八种求数列通项的方法 已知递推公式 求通项公式.docx
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八种求数列通项的方法已知递推公式求通项公式
求数列通项公式方法归纳
一、公式法
例1已知数列{an}满足an^2an-32n,a^2,求数列{an}的通项公式。
an
解:
an1"an32n两边除以2n1,得•二更3,则斗
n-Tn^n+n7^n+
22222
a23
以巴邛为首项,以3为公差的等差数列,
2122
由等差数列的通项公式,
-,故数列{冷}是
22n
得*=1(n-1)3,
22
所以数列{an}的通项公式为
31
=(_n__)2
22
二、累加法
例2已知数列{an}满足a
1二an•2nT,
a1=1,求数列{an}的通项公式。
解:
由an1=an•2n-1得an—a^2n-1贝U
an=(an—an」)(an」—an/)(a3-a2)(a?
—aja1
工[2(n-1)1][2(n-2)1]亠——(221)(211)1
=2[(n-1)(n-2)…
21](n-1)1
(n「1)n
=2(n「1)1
2
二(n「1)(n1)1
2
二n
所以数列{an}的通项公式为an二n2。
例3、在数列{an}中,
ai=3
an1-an
n(nT),求通项公式
an
解:
原递推式可化为:
1
an1=an•—
n
1
nT
11
1
1
a2=比•-,
a3=a2'
—
则12
2
3
1
1
11
a4-a3•—
——
aa
nn-1
3
4....
..n—1n
逐项相加得:
1
an"11-an
n•故
例4已知数列{an}满足
anq=an•231,a^3,求数列{an}的通项公式。
解:
由an1二an23n
1得an_an=23n-1则
所以an=3n■n-1.
例5、已知数列{an}满足an1.=3an・23—1,a^3
,求数列{an}的通项公式。
解:
an3an23n
-1两边除以3n1
贝yan1—亚=
n・1n
333
an
n
n
3
an
n
3
anL
-(-
an丄
an_2).Jn2
n_2)(n_2
33
an3
n_3
3
a2a1a1
厂…C-
333
因此
2(n—1)1
(-
n
3
1
+一
n
3
n_2
3
3n
J
2(n-1)
n-1
-3)
2n
-3
例6.
■2n-1an
,求通项n
n—112n—32
A*=(n—1)
小练:
已知{入}满足印"
an-1_an
n(n7)求{an}的通项公式。
已知
{an}的首项a1=1an:
}1=an2n
)求通项公式。
已知
n
{an}中=3an—an+2
求an。
累乘法类型an1=f(n)an型
解:
已知数列{an}满足an$=2(nT)5"a
n
n,a1
=3,求数列{an}的通项公式。
因为an1=2(n-1)5na..
a^3,所以a.=0,则
a
亠1=2(n•1)5n,故
an
anan丄a3a2
an
日1
an」an工a2a1
工[2(n-11)5n丄][2(n-21)5心]•[2(21)52][2(11)51]3
n_1(n_D:
:
(n_2)…一2山
二2[n(n-1):
32]53
n(n①
n_L2
=3252n!
n(n_J)
所以数列{an}的通项公式为a=32nA52n!
.
•(n-1)an」(n_2),求{a.}的通项
例8已知数列{an}满足ai=1,a^=ai'2a2'3a3''
公式。
解:
因为an=at亠2a2亠3a3亠'亠(n—1)an」(n-2)
所以an1.=a1-2a2-3a^'亠(n-"a.」nan
用②式一①式得an1-an=nan
则an1=(n-1)an(n一2)
故■^丄二n-1(n_2)a
n
所以aan日心
a3
n
anan-2
a2=[n(n-1)八43]a2
a2
n!
a2-
2
由an=at-2a2•3a3亠■亠(n一1)an丄(n_2),取n=2得a2
=at亠2a2,贝Ua2
=31,
又知
a,=1,则a2=1,代入③得
所以,{an}的通项公式为
3n
31
=1
3n
求通项
an
3n1
3n
an丄
32
解:
由条件等式
3n
得,
3n_2
a1
n_1
an
2n_1
练习:
1、已知:
31
nan1
2n十1—
-2)
求数列
{an}的通项。
2、已知2"中,
*_n+2%且a1=2求数列通项公式。
四、待定系数法
例10已知数列{
an.1二can-d(c=o,c=1)型an}满足an2an35n,a^6,求数列
解:
设an1x5n1=2(an•x5n)④
将a.1“a.•35n代入④式,得2a.•35nx5n2a^2<51,等式两边消去
2an,得3•5n•x•5n"=2c•5,两边除以5“,得35^=2x则x=-1代入④式得
an1•~'5=2((3^—5)⑤
n-1
a彳…5
由a.-5=6-5=1=0及⑤式得an-5-0,贝亠—=2,则数列{an-5}是以
an-5
a1一51=1为首项,以2为公比的等比数列,则an-5n=2n」,故an=2n」5n。
例11已知数列{an}满足an^3an52n-4,a^1,求数列{a.}的通项公式。
解:
设an1x2n1•y=3(an■x2ny)⑥
将an.1.=3an•52—4代入⑥式,得
3an+5x:
2n+4+xx2n屮+y=3(an+xx2n+y)
整理得(5-2x)2n•4•y=3x2n-3y。
52x=3x|x=5
令,则,代入⑥式得
4Uy=3yJy=2
an-「52■-.-2=3(an522)⑦
由at521-2=112=1^0及⑦式,
n...an52“1•2
得an-52n•2=0,则亠-3,
an-52n2
故数列{an■52n-2}是以a1-521■2=1■12=13为首项,以3为公比的等比数列,
因此an-52n•2=133n」,贝an=133n」'-52n-2。
例12已知数列{an}满足an1=2an亠3n2亠4n亠5,a1=1,求数列{an}的通项公式。
解:
设an1■x(nT)y(n•1)•z=2(an•xn•yn•z)⑧
将an彳=2an•3n2•4n•5代入⑧式,得
2an•3n2•4n5•x(n-1)2y(n-1)•z=2(an•xn2•yn-z),贝
22
2an-(3-x)n■(2x■y■4)n■(x-y-z■5)=2an2xn-2yn■2z
等式两边消去2an,得(3•x)n2(2xy•4)n(x-y-z5^2xn22yn2z,
|3x=2xx=3
解方程组2xy^2y,贝Uy=dO,代入⑧式,得,,I
xyz5=2zz=18
an1•3(n•1)2-10(n1)•18=2(an•3n2•10n-18)⑨
由a,-312101•18=1•31=32=0及⑨式,得an•3n2•10n•18=0
a1
am3(n1)210(n1)18.2,故数列
2
an川-3n•10nT8
■31210118=131=32为首项,以
2
{an-3n
•10n•18}为以
2为公比的等比数列,因此
an
2n二
•3nT0n•18=322-,
n・4
an=2•・3n•.10n-18。
n-4
13.数列'an'满足an1=2an
an
解:
设%「X=2(anx)
即an*=2an
x,对照原递推式,便有x二-1.
an1-1
2d.
故由an1=2an-1,得an1-1=2(an-1),即an-1,得新数列如J是以
31一1=2一1二1为首项,以2为公比的等比数列。
n1n1
(n=1,2,3…),二an-1=2,即通项an=2+1
练习:
1、已知{an}满足ai=3,an1=2anT求通项公式。
2、已知{%}中,a1=1,an=3anA2(“一2)求an。
分析:
构造辅助数列,anT"(a21),则an二3"-1
[同类变式]
1、已知数列{an}满足儿1=2儿(2n一1),且3i=2,求通项%
分析:
(待定系数),构造数列{anknb}使其为等比数列,
即an++k(n+1)+b=2(an+kn+b),解得k=2,b=1
n
a“—52■■2n-1
求得n
2、已知:
a1=1,n-2时,
n42n-1
,求2"的通项公式。
解:
设
2
1
11
1
an=
=_an1
AnA
——B
2
22
2
'1
--A
=2
2
<
1
1
--A
——B=—1
、2
2
解得
1
an亠An亠B二[an「A(n—1)亠B]
{%-4n6}是以3为首项,
1n1
an—4n6=3•(—)-
2
‘A=-4
B=6.a’一4+6=3
J■■
1
2为公比的等比数列
3
an7T■4n-'6
2_
3、已知数列{an}满足绻1二3"
-1,
比=3,求数列{an}的通项公式。
1
an[:
1
an2
1
J-
解:
an1=3an21两边除以3n1,得3n
n
33
3n
an1an2
n*n—-
贝y333
an
an_1\严门」an_2―)•(_―
an4an」
32
an-3
3」
a2a1a1
9寸笃
3n"
1
+——
32
2(n-1)
1+——+
nn1
33
1
)
32
an
2(n-1)
因此
二—n
3
(1-3n」)
1-3
1
1
3n■—3n
2
2
2n1
——_
3223n
7已知数列乳的前
n项和Sn满足Sn=2an2n
1、
2、
(1)
写出数列的前3项a-SV3;
(2)
求数列L
"•的通项公式
解:
(1)由a
=S1=2a1'2
由ai
'a2—S?
=2a?
+4得
由a1
-a2'a3:
=S3=2a3:
;6
,得ai=-2
a2二—6
得s八14
⑵当
令an
n启2时,有an=Sn—Sn4
=2(an—an_L)+2即an=2an」一2
+九=2(an4+九),则%=2a2+丸,与①比较得,九=_2
-"'an一2*是以a!
-2「-4为首项,以2为公比的等比数列•
二an—2=(/).2n」=—2:
故an=/"十+2
引申题目
已知{an}中3^—1an=2an_L*2
(n-2)求an
在数列{an}中,弘=-1®1=2anM
•3n」
'求通项公式an。
解:
原递推式可化为:
nn_1
an丁…3=2(an•'3)
比较系数得’=-4,①式即是:
入1一4
■3n
n-1-1
则数列{an_43}旦
是一个等比数列,其首项
1A.
a^43八5,公比是
2.
an-43n丄=-5
an=43
2-5
已知数列{an}满足a
1=2an
a1=2
,求数列{an}的通项公式。
解:
an1=2an32两边除以
2n1
,得2
空.2
2n2
an1an3
an
{一}
故数列2n是以2
为首,以
2为公差的等差数列,
由等差数列的通项公式,得
日:
=1+(n_1)3
22,所以数列{an}的通项公式为
31n
an=(n)2
22
a1=1
n-1
4、若数列的递推公式为an"也_23(n'
,则求这个数列的通项公式
a1=3
5、若数列的递推公式为*(二an_23
■1(^\)
则求这个数列的通项公式
n
6、已知数列{an}满足*1=2儿,35,
求数列{an}的通项公式。
解:
设an++x5n+=2(an+x5n)
将an1=2an3代入④式,得2an
-35n
•X*1=2an-2x,等式两边消去
nn-1
2an,得35+x5=2x5
,两边除以
则x=—1,代入④式,
得anG1_5=2(an-5)
-5n1
1
由比-56_5=1丰o及⑤式,
n
得an一5
-0
an
-5n
则数列{an一5"}是以
1
a1一5=1为首项,以2为公比的等比数列,则
nn_1
an-512
,故
n_1n
an=25
类型5、取倒数
例8、已知数列{
an}中,其中a1二1,,且当nA2时,
an
anA
23nJ1,求通项公式4。
an
anA
解:
2弘丄1两边取倒数得:
筈筈」
这说明
n是一个等差数列,
=1
—=1•(n-1)2=2n
-1
首项是弘
公差为2,所以an
an
2an
,即
2n-1
例9、数列
{a
中,且*
an1
2an1,求数列{an}的通项公式.
1
[提示]an1
2an
an
例10、
n
2an1
a1
,求an
解:
an1an
bnd=bn-2n
21_2
=1_22n
=2n
-1
1—2
n
2-1
例11、数列{九}
bn
an
中,
1-an
a1
的通项。
n1
2+an
1a
bn1
an
1+——2n
1
nr
bn
bn-bn丄
bn丄-bn_2
2nA
bn2—bnb
_2
b3-b2
b2
[1
1
-
(一)「
2
bn
1
++'
-3
+
2n
bn
2n
-1
2n
2n
2n
an
n“
2-1
练习:
an
1、在数列{3n}
a1
类型6、取对数法
例12若数列{
中,
=1,an1
an+3
an}中,
a1=3且an1二an(n是正整数)
则它的通项公式是an
lgan1
解由题意知an>0,将a^1二an两边取对数得lg
an+=2lgan即lgan
以数列{lgan}是以lga1=lg3
为首项,
公比为
2的等比设
bn
an
1
bn二bn丄'2n
bn―bn1-
bn.2-bn_3n_2
1
b3—b2亍
2
1
b2-b12
2
[1
1n_1
-()]
2
bn
1
+——+'
3
2
bn
练习:
1、在数列2n}
a1
五、对数变换法
中,
+——
n
2
-1
an
an3
an
例10已知数列{an}满足an23”a;,
解:
因为an^23na:
a^7,所以
an
an
a1
常用对数得lgan5lgan■nlg3lg2
设lgan1x(n-1)y=5(lganxn,y)
n
2-1
=7,求数列
{an}的通项公式。
-0,an10。
在an1=23na:
式两边取
5lga.并整理,得(ig3-x)nxyIg2=5xn5目,则
ig3
1g3+x=5x
i
x亠yTg2=5y
X=
4
ig3ig2y=+
164
代入⑪式,
得igan.1
(n-1)-竺
16
ig2
5(igan
4
ig3ig3
n
416
ig2
匚)⑫
由ig
a1
31Q
16
16
-0及⑫式,
得ig
an
16
ig
则-
ig3
an151)
4
ig3igann
4
ig3
16
ig2
_4_
ig3ig2
164
所以数列{igan—n•竺•里2}是以g7•竺•空「鯉为首项,以5为公比的等
41644164
ig3ig3ig2ig3ig3ig2n.
比数列,贝Uigann•=(ig7■「)5心,因此
41644164
ig3ig3ig2n丄ig3ig3ig2
igan=(ig7)5n-
4164464
111n11
=(ig7■ig34-ig36■ig24)5n-ig34-ig316-ig24
111n11
=[ig(73431624)]5nZ-ig(3431624)
111n11
=ig(73431624)5n^-ig(3431624)
5n5n5n^1
5n_14164
=ig(734324)
n1
5n-4n45….1
5n_1164
=ig(7324)
n1
5n-4n丄5….1
5n丄
则an=731624。
六、迭代法
3(n1)2n
例11已知数列{a.}满足a.1=a.,a1=5,求数列{a.}的通项公式。
3(n1)2n
n,
所以
n1
3n2—
aa„
nn-1
n2n1
P3(n4)2—-3n2—二[an/
32(n」)nW(n1)
=an_2
n32(n2)(Ln1)
3(n三)2-3(nDn2(丄(•上
=[anJ]
3(n3)(n2)(n1)
3(n?
(nDn2------
=anJ
3*2.3:
••…(n/)(.n①n212;沽心7(n卫
二ai
n(n
n
3
二ai
12
-n.!
2.2
i)
又a1=5,所以数列{an}的通项公式为
an
n(n
3"丄“2^
=5o
评注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
n
即先将等式an厂a3(n1)2
两边取常用对数得lgan^3(n•1)2n
卄lganJ1lgan,即卩一lgan
二3(n
n
-1)2,
再由累乘法可推知
lgan*
lgan丄
lganlga3
lganlga2
lga2
lgai
lga’
n1
=lg53一n!
2
n(n丄)
~2~
n1n(n」)
3—n!
2
从而an二52o
七、数学归纳法
例12已知数列{an}满足an1二an
8(n•1)
22‘
(2n1)(2n3)
a1
8
-,求数列{an}的通项公式。
9
解:
由an彳=an
十8(n+1)
22
(2n1)(2n3)
及a1,得
9
a2
=a1
8(1-1)
a3
a4
+
2,2(211)(21-3)
十8(2+1)
22
(221)(223)
t8(3十1)
22
(23■1)(23-3)
82+
925
_24
25
2483
252549
4884
——+
494981
48
49
80
81
由此可猜测an=(2n〔)2T,往下用数学归纳法证明这个结论。
(2n+1)
八、换元法
1.-
例13已知数列{an}满足an1=(1•4an•....1•24an),a^1,求数列{a.}的通项公式。
1
解:
令bnf1-24an,则an—(b:
-1)
24
11
故an1(b:
1-1),代入an1(1-4a^
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