四年级数学拔高之巧解追及问题.docx
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四年级数学拔高之巧解追及问题
第21讲巧解追及问题
巧点晴——方法和技巧
同向行走一慢一快的两个物体间先有一段距离,由于后者的速度快,在某一时刻后者追上前者,叫做追及问题,其数量关系式是:
速度差×追及时间=路程差
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】小明、小强两人从B城去A城。
小明速度为每小时5千米,小强速度为每小时4千米。
小明出发时,小强已先走了4个小时。
小明走了10千米后,决定以每小时6千米的速度前进。
问几小时后小明追上小强?
分析小明10÷5×4=8(千米)
A
B
10(千米)D
4×4=16(千米)小强
如上图所示,小明出发时,小强先走了4小时,即小明和小强相距了4×4=16(千米),在图上表示为BC=16千米,小明走10千米,花了(10÷5=)2小时到达D点。
这一段时间,小强走了(4×2=)8千米到达E点。
这时候两人之间的距离就是图中线段DE的长,即:
8+(16-10)=14(千米)到达E点。
这时候两人之间的距离就是图中线段DE的长,即:
8+(16-10)=14(千米)。
问题转化为:
小明、小强两人相距14千米时,小明以每小时6千米的速度,小强以每小时行4千米的速度行走,问小明几小时后能追上小强?
因为小明每小时比小强多行:
6-4=2(千米),所以需要经:
14÷(6-4)=7(小时)追上小强。
解(4×4-10+10÷5×4)÷(6-4)=7(小时)
答:
小明7小时后才能追上小强。
做一做1甲每小时行4千米,乙每小时行3千米。
甲动身时,乙已走出了9千米。
甲追乙3小时后,改以每小时5千米的速度追乙。
问再经几小时甲能追上乙?
【例2】王萍、李敏丽比赛跳绳,王萍每分钟跳72次,李敏丽每分钟跳60次,王萍迟跳1分钟,当王萍、李敏丽跳同样多次时,裁叛叫停。
问这时两人一共跳了多少次?
分析与解这道题实际上属于追及问题。
王萍迟跳1分钟,李敏丽已经选跳了60次。
王萍每分钟比李敏丽多跳(72-60=)12次,必须花(60÷12=)5分钟才可以赶上李敏丽。
王萍跳了:
72×5=360(次),两人一共跳了:
360×2=720(次)。
60×1÷(72-60)×72×2=720(次)
答:
两人一共跳了720次。
做一做2姐姐从家去学校,每分钟走50米。
妹妹从学校回家,每分钟走45米。
如果妹妹比姐姐早动身5分钟,那么姐妹两人同时到达目的地。
求从家到学校有多远。
【例3】上午8时,有一列货车以每小时50千米的速度从甲城开往乙城;上午10时,又有一列客车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城。
为了行驶的安全,列车间的距离应不少于10千米。
那么,货车最晚应在什么时刻停车让客车通过?
分析要求货车最晚在什么时候停车,就要先求出客车出发后追到与货车相距10千米处所需的时间。
从条件“货车8时出发,客车10时出发”,可以推出,货车开出2小时后,客车出发,也就是客车出发时,货车已行了:
50×2=100(千米),而货车要在客车距它至少还有10千米时就要停车进入叉道。
在客车出发到货车为让客车而停车的这段时间里,客车要比货车多行90(千米)。
由于客车每小时比货车多行:
60-50=10(千米),所以要求客车比货车多行90千米需要多少时间,也就是求90千米包含多少个10千米。
求出客车出发后追到与货车相距10千米处所需要的时间后,就可以求出货车停车的时刻。
解(50×2-10)÷(60-50)=9(小时)
10+9=19
答:
货车最晚在19时(傍晚7时)停车。
做一做3上午7时,有一列货车以每小时50千米的速度从甲城开往乙城;上午9时又有一列客车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城。
为了行驶安全,列车间的距离应不小于10千米,问货车最晚应在什么时候停车让客车通过?
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】一列火车长150米,以每秒种16米的速度通过一座长1130米的大桥。
从车头上桥到车尾离桥共需多少时间?
分析
可以这样想,火车从车头上桥墩到车尾离开桥共经过的路程是:
150+1130=1280(米)。
用火车行驶的路程除以火车的速度,就是火车从车头上桥到车尾离开所需要的时间。
解(150+1130)÷16=80(秒)
答:
火车从车头上桥到车尾离开桥共需80秒。
做一做4一列火车车身长50米,以每秒16米的速度过一个山洞,用了8秒钟,问山洞长多少米?
【例5】两列火车行驶在同一方向的铁路上。
其中慢车车身长147米,车速为每秒18米;快车车身长201米,车速为每秒24米。
求快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间。
分析要解答本题首先要理解何时是追上,何时是完全超过。
根据题意,画图如下;
假设A是快车车头上一点,B是慢车车尾上一点,两车都从左向右行驶。
上图①表示快车已经追上慢车,但没有超过它(即车头与车尾在同一直线上);上图②表示快车已经超过慢车(即车尾与车头在同一直线上)。
从上图①到上图②的过程就是火车的追及过程。
分析两图中的这一过程,不难发现:
从快车车头追上慢车,到快车车尾离开慢车,快车车头刚好比慢车车头多行两列车的车身长,这就是追及的路程。
追及时间=两车车身长(追及路程)÷两车的速度差。
这就是火车的追及问题的解答方法。
解(147+201)÷(24-18)=58(秒)
答:
快车从后面追上到完全超过慢车需要58秒钟。
做一做5两艘客轮航行在同一航线上。
其中甲客轮全长90米,航速是每小时24千米;乙客轮全长120米,航速是每小时25.8千米。
求乙客轮从后面追上到完全超过甲客轮需要多少时间。
【例6】甲、乙二人练习跑步,如果乙让甲先跑20米,则乙需要跑10秒钟追上甲;如果乙让甲先跑3秒钟,则乙仅用6秒钟就能追上甲。
求甲、乙二人的速度。
分析根据题意,如果乙让甲先跑20米,然后乙出发追甲,这20米就是两人的路程差,乙用10秒钟追上甲是追及时间。
由路程差与追及时间可以求出甲、乙二人间的速度差,即:
20÷10=2(米/秒)。
如果乙让甲先跑3秒钟,则乙需要6秒钟追上甲,在这一追及过程中,追及时间为6秒,因此路程差等于12米。
这12米就是甲先跑3秒钟所跑过的路程,所以可求出甲的速度进而求出乙的速度。
解速度差:
20÷10=2(米/秒)
甲速:
2×6÷3=4(米/秒)
乙速:
4+2=6(米秒)
答:
甲、乙两人的速度分别为4米/秒和6米/秒。
做一做6两名运动员在圆形跑道上练习长跑。
甲每分钟比乙多跑50米。
如果两人同时同地同向出发,则经过45分钟后甲追上乙;如果两人同时同地反向出发,则经过5分钟后可相遇。
求甲、乙两人的速度。
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】上午8:
08小明骑车从家出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追小明,在离家4千米的地方追上了小明,然后爸爸回家,回家后又立即回头去追小明,在离家8千米处又追上了小明。
问这时是几时几分?
分析与解题中有两次追上小明,但路程
差、速度差、追及时间都没有直接告知。
要求几
时几分爸爸第二次追上小明,即是要求出追及时
间。
先根据题意画出线段图(如右图)。
从线段图中可看出,从爸爸第一次追上小明(B处)到第二次次追上小明(C处),小明走了:
8—4=4(千米),而爸爸骑车走了:
4×3=12(千米)。
爸爸骑车共行了16千米,所以,爸爸在同一时间(即8:
08到第二次相遇C处)应骑车行3×8千米,但爸爸实际只行了(4+12=)16(千米),这相差的(24-16=)8千米是由于爸爸少骑了8分钟所造成的,所以,爸爸的速度是:
(24-16)÷8=1(千米/分钟)
爸爸骑车行16千米用了16分钟,因而从8点算起,
8+8+16=32(分钟)
答:
爸爸第二次追上小明时是8:
32。
做一做7早晨,小明背着书包去上学,走后不久,妈妈发现小明的铅盒忘在家里,立即去追小明,将铅笔盒交给小明后立即返回。
小明接到铅笔盒后经过10分钟到达学校,同时妈妈也正好返回到家中。
已知妈妈的速度是小明速度的2倍,那么小明从家里出来分钟的时候,妈妈才出发追小明。
巧练习——温故知新(二十一)
A级冲刺名校·基础点晴
1.小明步行上学,每分钟行75米。
小明离家12分钟后,爸爸骑自行车去追,每分钟行375米。
问爸爸出发多少分钟后能追上小明?
2.一队自行车运动员以24千米/小时的速度骑车从甲地到乙地。
2小时后一辆摩托车以56千米/小时的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地的中点处追上自行车运动员。
问甲、乙两地相距多远?
3.小明在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步,他散步的速度是2米/秒。
这时从他后面开过来一列炎车,从车头到车尾经过他身旁共用了21秒。
已知火车全长336米,求火车的速度。
4.甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒可追上乙;若乙比甲先跑2秒,则甲跑4秒能追上乙。
问两人每秒各跑多少米?
5.一列队伍长300米,前进的速度为1.5米/秒。
一个通讯员以4.6米/秒的速度从排尾跑到排头,再跑到排尾,问需要多少时间?
B级竞赛培优·更上层楼
6.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去,甲每小时比乙多行6千米,中午12时甲到达西村后立即返回东村,在距西村15千米处遇到乙。
问东、西两村相距多远?
7.一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城。
另有一列快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也从甲城开往乙城。
根据我国铁路部的规定,同向行驶的两列火车之间的距离不能少于8千米。
问:
这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过?
8.两名运动员在圆环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米,两人同时同地同向出发,经过45分钟甲追上乙。
问如果两人同时同地反向出发,经过多少分钟两人相遇?
9.小红于17时离校,以每分钟50米的速度步行回家。
小东于17时15分骑自行车从学校出发追赶小红,结果在离学校1000米处追上小红。
问小东骑自行车的速度是每分钟多少米?
10.圆环形跑道的周长是400米,甲、乙两人同地同时出发,甲按逆时针方向、乙按顺时针方向而行,2分钟后相遇。
如果两人同地同时按顺时针方向出发,10分钟后甲追上乙。
问甲每分钟行多少米?
乙每分钟行多少米?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去,两辆车的速度都是60千米/小时。
8点32分时,第一辆车行驶的路程是第二辆车的3倍。
到了8点39分时,第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍。
问第一辆车是什么时候开出的?
12.在森林里有一对兔子兄弟,弟弟先跑10步,然后哥哥开始追赶,若弟弟每跑4步哥哥跑3步,哥哥跑5步的跑离和弟弟跑7步的距离一样,那么哥哥能追上弟弟么?
如果能,哥哥跑多少步才能追上弟弟?
如果不能,请说明理由。
13.如下图,两辆电动小汽车在周长为360米的圆形跑道上不断行驶,甲车每分钟行驶20米。
甲、乙两车同时分别从相距90米的A,B两点相背而行,相遇后乙车立即返回,甲车不改变方向,当乙车到达B点时,甲车经过B点后恰好又回到A点,此时甲车立即返回(乙车经过B点继续行驶),问再过多少分钟与乙车相遇?
14.甲列车每秒行20米,乙列车每秒行14米,若两列车齐头并进,则甲车行40秒超过乙车;若两列车齐尾并进,则甲车行了30秒超过乙车。
甲列车和乙列车各长多少米?
15.龟兔进行1000米比赛,兔每分钟走40米,龟每分钟爬8米,兔每走5分钟歇25分钟。
问谁先到达终点?
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