线性系统的稳态误差.docx
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线性系统的稳态误差
3.6线性系统的稳态误差
一个稳定的系统在典型外作用下经过一段时间后就会进入稳态,控制系统的稳态精度是其重要的技术指标。
稳态误差必须在允许范围之内,控制系统才有使用价值。
例如,工业加热炉的炉温误差超过限度就会影响产品质量,轧钢机的辊距误差超过限度就轧不出合格的钢材,导弹的跟踪误差若超过允许的限度就不能用于实战,等等。
控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量,是系统的稳态性能指标。
由于系统自身的结构参数、外作用的类型(控制量或扰动量)以及外作用的形式(阶跃、斜坡或加速度等)不同,控制系统的稳态输出不可能在任意情况下都与输入量(希望的输出)一致,因而会产生原理性稳态误差。
此外,系统中存在的不灵敏区、间隙、零漂等非线性因素也会造成附加的稳态误差。
控制系统设计的任务之一,就是尽量减小系统的稳态误差。
对稳定的系统研究稳态误差才有意义,所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。
通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统;而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
包括计算稳态误差的一般方法,静
本节主要讨论线性系统原理性稳态误差的计算方法,
态误差系数法和动态误差系数法。
3.6.1误差与稳态误差
⑴按输入端定义的误差,即把偏差定义为误差,
3-25)
E(s)R(s)H(s)C(s)
⑵按输出端定义的误差
态误差”或“终值误差”;另一种是指误差e(t)中的稳态分量es(t),称为“动态误差”。
当
误差随时间趋于无穷时,终值误差不能反映稳态误差随时间的变化规律,具有一定的局限性。
⑶用终值定理求稳态误差
3-28)
esslsim0se(s)R(s)en(s)N(s)
例3-14控制系统结构图如图3-30所示。
已知r(t)n(t)t,求系统的稳态误差。
解控制输入r(t)作用下的误差传递函数
由叠加原理
1Knssssrssn
K
例3-15例3-14中,
A2
若r(t)取A1(t),At,t2,试分别计算系统的稳态误差。
2
系统特征方程
解利用例3-14得出的e(s)表达式,可得
r(t)A1(t)时,
s(Ts1)A
ess1lims0ss1s0s(Ts1)Ks
r(t)At时,
s(Ts1)AA
ess2lims2
ss2s0s(Ts1)Ks2K
A
r(t)At2时,
2
s(Ts1)Aess3lims3s0s(Ts1)Ks3
由例3-14,例3-15可以得出以下结论:
系统的稳态误差与系统自身的结构参数、外作用的类型(控制量,扰动量及其作用点)以及外作用的形式(阶跃、斜坡或加速度)有关。
3.6.3
分析研究典型输入作用下
静态误差系数法
在系统分析中经常遇到计算控制输入作用下稳态误差的问题。
引起的稳态误差与系统结构参数及输入形式的关系,找出其中的规律性,是十分必要的。
设系统结构图如图3-29(a)所示,系统开环传递函数一般可以表示为
传递函数为
定义静态位置误差系数
3-32)
A
essp
ssp1Kp
⑵速度输入时,r(t)At
A
essvlimse(s)R(s)lims2s0s0s2
1G(s)H(s)limsG(s)H(s)
s0
定义静态速度误差系数
Kv
sG(s)H(s)lim
Aessv
Kv
sv1
3-33)
3-34)
A
⑶加速度输入时,r(t)t2
2
essalims
s0
e(s)R(s)lims
As31G(s)H(s)
lims2G(s)H(s)
s0
定义静态加速度误差系数
综合以上讨论可以列出表
3-9
Ka
lims2
s0
K
G(s)H(s)lsim0
v2
s
3-35)
essa
A
Ka
3-36)
系统型别
静态误差系数
阶跃输入r(t)A1(t)
斜坡输入r(t)At
加速度输入r(t)At
2
Kp
Kv
Ka
位置误差Aessess1Kp
速度误差eA速度误差essKv
A加速度误差eAssssKa
0
K
0
0
A
1K
I
K
0
0
A
K
II
K
0
0
A
K
表3-9
典型输入信号作用下的稳态误差
表3-9揭示了控制输入作用下系统稳态误差随系统结构、参数及输入形式变化的规律。
即在输入一定时,增大开环增益K,可以减小稳态误差;增加开环传递函数中的积分环节数,可以消除稳态误差。
此规律可借助于图3-31来理解。
图中所示系统是Ⅱ型的,引入Ts1
环节是为了保证系统稳定。
当系统达到稳态时,
limTs11,Ts1相当于比例环节。
s0
由图3-31容易理解,系统稳态输出中t的最高次数必定与输入的最高次数相同。
阶跃响应稳态时为常值,意味着此时1s环节输入端信号u(t)为零,也说明Ks环节输入端信号(即稳态误差e(t))为零;斜坡响应稳态时为等速信号,意味着u(t)为常值,说明e(t)为
零。
同样可以分析其他典型响应的情形。
可见,系统型别是系统响应达到稳态时,输出跟踪输入信号的一种能力储备。
系统回路中的积分环节越多,系统稳态输出跟踪输入信号的能力似乎越强,但积分环节越多,系统越不容易稳定,所以实际系统Ⅱ型以上的很少。
应用静态误差系数法要注意其适用条件:
系统必须稳定;误差是按输入端定义的;只能用于计算典型输入时的终值误差,并且输入信号不能有其他的前馈通道。
应当理解,稳态误差是位置意义上的误差。
例如,系统的速度误差是系统在速度(斜坡)
而不是输出、输入信号在速度上存
信号作用下,系统稳态输出与输入在相对位置上的误差在误差。
系统闭环传递函数
(aT1)K1
a
K1a0
0aT1
故得
8a
essess1ess2
K1
3.6.4
干扰作用引起的稳态误差分析
态误差与系统结构参数的关系,可以为我们合理设计系统结构,确定参数,提高系统抗干扰能力提供参考。
设系统结构图如图3-33所示。
现分析干扰作用产
当G1(s)G2(s)H(s)1时,有
⑴r(t)作用下系统的误差传递函数为
(s)E(s)s1s2
eR(s)s1s2K1K2K3(Ts1)
系统特征多项式D(s)s1s2K1K2K3TsK1K2K3
K1K2K30
T0
时系统稳定。
当r(t)t22时,系统稳态误差为
lsim0se(s)s13lsim0
1s1s2
2
s2s1s2K1K2K3TsK1K2K3
1
K1K2K3
可见,开环增益和积分环节分布在回路的任何位置,均有效。
对于减小或消除r(t)作用下的稳态误差
⑵n(t)At作用下系统的误差传递函数为
E(s)K2K3s1(Ts1)
en(s)
enN(s)s1s2K1K2K3TsK1K2K3
essnlsim0sen(s)N(s)AK1
可见,只有分布在前向通道的主反馈口到干扰作用点之间的增益和积分环节才对减小或消除干扰作用下的稳态误差有效。
从图3-34中,当r(t)0,n(t)1(t)时,要使稳态误差essn0,系统的稳态输出乃至稳态时积分环节K2s2的输入都必须为零,而主反馈口到干扰作用点之间的积分环节K1s1恰好能够提供一个抵消干扰n(t)的反向常值信号。
若实现这个条件,则可保证
essn0,而其他地方的积分环节起不到这样的作用。
当n(t)t时,积分环节K1s1要提供抵消干扰n(t)的信号,稳态误差只能是常值,K1越大,所需的稳态误差值越小。
而分布在其他地方的增益对减小稳态误差没有作用。
设计系统时应尽量在前向通道的主反馈口到干扰作用点之间提高增益、设置积分环节,这样可以同时减小或消除控制输入和干扰作用下产生的稳态误差。
此外,如果干扰信号可测量,后面介绍的按干扰补偿的顺馈校正方法也可以有效减小干扰作用下的稳态误差。
3.6.5动态误差系数法
用求稳态误差的一般方法和静态误差系数法只能得到系统的终值误差ess,当稳态误差
随时间趋于无穷时,ess反映不出其随时间的变化规律。
对于那些只在有限时间范围内工作的系统,只需要保证在要求的时间内满足精度要求即可。
而用动态误差系数法则可以研究误差的稳态分量随时间变化的规律。
1.动态误差系数
动态误差系数法的思路是:
将系统的误差传递函数e(s)E(s)R(s)在s0处展开成如下的泰勒级数:
1121(l)l
e(s)e(0)11!
e(0)s21!
e(0)s2l1!
(el)(0)sl
定义动态误差系数
1(i)
3-37)
Cii1!
(ei)(0)(i0,1,2,)
2
则有e(s)C0C1sC2s2
2
E(s)e(s)R(s)C0R(s)C1sR(s)C2s2R(s)
es(t)C0r(t)C1r(t)C2r(t)Cir(i)(t)(3-38)
i0
注意,式(3-37)右端是e(s)在复域s0处展开的,这对应时域中t时的特性,所以式(3-38)只包含e(t)中的稳态分量es(t)。
对于适合用静态误差系数法求稳态误差的系统,静态误差系数和动态误差系数之间在一定条件下存在如下关系:
2.动态误差系数的计算方法
求取动态误差系数一般可以用系数比较法和长除法。
下面举例说明。
例3-18两个控制系统,其结构图分别如图3-35(a)(、b)所示,在输入r(t)2tt24作用下,要求系统的稳态误差在4min内不超过6m。
应当选择哪一个系统?
解对图3-35(a)系统,其误差传递函数为
E(s)s(s1)2e(a)(s)2C0C1sC2s
R(s)s2s1
有s2sC0C1sC2s2s2s1
C0(C0C1)s(C0C1C2)s2(C1C2C3)s3
比较系数可得
C00
C0C11
C0C1C21
C00
联立求解得
C11
C20
1211
由输入表达式r(t)2tt2,r(t)2t,r(t),r(t)0,
代入式(3-38)有
es(a)(t)C0r(t)C1r(t)C2r(t)C3r(t)
1102t002t
22
对图3-35(b)系统,其误差传递函数为
2
e(b)(s)R(s)
s(10s1)s10s2
10s2s11s10s2
用长除法可得(注意将分子分母多项式分别写成升幂排列形式)
s9s219s3
19s390s4
得C00,C11,C29,C319,
代入式(3-38),有
es(b)(t)C0r(t)C1r(t)C2r(t)C3r(t)
111
02t906.5t
222
es(a)(t),es(b)(t)曲线如图3-36所示。
可见,图3-35(a)中的系统满足要求。
动态误差系数法一般适用于输入函数具有有限阶导数的情况,
例如,如典型输入或其组
合,t的有限次多项式,等等。
当
r(t)中含有eat项(如
r(t)1(t)2t4e2t)时,
r(t),r(t),中的eat只对应瞬态响应项,故不必考虑。
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