届高考数学一轮复习 第九章 解析几何层级快练58 文.docx
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届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练58文
2019届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练58文
1.双曲线-=1(0 A.6 B.12 C.36D.2 答案 B 解析 c2=36-m2+m2=36,∴c=6.双曲线的焦距为12. 2.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是(0,3),则k的值是( ) A.1B.-1 C.D.- 答案 B 解析 kx2-=1,焦点在y轴上,c=3,解得k=-1. 3.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=( ) A.2B. C.D.1 答案 D 解析 因为双曲线的方程为-=1,所以e2=1+=4,因此a2=1,a=1.选D. 4.(2017·北京西城期末)mn<0是方程+=1表示实轴在x轴上的双曲线的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当mn<0时,分m<0,n>0和m>0,n<0两种情况. ①当m<0,n>0时,方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线;②当m>0,n<0时,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线.因此,当mn<0时,方程+=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线.方程+=1表示实轴在x轴上的双曲线时,m>0,n<0,必定有mn<0.由此可得: mn<0是方程+=1表示实轴在x轴上的双曲线的必要而不充分条件.故选B. 5.(2017·河北邢台摸底)双曲线x2-4y2=-1的渐近线方程为( ) A.x±2y=0B.y±2x=0 C.x±4y=0D.y±4x=0 答案 A 解析 依题意,题中的双曲线即-x2=1,因此其渐近线方程是-x2=0,即x±2y=0,选A. 6.(2018·湖北孝感一中月考)设点P是双曲线-=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是( ) A.y=xB.y=x C.y=2xD.y=4x 答案 C 解析 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,|PF1|=4a.在Rt△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,则b2=4a2,即b=2a,则双曲线-=1的一条渐近线方程为y=2x.故选C. 7.(2018·安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为,且其顶点到其渐近线的距离为,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1或-=1D.-=1或-=1 答案 D 解析 当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).双曲线的离心率为e====,∴=,渐近线方程为y=±x=±x. 由题意,顶点到渐近线的距离为=,解得a=2, ∴b=,∴双曲线的方程为-=1. 当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).双曲线的离心率为e===,∴=,渐近线方程为y=±x=±x,由题意可知: 顶点到渐近线的距离为=,解得a=2,∴b=,∴双曲线的方程为-=1. 综上可知,双曲线的方程为-=1或-=1.故选D. 8.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,)B.(,2) C.(1+,+∞)D.(1,1+) 答案 D 解析 依题意,0<∠AF2F1<,故0 9.已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( ) A.B. C.D. 答案 B 解析 由已知双曲线的离心率为2,得=2. 解得m=3n.又m>0,n>0,∴m>n,即>. 故由椭圆mx2+ny2=1,得+=1. ∴所求椭圆的离心率为e===. 10.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为( ) A.B. C.D. 答案 B 解析 双曲线-=1的渐近线为±=0,焦点A(c,0)到直线bx-ay=0的距离为=c,则c2-a2=c2,得e2=,e=,故选B. 11.(2018·成都市高三二诊)设双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以OF1(O为坐标原点)为直径的圆与PF2相切,则双曲线C的离心率为( ) A.B. C.D. 答案 D 解析 如图,在圆O中,F1F2为直径,P是圆O上一点,所以PF1⊥PF2,设以OF1为直径的圆的圆心为M,且圆M与直线PF2相切于点Q,则M(-,0),MQ⊥PF2,所以PF1∥MQ,所以=,即=,可得|PF1|=,所以|PF2|=+2a,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以+(+2a)2=4c2,即7e2-6e-9=0,解得e=,e=(舍去).故选D. 12.(2018·贵阳市高三检测)双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是( ) A.(1,)B.(,+∞) C.(1,)D.(,+∞) 答案 B 解析 依题意,注意到题中的双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,且“右”区域是不等式组所确定,又点(2,1)在“右”区域内,于是有1<,即>,因此题中的双曲线的离心率e=∈(,+∞),选B. 13.已知曲线方程-=1,若方程表示双曲线,则λ的取值范围是________. 答案 λ<-2或λ>-1 解析 ∵方程-=1表示双曲线,∴(λ+2)(λ+1)>0,解得λ<-2或λ>-1. 14.(2016·北京)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=________;b=________. 答案 1 2 解析 由题意知,渐近线方程为y=-2x,由双曲线的标准方程以及性质可知=2,由c=,c2=a2+b2,可得b=2,a=1. 15.(2015·课标全国Ⅱ,文)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________. 答案 -y2=1 解析 方法一: 因为双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,故点(4,)在直线y=x的下方.设该双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),所以解得故双曲线方程为-y2=1. 方法二: 因为双曲线的渐近线方程为y=±x,故可设双曲线为-y2=λ(λ>0),又双曲线过点(4,),所以-()2=λ,所以λ=1,故双曲线方程为-y2=1. 16.(2018·湖南长沙模拟)P是双曲线C: -y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为________. 答案 2+1 解析 设右焦点为F2,∵|PF1|-|PF2|=2, ∴|PF1|=|PF2|+2,∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+2+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在F2,Q之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为F2到l的距离. 由题意得l的方程为y=±x,F2(,0),F2到l的距离d=1,∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1. 17. 如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=,且△PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程. 答案 -=1 解析 设双曲线的方程为-=1,∴F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|. 即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2=2,∴|PF1|·|PF2|·sin=2. ∴|PF1|·|PF2|=8. ∴4c2=4a2+8,即b2=2. 又∵e==2,∴a2=. ∴所求双曲线方程为-=1. 18.(2018·上海崇明一模)已知点F1,F2为双曲线C: x2-=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°. (1)求双曲线C的方程; (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1,P2,求·的值. 答案 (1)x2-=1 (2) 解析 (1)设F2,M的坐标分别为(,0),(,y0)(y0>0), 因为点M在双曲线C上,所以1+b2-=1,则y0=b2,所以|MF2|=b2. 在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,|MF2|=b2,所以|MF1|=2b2. 由双曲线的定义可知: |MF1|-|MF2|=b2=2,故双曲线C的方程为x2-=1. (2)由条件可知: 两条渐近线分别为l1: x-y=0,l2: x+y=0. 设双曲线C上的点P(x0,y0)两条渐近线的夹角为θ,由题意知cosθ=.则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|=,|PP2|=. 因为P(x0,y0)在双曲线C: x2-=1上,所以2x02-y02=2. 所以·=·cosθ=·=. 1.(2015·广东,理)已知双曲线C: -=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 C 解析 因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5. 因为离心率e==,所以a=4. 又a2+b2=c2,所以b2=9. 故双曲线C的方程为-=1. 2.若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为( ) A.y=±2xB.y=±x C.y=±xD.y=±x 答案 B 解析 由离心率为,可知c=a,∴b=a.∴渐近线方程为y=±x=±x,故选B. 3.(2015·天津,文)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-y2=1D.x2-=1 答案 D 解析 双曲线的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0. 由题意,得解得a2=1,b2=3,从而双曲线的方程为x2-=1. 4.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( ) A.B. C.D.3 答案 B 解析 由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a.又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2.又4|PF1|·|PF2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即9--4=0,则=0,解得=,则双曲线的离心率e==. 5.(2015·广东改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 B 解析 由曲线C的右焦点为F(3,0),知c=3.由离心率e=,知=,则a=2.故b2=c2-a2=9-4=5.所以双曲线C的方程为-=1. 6.(2016·天津)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性,可知四边形ABCD为矩形.双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的方程为x2+y2=4,不妨设交点A在第一象限,由y=x,x2+y2=4得xA=,yA=,故四边形ABCD的面积为4xAyA==2b,解得b2=12,故所求的双曲线方程为-=1,选D. 7.(2017·邯郸调研)已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,c为双曲线的半焦距,定点G(0,c),若双曲线上存在一点P满足|PF|=|PG|,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(,+∞)B.(1,) C.[,+∞)D.(1,) 答案 A 解析 若双曲线上存在点P满足|PF|=|PG|,则必须满足FG的中垂线与双曲线有交点,则P是线段FG中垂线与双曲线的交点,因为直线FG的方程为y=x+c,所以线段FG中垂线的方程为y=-x,又双曲线的渐近线方程为y=±x,则-<-1,即>1,所以e=>,所以双曲线的离心率的取值范围为(,+∞). 8.(2018·辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线M: -=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±2xD.y=±x 答案 C 解析 c2=m2+2m+6=(m+1)2+5≥5,当且仅当m=-1时取等号,此时a2=m2=1,b2=2m+6=4,所以=2,即双曲线的渐近线方程为y=±2x,故选C. 9.(2018·辽宁师大附中期中) 如图,F1,F2是双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点.若直线y=x与双曲线C交于P,Q两点,且四边形PF1QF2为矩形,则双曲线的离心率为( ) A.2+B.2+ C.D. 答案 C 解析 将y=x代入-=1,可得x=±.由矩形的对角线长相等,得·=c,∴2a2b2=(b2-a2)c2,∴2a2(c2-a2)=(c2-2a2)c2,∴2(e2-1)=e4-2e2,∴e4-4e2+2=0,又∵e>1,∴e2=2+,e=.故选C. 10.(2018·河南八市重点高中模拟)已知F1,F2分别是双曲线-=1(b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若∠F1PF2=120°,且△F1PF2的三边长成等差数列,则双曲线的渐近线的斜率是( ) A.±B.± C.±D.± 答案 D 解析 不妨设P点在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n,则由已知得所以c2-9c+14=0,解得c=7或c=2(舍去),由b2=c2-a2得b=3,则双曲线的渐近线的斜率是±,故选D. 11.(2018·天津一中模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l: x+2y+5=0,且双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 A 解析 因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l: x+2y+5=0,且双曲线的一个焦点在直线l上,所以得所以双曲线的方程为-=1. 12.(2018·兰州市高考诊断)已知F1,F2为双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P为双曲线C右支上一点,直线PF1与圆x2+y2=a2相切,且|PF2|=|F1F2|,则双曲线C的离心率为( ) A.B. C.D.2 答案 C 解析 设直线PF1与圆相切于点M,∵|PF2|=|F1F2|,∴△PF1F2为等腰三角形,∴|F1M|=|PF1|,∵在Rt△F1MO(O为坐标原点)中,|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2,∴|F1M|=b=|PF1|①,又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a②,c2=a2+b2③,故由①②③得,e==.故选C. 13.(2018·福建漳州一中期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线右支上存在一点P,使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上,则该双曲线的离心率e的取值范围为( ) A.1 C.e>D.1 答案 B 解析 设点F2(c,0),由于F2关于直线PF1的对称点M恰在y轴上,不妨设M在y轴正半轴上,由对称性可得,|MF1|=|F1F2|=2c,则|MO|==c,则∠MF1F2=60°,∠PF1F2=30°,设直线PF1: y=(x+c),代入双曲线方程,可得(3b2-a2)x2-2ca2x-a2c2-3a2b2=0,则方程有两个异号实数根,则有3b2-a2>0,即有3b2=3c2-3a2>a2,即c>a,则有e=>.故选B. 14.(2016·课标全国Ⅰ)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ) A.(-1,3)B.(-1,) C.(0,3)D.(0,) 答案 A 解析 由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2 15.(2017·济宁模拟) 如图所示,正六边形ABCDEF的两个顶点A,D为双曲线的两个焦点,其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是( ) A.+1B.-1 C.D. 答案 A 解析 令正六边形的边长为m,则有|AD|=2m,|AB|=m,|BD|=m,该双曲线的离心率等于==+1. 16.(2013·全国Ⅰ)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±x 答案 C 解析 ∵e==,∴e2===. ∴a2=4b2,=.∴渐近线方程为y=±x. 17.(2018·山东滕州月考)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于( ) A.B.1 C.2D.4 答案 D 解析 由双曲线-=1,知a=5,由双曲线定义|MF2|-|MF1|=2a=10,得|MF1|=8,∴|NO|=|MF1|=4. 18.(2018·湖南六校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 C 解析 由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径,则半径r==5,故c=5,a2+b2=25,又双曲线的一条渐近线y=x过点(3,4),故3b=4a,可解得b=4,a=3,故选C. 19.(2018·杭州学军中学模拟)过双曲线C1: -=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆C2: x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长FM交双曲线C1于点N.若点M为线段FN的中点,则双曲线C1的离心率为( ) A.B. C.+1D. 答案 A 解析 设双曲线C1的右焦点为F1.根据题意,得|FN|=2b,|F1N|=2a.根据双曲线的定义得|FN|-|F1N|=2a⇒b=2a,则e=. 20.(2018·辽宁五校协作体月考)已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是( ) A.(1,+∞)B.(1,2] C.(1,]D.(1,3] 答案 D 解析 设|PF2|=m(m≥c-a),则根据双曲线的定义,得|PF1|=2a+m. 所以==+4a+m≥8a,当且仅当m=2a时等号成立.所以c-a≤2a,解得e≤3,所以1 21.(2018·湖南衡阳一模)已知双曲线C: -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则△PF1Q的周长为( ) A.4B. C.5D. 答案 D 解析 ∵∴|PF1|+|PF2|=. ∴△PF1Q的周长为2(|PF1|+|PF2|)=,故选D. 22.设双曲线-=1(0 A.2B. C.D. 答案 A 解析 直角三角形斜边为c, 斜边上的高为=c,4ab=c2.
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