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函数的奇偶性与周期性
§2.3 函数的奇偶性与周期性
2014高考会这样考
1.判断函数的奇偶性;2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围;3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用.
复习备考要这样做
1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性;2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题;3.利用函数的性质解决有关问题.
1.奇、偶函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫
做偶函数.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.
2.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
(2)在公共定义域内,
①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
②两个偶函数的和、积都是偶函数;
③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.
3.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何
值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小
正数就叫做f(x)的最小正周期.
[难点正本 疑点清源]
1.函数奇偶性的判断
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2.函数奇偶性的性质
(1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.
(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
1.(课本改编题)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是
________.
答案
解析 由f(x)是偶函数知,f(x)=f(-x),
即ax2+bx=a(-x)2-bx,∴2bx=0,∴b=0.
又f(x)的定义域应关于原点对称,
即(a-1)+2a=0,∴a=,故a+b=.
2.(2011·广东)设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=________.
答案 -9
解析 令g(x)=f(x)-1=x3cosx,
∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cosx=-g(x),
∴g(x)为定义在R上的奇函数.又∵f(a)=11,
∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10.
又g(-a)=f(-a)-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-9.
3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x的取值范围是________.
答案 (-1,0)∪(1,+∞)
解析 画草图,由f(x)为奇函数知:
f(x)>0的x的取值范围为(-
1,0)∪(1,+∞).
4.函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则 ( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数
答案 D
解析 因为f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,
所以f(-x+1)=-f(x+1),
即f(-x)=-f(2+x),f(-x-1)=-f(x-1),
即f(-x)=-f(-2+x),于是f(x+2)=f(x-2),
即f(x)=f(x+4),
所以函数f(x)是周期T=4的周期函数.
所以f(-x-1+4)=-f(x-1+4),
f(-x+3)=-f(x+3),
即f(x+3)是奇函数.
5.(2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f等
于 ( )
A.- B.- C. D.
答案 A
解析 ∵f(x)是周期为2的奇函数,
∴f=f
=f=-f=-2××=-.
题型一 判断函数的奇偶性
例1
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=(x+1);
(3)f(x)=.
思维启迪:
确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,
再验证f(-x)=±f(x)或其等价形式f(-x)±f(x)=0是否成立.
解
(1)由,得x=±3.
∴f(x)的定义域为{-3,3}.
又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0.
即f(x)=±f(-x).
∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
(2)由,得-1 ∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)由,得-2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. ∴f(x)==. ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数. 探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的; (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 下列函数: ①f(x)=+;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+);④f(x)=;⑤f(x) =lg. 其中奇函数的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D 解析 ①f(x)=+的定义域为{-1,1},又f(-x)=±f(x)=0,则f(x)= +既是奇函数,也是偶函数; ②f(x)=x3-x的定义域为R, 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则f(x)=x3-x是奇函数; ③由x+>x+|x|≥0知f(x)=ln(x+)的定义域为R, 又f(-x)=ln(-x+)=ln =-ln(x+)=-f(x), 则f(x)为奇函数; ④f(x)=的定义域为R, 又f(-x)==-=-f(x), 则f(x)为奇函数; ⑤由>0得-1 f(x)=ln的定义域为(-1,1), 又f(-x)=ln=ln-1 =-ln=-f(x), 则f(x)为奇函数,∴奇函数的个数为5. 题型二 函数的奇偶性与周期性 例2 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证: f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2013). 思维启迪: (1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)是周期函数; (2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[-2,0]上的解析式,进而求f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)+f (1)+f (2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. ∴f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2013)=f(0)+f (1)=1. 探究提高 判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且 周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x) =x,则f(105.5)=________. 答案 2.5 解析 由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2] =-=-=f(x). 故函数的周期为4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5. 题型三 函数性质的综合应用 例3 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间. 思维启迪: 可以先确定函数的周期性,求f(π);然后根据函数图象的对称性、周期性画 出函数图象,求图形面积、写单调区间. 解 (1)由f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x), 得: f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即f(1+x)=f(1-x). 故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示. 当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S, 则S=4S△OAB=4×=4. (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z). 探究提高 函数性质的综合问题,可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象,充分 利用已知区间上函数的性质,体现了转化思想. (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增 函数,则 ( ) A.f(-25) B.f(80) C.f(11) D.f(-25) 答案 D 解析 由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递增,又 f(x-4)=-f(x)? f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数f(x)以8为周期,f(-25)=f(-1),f(11) =f(3)=-f(3-4)=f (1), f(80)=f(0),故f(-25) (2)函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是增函数,若f (1)=0,求不等式f[x(x -)]<0的解集. 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数, 且由f (1)=0得f(-1)=0. 若f[x(x-)]<0=f (1), 则 即0 解得 若f[x(x-)]<0=f(-1), 则 由x(x-)<-1,解得x∈? . ∴原不等式的解集是 {x| 1.等价转换要规范 典例: (12分)函数f(x)的定义域D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D.有f(x1·x2)=f(x1) +f(x2). (1)求f (1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. 审题视角 (1)从f (1)联想自变量的值为1,进而想到赋值x1=x2=1. (2)判断f(x)的奇偶性, 就是研究f(x)、f(-x)的关系.从而想到赋值x1=-1,x2=x.即f(-x)=f(-1)+f(x).(3) 就是要出现f(M) 规范解答 解 (1)令x1=x2=1, 有f(1×1)=f (1)+f (1),解得f (1)=0.[2分] (2)f(x)为偶函数,证明如下: [4分] 令x1=x2=-1, 有f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.[7分] (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3.[8分] 由f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).[9分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 解得-≤x<-或- ∴x的取值范围是{x|-≤x<-或- 温馨提醒 数学解题的过程就是一个转换的过程.解题质量的高低,取决于每步等价转 换的规范程度.如果每一步等价转换都是正确的、规范的,那么这个解题过程就一定是 规范的.等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”,“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件.如本例中: ∵f(x)为偶函数,∴不等式(*)等价于f[|(3x+1)(2x- 6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价.如本例: 由于f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)? |(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了. 方法与技巧 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要 先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f(-x)=±f(x)? f(-x)±f(x)=0? = ±1(f(x)≠0). 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也成立.利用这一性质 可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 失误与防范 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间 上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. (时间: 60分钟) A组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2012·广东)下列函数为偶函数的是 ( ) A.y=sinx B.y=x3 C.y=ex D.y=ln 答案 D 解析 由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数,C项为非奇非偶函数,D项为偶函数. 2.(2012·天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为 ( ) A.y=cos2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R且x≠0 C.y=,x∈R D.y=x3+1,x∈R 答案 B 解析 选项A中函数y=cos2x在区间上单调递减,不满足题意; 选项C中的函数为奇函数; 选项D中的函数为非奇非偶函数,故选B. 3.(2011·辽宁)若函数f(x)=为奇函数,则a等于( ) A. B. C. D.1 答案 A 解析 ∵f(-x)=-f(x), ∴=-, ∴(2a-1)x=0,∴a=. 4.(2012·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)等于 ( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 答案 A 解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的函数, ∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1),又∵f(x)在R上是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f (1), 而当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,∴f (1)=2×12=2,∴f(7)=f(-1)=-f (1)=-2,故选A. 二、填空题(每小题5分,共15分) 5.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为________. 答案 -1 解析 因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得 x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1. 6. 设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=______. 答案 -3 解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数,因此f(-x)+f(x)=0.当x=0时,可得f(0)=0, 可得b=-1,此时f(x)=2x+2x-1,因此f (1)=3.又f(-1)=-f (1),所以f(-1)=-3. 7.(2012·江南十校联考)已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f=-f(x),且函数y =f为奇函数,给出以下四个命题: ①函数f(x)是周期函数; ②函数f(x)的图象关于点对称; ③函数f(x)为R上的偶函数; ④函数f(x)为R上的单调函数. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③ 解析 由f(x)=f(x+3)? f(x)为周期函数,且T=3,①为真命题;又y=f关于(0,0) 对称, y=f向左平移个单位得y=f(x)的图象, 则y=f(x)的图象关于点对称,②为真命题; 又y=f为奇函数,∴f=-f,f=-f=-f(-x), ∴f=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f=f(-x),∴f(x)为偶函数,不可能为R上 的单调函数.所以③为真命题,④为假命题. 三、解答题(共25分) 8.(12分)已知函数f(x)=x2+(x≠0). (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f (1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性. 解 (1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数. 当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0), 取x=±1,得f(-1)+f (1)=2≠0; f(-1)-f (1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f (1),f(-1)≠f (1). ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若f (1)=2,即1+a=2,解得a=1, 这时f(x)=x2+. 任取x1,x2∈[2,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)=(x+)- =(x1+x2)(x1-x2)+ =(x1-x2). 由于x1≥2,x2≥2,且x1 ∴x1-x2<0,x1+x2>, 所以f(x1) 故f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. 9.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称. (1)求证: f(x)是周期为4的周期函数; (2)若f(x)=(0 (1)证明 由函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 有f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x). 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数. (2)解 由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=-. 故x∈[-1,0]时,f(x)=-. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=-. 从而,x∈[-5,-4]时,函数f(x)=-. B组 专项能力提升 一、选择题(每小题5分,共15分) 1.(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f (1)等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案 A 解析 ∵f(x)是奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f (1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3. 2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 013)+f(2015)的值为 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.无法计算 答案 C 解析 由题意,得g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在R上的偶函数,
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