelativeinnovationofconditionalvarianceandLaplace’sinT4
从风险的期望报酬绝对值来看,GBM和TS过程都是与波动率及条件方差呈正相关关系。
波动率增大,预期的波动风险带来的补偿(或损失)也将提高。
但是,TS模型与GBM模型下的差异十分明显,GBM对波动率过程,不管在牛市熊市都表现得相当稳健、亦步亦趋,始终保持同一个方向,并且一直低于条件方差从未超越。
而TS这种非对称的纯跳跃过程相比GBM表现得极度活跃和敏感。
对于TS过程来说,波动率大意味着风险补偿将发生质的飞跃,当然既可能是收益亦可能是损失,另外风险补偿将可能击破并超越条件方差。
特别是在T1和T2阶段,由于处于股票交易初期,巨大的风险波动使得非对称纯跳跃TS模型的风险补偿始终高出条件方差,所带来的超额风险补偿远远高出预期回报率,投机气氛极其浓重。
T1和T2阶段的波动率水平普遍高于T3及T4阶段的好几倍,带来的效益也非常明显。
实施涨跌幅限制后,市场逐渐回归理性,波动率得到有效的抑制,关于条件方差的风险补偿也有了较大的改变,市场波动及风险补偿都表现更加稳定。
在T3,T4时期,缓和的波动率水平导致纯跳跃模型在一段时间败给连续的几何布朗运动。
特别注意到,在持续漫长的牛市(T4)和熊市(T3)中对于TS模型的多头持有方来说,风险补偿多数时间是处于负数区间的,除非有巨大的风险冲击。
对于投资者来说,持续出于上涨期间,并且如果波动率一直出于抑制状态(市场随机跳跃表现出极低的变化率),持续多头建仓意味着风险报酬将降低,但是出于策略的空头则将获取对手方反方向的风险补偿,并且明显要高于连续几何布朗运动的值,从这个角度上说,完善对手交易、提供做空平台对金融市场发挥其资产配置的作用是有积极意义的。
推进股指做空交易,可以有效对冲这种非对称性风险,并且促进交易,改善市场波动率受到抑制的状态。
5结论
通过建立TS-GARCH模型研究中国金融市场系统性风险与预期的风险补偿之间的关系,非对称的纯跳跃TS过程与连续几何布朗运动的情形相差较大。
保持较高的波动率对于非对称纯跳跃TS模型有着较高的风险补偿,纯跳跃过程对于条件方差表现得更加敏感和兴奋,而GBM则表现得比较稳健和被动。
另外,持续上涨与持续下跌对TS过程带来的风险补偿结果也是非对称的,在低迷的投资环境,这种非对称的风险补偿,使得投资者需要通过转变投资策略以提高市场流动性,间接带动市场低迷的波动率水平,在市场波动兴奋的投资环境下,大起大落会诱导投资者保持对应的投资策略,又可间接缓冲过热的投资环境。
为此,进一步的建议有,继续推进融资融券交易,做空机制可以成为市场波动率水平有效的缓冲弹簧,在低迷的时候促进相反交易,在泡沫的时候增加损失风险。
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