版高考数学理科一轮设计第78章教师用书人教A版.docx
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版高考数学理科一轮设计第78章教师用书人教A版
2018版高考数学(理科)一轮设计:
第7~8章教师用书(人教A版)
第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;2会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型;3通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;4会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图知识梳理
1两个实数比较大小的方法
(1)作差法a-b>0⇔a>b,a-b=0⇔a=b,a-b<0⇔a<b;
(2)作商法ab>1⇔a>b(a∈R,b>0),ab=1⇔a=b(a∈R,b>0),ab<1⇔a<b(a∈R,b>0)
2不等式的性质
(1)对称性:
a>b⇔b<a;
(2)传递性:
a>b,b>ͤa>;
(3)可加性:
a>b⇔a+>b+;a>b,>dͤa+≥b+d;
(4)可乘性:
a>b,>0ͤa>b;a>b>0,>d>0ͤa>bd;
()可乘方:
a>b>0ͤan>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方:
a>b>0ͤna>nb(n∈N,n≥2)
3三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4aΔ>0Δ=0Δ<0
二次函数=ax2+bx+(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+=0(a>0)的根有两相异实根
x1,x2(x1<x2)有两相等实根
x1=x2=-b2a
没有实数根
ax2+bx+>0
(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}
x|x≠-b2a
R
ax2+bx+<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅
诊断自测
1判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)a>b⇔a2>b2( )
(2)若不等式ax2+bx+<0的解集为(x1,x2),则必有a>0( )
(3)若方程ax2+bx+=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+>0的解集为R( )
(4)不等式ax2+bx+≤0在R上恒成立的条是a<0且Δ=b2-4a≤0( )
解析
(1)由不等式的性质,a2>b2ͤa>b;反之,=0时,a>bͤ/a2>b2
(3)若方程ax2+bx+=0(a<0)没有实根则不等式ax2+bx+>0的解集为∅
(4)当a=b=0,≤0时,不等式ax2+bx+≤0也在R上恒成立
答案
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2若a>b>0,<d<0,则一定有( )
Aad>bBad<b
a>bdDa<bd
解析 因为<d<0,所以0>1>1d,两边同乘-1,得-1d>-1>0,又a>b>0,故由不等式的性质可知-ad>-b>0两边同乘-1,得ad<b故选B
答案 B
3设集合={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤},则∩N等于( )
A(0,4]B[0,4)
[-1,0)D(-1,0]
解析 ∵={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},
∴∩N=[0,4)
答案 B
4当x>0时,若不等式x2+ax+1≥0恒成立,则a的最小值为( )
A-2B-3
-1D-32
解析 当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,不等式x2+ax+1≥0对任意x>0恒成立,当Δ=a2-4>0,则需a2-4>0,-a2<0,解得a>2,所以使不等式x2+ax+1≥0对任意x>0恒成立的实数a的最小值是-2
答案 A
(必修P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2-(+1)x-=0有两个不相等的实数根,则的取值范围是________
解析 由题意知Δ=[(+1)]2+4>0即2+6+1>0,
解得>-3+22或<-3-22
答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用
【例1】
(1)已知实数a,b,满足b+=6-4a+3a2,-b=4-4a+a2,则a,b,的大小关系是( )
A≥b>aBa>≥b
>b>aDa>>b
(2)若1a<1b<0,给出下列不等式:
①1a+b<1ab;②|a|+b>0;③a-1a>b-1b;④lna2>lnb2其中正确的不等式是( )
A①④B②③①③D②④
解析
(1)∵-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴≥b
又b+=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,
∴b-a=a2-a+1=a-122+34>0,
∴b>a,∴≥b>a
(2)法一 因为1a<1b<0,故可取a=-1,b=-2
显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为lna2=ln(-1)2=0,lnb2=ln(-2)2=ln4>0,所以④错误综上所述,可排除A,B,D
法二 由1a<1b<0,可知b<a<0①中,因为a+b<0,ab>0,所以1a+b<0,1ab>0故有1a+b<1ab,即①正确;
②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;
③中,因为b<a<0,又1a<1b<0,则-1a>-1b>0,
所以a-1a>b-1b,故③正确;
④中,因为b<a<0,根据=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而=lnx在定义域(0,+∞)上为增函数,所以lnb2>lna2,故④错误由以上分析,知①③正确
答案
(1)A
(2)
规律方法
(1)比较大小常用的方法
①作差法;②作商法;③函数的单调性法
(2)判断多个不等式是否成立,常用方法:
一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊法排除
【训练1】
(1)(2017•松滋期中)已知p=a+1a-2,q=12x2-2,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系是( )
Ap≥qBp>q
p<qDp≤q
(2)设a>b>1,<0,给出下列三个结论:
①a>b;②a<b;③lgb(a-)>lga(b-)其中所有的正确结论的序号是( )
A①B①②
②③D①②③
解析
(1)由a>2,故p=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2≥2+2=4,当且仅当a=3时取等号因为x2-2≥-2,所以q=12x2-2≤12-2=4,当且仅当x=0时取等号,所以p≥q
(2)由不等式性质及a>b>1知1a<1b,又<0,所以a>b,①正确;构造函数=x,∵<0,∴=x在(0,+∞)上是减函数,又a>b>1,∴a<b,知②正确;
∵a>b>1,<0,∴a->b->1,
∴lgb(a-)>lga(a-)>lga(b-),知③正确
答案
(1)A
(2)D
考点二 一元二次不等式的解法(多维探究)
命题角度一 不含参数的不等式
【例2-1】求不等式-2x2+x+3<0的解集
解 化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,
解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=32,
∴不等式2x2-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪32,+∞,
即原不等式的解集为(-∞,-1)∪32,+∞
命题角度二 含参数的不等式
【例2-2】解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R)
解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1
②当a>0时,原不等式化为x-2a(x+1)≥0,
解得x≥2a或x≤-1
③当a<0时,原不等式化为x-2a(x+1)≤0
当2a>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤2a;
当2a=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;
当2a<-1,即-2<a<0,解得2a≤x≤-1
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为x|x≥2a,或x≤-1;
当-2<a<0时,不等式的解集为x2a≤x≤-1;
当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为x|-1≤x≤2a
规律方法 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论:
(1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集
【训练2】
(1)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于( )
A-3B1-1D3
(2)不等式2x2-x<4的解集为________
解析
(1)由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2},
由题意知,-1,2为方程x2+ax+b=0的两根,
由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3
(2)因为4=22且=2x在R上单调递增,
所以2x2-x<4可化为x2-x<2,解得-1<x<2,
所以2x2-x<4的解集是{x|-1<x<2}
答案
(1)A
(2){x|-1<x<2}
考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究)
命题角度一 在R上恒成立
【例3-1】若一元二次不等式2x2+x-38<0对一切实数x都成立,则的取值范围为( )
A(-3,0]B[-3,0)[-3,0]D(-3,0)
解析 2x2+x-38<0对一切实数x都成立,
则必有2<0,Δ=2-4×2×-38<0,解之得-3<<0
答案 D
命题角度二 在给定区间上恒成立
【例3-2】设函数f(x)=x2-x-1(≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-+恒成立,则的取值范围是________
解析 要使f(x)<-+在[1,3]上恒成立,
则x2-x+-6<0,
即x-122+34-6<0在x∈[1,3]上恒成立
有以下两种方法:
法一 令g(x)=x-122+34-6,x∈[1,3]
当>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)ax=g(3)=7-6<0
所以<67,则0<<67
当<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)ax=g
(1)=-6<0
所以<6,所以<0
综上所述,的取值范围是|0<<67或<0
法二 因为x2-x+1=x-122+34>0,
又因为(x2-x+1)-6<0,所以<6x2-x+1
因为函数=6x2-x+1=6x-122+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需<67即可
因为≠0,所以的取值范围是
|0<<67或<0
答案 |0<<67或<0
命题角度三 给定参数范围的恒成立问题
【例3-3】已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )
A(-∞,2)∪(3,+∞)B(-∞,1)∪(2,+∞)
(-∞,1)∪(3,+∞)D(1,3)
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,
则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,
所以f(-1)=x2-x+6>0,
且f
(1)=x2-3x+2>0即可,解不等式组x2-x+6>0,x2-3x+2>0,得x<1或x>3
答案
规律方法 恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式求解
(2)一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围
(3)一元二次不等式对于参数∈[a,b]恒成立确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数
【训练3】
(1)若不等式x2-2x+≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )
A[-1,4]B(-∞,-2]∪[,+∞)
(-∞,-1]∪[4,+∞)D[-2,]
(2)已知函数f(x)=x2+x-1,若对于任意x∈[,+1],都有f(x)<0成立,则实数的取值范围是______
解析
(1)由于x2-2x+=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4
(2)二次函数f(x)对于任意x∈[,+1],
都有f(x)<0成立,
则f()=2+2-1<0,f(+1)=(+1)2+(+1)-1<0,
解得-22<<0
答案
(1)A
(2)-22,0[思想方法]
1比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负
2判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单
3“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形
4
(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数
[易错防范]
1对于不等式ax2+bx+>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形
2当Δ<0时,ax2+bx+>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别
3含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x),g(x)的大小关系是( )
Af(x)=g(x)Bf(x)>g(x)
f(x)<g(x)D随x的值变化而变化
解析 f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0ͤf(x)>g(x)
答案 B
2已知下列四个条:
①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出1a<1b成立的有( )
A1个B2个3个D4个
解析 运用倒数性质,由a>b,ab>0可得1a<1b,②、④正确又正数大于负数,①正确,③错误,故选
答案
3(2017•河北省三市联考)若集合A={x|3+2x-x2>0},集合B={x|2x<2},则A∩B等于( )
A(1,3)B(-∞,-1)
(-1,1)D(-3,1)
解析 依题意,可求得A=(-1,3),B=(-∞,1),
∴A∩B=(-1,1)
答案
4若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是( )
A{a|0<a<4}B{a|0≤a<4}
{a|0<a≤4}D{a|0≤a≤4}
解析 由题意知a=0时,满足条
a≠0时,由a>0,Δ=a2-4a≤0,得0<a≤4,所以0≤a≤4
答案 D
已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A(-1,0)B(2,+∞)
(-∞,-1)∪(2,+∞)D不能确定
解析 由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即a2=1,解得a=2
又因为f(x)开口向下,
所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,
所以f(x)in=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,
f(x)>0恒成立,即b2-b-2>0恒成立,
解得b<-1或b>2
答案
二、填空题
6已知函数f(x)=x2+2x,x≥0,-x2+2x,x<0,则不等式f(x)>3的解集为________
解析 由题意知x≥0,x2+2x>3或x<0,-x2+2x>3,解得x>1故原不等式的解集为{x|x>1}
答案 {x|x>1}
7(2016•重庆模拟)若关于x的不等式ax>b的解集为-∞,1,则关于x的不等式ax2+bx-4a>0的解集为________
解析 由已知ax>b的解集为-∞,1,可知a<0,且ba=1,将不等式ax2+bx-4a>0两边同除以a,得x2+bax-4<0,即x2+1x-4<0,解得-1<x<4,故不等式ax2+bx-4a>0的解集为-1,4
答案 -1,4
8不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为________
解析 因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立,
由二次不等式的性质可得,
Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,
解得-8≤λ≤4
答案 [-8,4]
三、解答题
9已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6
(1)解关于a的不等式f
(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值
解
(1)由题意知f
(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-23<a<3+23
所以不等式的解集为{a|3-23<a<3+23}
(2)∵f(x)>b的解集为(-1,3),
∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
∴(-1)+3=a(6-a)3,(-1)×3=-6-b3,解得a=3±3,b=-3
即a的值为3±3,b的值为-3
10某商品每成本价为80元,售价为100元,每天售出100若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加8x成要求售价不能低于成本价
(1)设该商店一天的营业额为,试求与x之间的函数关系式=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围
解
(1)由题意得,=1001-x10•1001+80x
因为售价不能低于成本价,所以1001-x10-80≥0
所以=f(x)=40(10-x)(2+4x),
定义域为x∈[0,2]
(2)由题意得40(10-x)(2+4x)≥10260,
化简得8x2-30x+13≤0解得12≤x≤134
所以x的取值范围是12,2
能力提升题组
(建议用时:
20分钟)
11下面四个条中,使a>b成立的充分而不必要条是( )
Aa>b+1Ba>b-1
a2>b2Da3>b3
解析 A项:
若a>b+1,则必有a>b,反之,当a=2,b=1时,满足a>b,但不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要条;B项:
当a=b=1时,满足a>b-1,反之,由a>b-1不能推出a>b;项:
当a=-2,b=1时,满足a2>b2,但a>b不成立;D项:
a>b是a3>b3的充要条,综上所述答案选A
答案 A
12(2017•湛江调研)已知函数f(x)=ax2+bx+(a≠0),若不等式f(x)<0的解集为x|x<12或x>3,则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是( )
A{x|x<-ln2或x>ln3}B{x|ln2<x<ln3}
{x|x<ln3}D{x|-ln2<x<ln3}
解析 法一 依题意可得f(x)=ax-12(x-3)(a<0),则f(ex)=aex-12(ex-3)(a<0),
由f(ex)=aex-12(ex-3)>0,可得12<ex<3,
解得-ln2<x<ln3,故选D
法二 由题知,f(x)>0的解集为x|12<x<3,
令12<ex<3,得-ln2<x<ln3,故选D
答案 D
13若不等式x2+ax-2>0在区间[1,]上有解,则实数a的取值范围是________
解析 设f(x)=x2+ax-2,由题知:
Δ=a2+8>0,
所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两根,
于是不等式x2+ax-2>0在区间[1,]上有解的充要条是f()>0,即a∈-23,+∞
答案 -23,+∞
14解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R)
解 原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0
(1)当a>0时,原不等式可以化为a(x-2)x-1a<0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)•x-1a<0当0<a<12时,2<1a,则原不等式的解集是x|2<x<1a;
当a=12时,原不等式的解集是∅;
当a>12时,1a<2,则原不等式的解集是x1a<x<2
(2)当a=0时,原不等式为-(x-2)<0,解得x>2,
即原不等式的解集是{x|x>2}
(3)当a<0时,原不等式可以化为a(x-2)x-1a<0,
根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)•x-1a>0,
由于1a<2,故原不等式的解集是x|x<1a或x>2
综上所述,当a<0时,不等式的解集为x|x<1a或x>2;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>2};当0<a<12时,不等式的解集为x|2<x<1a;当a=12时,不等式的解集为∅;当a>12时,不等式的解集为x|1a<x<2
第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
最新考纲 1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;2了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决
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