完整几何图形解题方法.docx
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完整几何图形解题方法
几何图形解题方法
在实际生产和生活中,几何形体往往不是以标准的形状出现,而是以比较复杂的组合图形出现,很难直接利用公式计算其面积或体积.如果在保持图形的面积或体积不变的前提下,对图形进行适当的变换,就容易找出计算其面积或体积的方法。
(一)添辅助线法
有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足,很难解答。
如果在图形中添加适当的辅助线,就可能找到解题的途径。
辅助线一般用虚线表示。
*例1求图40-1阴影部分的面积。
(单位:
平方米)(适于三年级程度)
解:
图40-1中,右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米,所以可如图40—2那样添上三条辅助线,把整个长方形分成5等份。
这样图中右边的五个小长方形的面积相等。
同时,左边五个小长方形的面积也相等.左边每个小长方形的面积是:
25÷2=12。
5(平方米)
所以,阴影部分的面积是:
12。
5×3=37.5(平方米)
答略。
*例2如图40—3,一个平行四边形被分成两个部分,它们的面积差是10平方厘米,高是5厘米.求EC的长.(单位:
厘米)(适于五年级程度)
解:
如图40—4,过E点作AB的平行线EF,则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。
所以,△AEF的面积与△ABE的面积相等.
小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。
因为它的高是5厘米,所以,
EC=10÷5=2(厘米)
答:
EC长2厘米。
*例3如图40-5,已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数,求这个四边形的面积.(单位:
厘米)(适于五年级程度)
解:
这是一个不规则的四边形,无法直接计算它的面积。
如图40—6,把AD和BC两条线段分别延长,使它们相交于E点.这样,四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。
在△ABE中,∠A是直角,∠B=45°,所以∠E=45°,即△ABE是等腰直角三角形。
所以AB=AE=7(厘米),则△ABE的面积是:
7×7÷2=24。
5(平方厘米)
在△DCE中,∠DCE是直角,∠E=45°,所以,∠CDE=45°,即△DCE是等腰直角三角形。
所以,CD=CE=3厘米,则△DCE的面积是:
3×3÷2=4。
5(平方厘米)
所以,四边形ABCD的面积是:
24。
5—4.5=20(平方厘米)
答略.
(二)分割法
分割法是在一个复杂的几何图形中,添上一条或几条辅助线,把图形分割成若干个已学过的基本图形,然后分别计算出各图形的面积或体积,再将所得结果相加的解题方法。
例1计算图40-7的面积。
(单位:
厘米)(适于五年级程度)
解:
如图40—8,在图中添上一条辅助线,把图形分割为一个梯形和一个长方形,分别计算出它们的面积,再把两个面积相加。
[2+(8-4)]×(6—4)÷2+4×8
=6+32
=38(平方厘米)
答:
图形的面积是38平方厘米。
例2图40-9中,ABCD是长方形,AB=40厘米,BC=60厘米,E、F、G、H是各边的中点。
求图中阴影部分的面积。
(适于五年级程度)
解:
如图40-10,在图中添加辅助线EG,使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。
先计算出一个三角形的面积,再把它的面积乘以2。
三角形的底是长方形的长,高是长方形的宽的一半。
60×(40÷2)÷2×2
=60×20
=1200(平方厘米)
答:
阴影部分的面积是1200平方厘米。
*例3求图40—11中各组合体的体积.(单位:
厘米)(适于六年级程度)
解:
如图40-12,把各组合体分割为几个基本形体,然后分别求出每个基本形体的体积,再用加法、减法算出各组合体的体积。
(三)割补法
在计算一些不规则的几何图形的面积时,把图形中凸出来的部分割下来,填补到相应的凹陷处,或较适当的位置,使图形组合成一个或几个规则的形状,再计算面积的解题方法叫做割补法.
例1求图40-13阴影部分的面积。
(单位:
厘米)(适于六年级程度)
成了一个梯形如图40-14,这个梯形的面积就是图40—13中的阴影部分的面积.
答:
阴影部分的面积是45平方厘米。
*例2求图40-15中阴影部分的面积。
(单位:
米)(适于六年级程度)
16×16×2=512(平方米)
答:
阴影部分的面积是512平方米。
*例3图40—17中,ABCD是正方形,ED=DA=AF=2厘米。
求图中阴影部分的面积。
(适于六年级程度)
解:
经割补,把图40-17组合成图40—18。
很容易看出,只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积,便得到阴影部分的面积。
答:
图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。
(四)平移法
在看不出几何图形面积的计算方法时,通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离,使图形重新组合成可以看出计算方法的图形,从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法.
例1计算图40—19中阴影部分的周长.(单位:
厘米)(适于六年级程度)
解:
把图40—19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米,图40—19中的阴影部分便转化为图40—20中的正方形。
图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。
5×5=25(平方厘米)
答略。
*例2求图40—21中阴影部分的周长。
(单位:
厘米)(适于三年级程度)
解:
按图40—22箭头指示,把两条横向的线段向上平移到虚线处,再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处,求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40—24的周长和两条竖线长之和的问题了。
(5+4)×2+2×2
=9×2+4
=22(厘米)
答略。
*例3求图40-25S形水泥弯路面的面积。
(单位:
米)(适于三年级程度)
解:
把图40—25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米,使S形水泥路面的两条边重合,图40—25便转化为图40—26,S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。
S形水泥路的面积是:
30×2=60(平方米)
答略。
(五)旋转法
将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度,使图形重新组合成能看出计算方法的形状,从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。
*例1计算图40—27阴影部分的面积。
(单位:
分米)(适于六年级程度)
图40-27便转化为图40—28。
图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积.
答略。
例2图40—29中,小圆的半径是10厘米,中圆的半径是20厘米,大圆的半径是30厘米。
求图中阴影部分的面积。
(适于六年级程度)
解:
把图40—29中的小圆向逆时针方向旋转90度,把中环向顺时针方向旋转90度,图40-29便转化为图40-30。
很明显,图40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。
答略。
*例3计算图40—31的阴影面积.(单位:
厘米)(适于六年级程度)
解:
把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心,顺时针方向旋转180度,与左边的半圆组成一个圆(图40-32)。
此时,两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。
这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米,高等于圆的半径5厘米,三角形的面积可求,接着也就可以求出图中阴影部分的面积了.
答略。
【旋转成定角】例如下面的题目:
“在图4。
23中,半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形,圆内正方形顶点都在圆周上,圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。
问:
“大正方形的面积比小正方形的面积大多少?
”
按一般方法,先求大、小正方形的面积,再求它们的差,显然是有难度的。
若将小正方形围绕圆心旋转45°,使原图变成图4。
24,容易发现,小正方形的面积为大正方形面积的一半。
所以,大正方形面积比小正方形的面积大
(8×2)×(8×2)÷2
=16×16÷2
=128(平方厘米)
又如,如图4.25,求正方形内阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
表面上看,题目也是很难解答的。
但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心,分别按顺时针和逆时针方向旋转90°,就得到了一个由阴影部分组成的半圆(如图4。
26),于是,阴影部分的面积就很容易解答出来了.(解答略)
【开扇式旋转】有些图形相互交错,增加了解答的难度。
若像打开折扇一样,绕着某个定点作“开扇式”旋转,往往会使人顿开茅塞,使问题很快获得解决。
例如,求图4.27的阴影部分的面积(单位:
厘米)。
若采用正方形面积减空白部分面积的求法,
计算量是很大的.由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的,我们不妨把右下部的扇形打开,顺时针方向旋转90°,得到图4。
28;再继续旋转,得到图4.29.在图4.29中,阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。
所以,阴影部分面积是
42×3.14÷2—(4+4)×4×2
=25.12—16
=9。
12(平方厘米)
又如,求图4.30阴影部分的面积(单位:
厘米)。
将这个图从中间剪开,以o为旋转中心,将右半部分按顺时针方向转到左半部下方,便变成了图4。
31.于是,阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。
即
(4÷2)2×3。
14÷2—2×2÷2
=6。
28-2
=4。
28(平方厘米)
(六)扩倍法
扩倍法就是把组合图形扩大几倍后,先求扩大倍数后的面积或体积,然后再求原来的面积或体积。
*例1求图40-33的面积。
(单位:
厘米)(适于三年级程度)
解:
此题用分割法计算比较麻烦,而用扩倍法解答就容易多了.如图40—34那样把图40—33扩大为原来的2倍,就会看出图40-33的面积是:
(30+40)×30÷2=1050(平方厘米)
答略。
例2计算图40-35木块的体积。
(单位:
分米)(适于五年级程度)
解:
在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块,如图40—36。
图40-35木块的体积就是图40—36长方体木块体积的一半儿.
3×10×(3+2)÷2
=150÷2
=75(立方分米)
答略。
(七)缩倍法
缩倍法与扩倍法正好相反,它是先将图形的面积缩小若干倍,计算出面积,再把面积扩大为原来那么大。
例1图40-37中,每个小正方形的面积都是2平方厘米,求图中阴影部分的面积。
(适于五年级程度)
解:
将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍,则每个小正方形的面积都是1平方厘米,边长都是1厘米。
从大长方形面积减去三个空白三角形的面积(即①、②、③三个部分的面积),得阴影部分面积。
3×5—3×3÷2—2×1÷2—5×2÷2
=15-4.5-1-5
=4.5(平方厘米)
把4。
5平方厘米扩大2倍,得阴影部分的实际面积.
4.5×2=9(平方厘米)
答略.
例2图40-38正方形的面积是18平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
(适于六年级程度)
解:
先将正方形面积缩小2倍,18平方厘米被转化为9平方厘米,则正方形的边长是3厘米.
先算出已经缩小的正方形中的阴影面积,然后再把它扩大2倍,就得到题中所求.
答略。
(八)剪拼法
有些几何图形比较抽象,不适于用割补、分割、平移等方法解答。
如果把这类图形剪成若干部分,再重新组合、拼接,就有可能找到解答方法。
*例1计算图40—39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。
(单位:
厘米)(适于六年级程度)
解:
沿各图中的虚线,把各图剪成上、下两部分,再把下半部分翻过来,以它的背面与上半部分的正面拼接,图40-39、图40-40、图40—41便转化为图40—42、图40—43、图40-44的形状。
很容易看出,图40-39的阴影面积等于大圆面积的一半.
图40—40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。
图40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积,加上小圆的面积。
答略。
*例2图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米,求
(1)~(10)各图阴影部分的面积。
(适于六年级程度)
解:
作图40-46,并把图40-46中的
(1)画在一张透明纸上剪成
(2)那样的4个小正方形。
如果画出两个
(1),就可以剪出8个
(2)那样的小正方形。
用
(2)的4个小正方形,可以组合、拼接出图40-45中
(1)~(5)中的任何一个图形.
这时可清楚地看出,图40-45中
(1)~(5)每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中
(1)的阴影部分的面积相等,它们的面积都是:
2×2-3.14×1×1=0。
86(平方厘米)
同理,用8个图40—46中
(2)的小正方形可以组合、拼接出图40-45中(6)~(10)的任何一个图形。
图40-45中(6)~(10)每个图形的阴影面积都是图40-46中
(1)的阴影面积的2倍:
(2×2-3。
14×12)×2=1。
72(平方厘米)
答略
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