广东高考数学理05《平面向量》.docx
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广东高考数学理05《平面向量》
第五章 平面向量
§5.1 平面向量的概念及线性运算
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量的加法、减法运算,并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义;理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
此部分难度不大,但高考中与之结合的考题难度往往不低,对建立在概念基础上的综合运用及创新意识的考查正成为热点.
1.向量的有关概念
(1)向量:
既有____________又有____________的量叫做向量,向量的大小,也就是向量的____________(或称模).的模记作____________.
(2)零向量:
____________的向量叫做零向量,其方向是________的.
(3)单位向量:
长度等于__________________的向量叫做单位向量.是一个与a同向的_________.
-是一个与a________的单位向量.
(4)平行向量:
方向________或________的_______向量叫做平行向量.平行向量又叫_______,任一组平行向量都可以移到同一直线上.
规定:
0与任一向量____________.
(5)相等向量:
长度__________且方向_________的向量叫做相等向量.
(6)相反向量:
长度____________且方向____________的向量叫做相反向量.
(7)向量的表示方法:
用________表示;用____________表示;用________表示.
2.向量的加法和减法
(1)向量的加法
三角形法则:
以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b,则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量就是a与b的________(如图1).
推广:
++…+
=____________.
图1
图2
平行四边形法则:
以同一点A为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱ABCD,则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2).在图2中,==b,因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式.
加法的运算性质:
a+b=____________(交换律);
(a+b)+c=____________(结合律);
a+0=____________=a.
(2)向量的减法
已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=____________,即a-b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图).
3.向量的数乘及其几何意义
(1)定义:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作____________,它的长度与方向规定如下:
①=____________;
②当λ>0时,λa与a的方向____________;
当λ<0时,λa与a的方向____________;
当λ=0时,λa=____________.
(2)运算律:
设λ,μ∈R,则:
①λ(μa)=____________;
②(λ+μ)a=____________;
③λ(a+b)=____________.
4.两个向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得____________.
【自查自纠】
1.
(1)大小 方向 长度
(2)长度为0 任意
(3)1个单位长度 单位向量 方向相反
(4)相同 相反 非零 共线向量 平行
(5)相等 相同 (6)相等 相反
(7)字母 有向线段 坐标
2.
(1)起点 终点 和 对角线 b+a
a+(b+c) 0+a
(2)a-b
3.
(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0
(2)①μ(λa) ②λa+μa ③λa+λb
4.b=λa
如果a,b是两个单位向量,则a与b一定( )
A.相等B.平行
C.方向相同D.长度相等
解:
|a|=|b|=1,故选D.
如图,正六边形ABCDEF中,++=( )
A.0B.C.D.
解:
++=+-=-=,故选D.
()设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )
A.a=-bB.a∥b
C.a=2bD.a∥b且|a|=|b|
解:
由题意=表示与向量a和向量b同向的单位向量相等,故a与b同向共线.故选C.
()在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=_______.
解:
由向量加法的平行四边形法则得+==2,∴λ=2.故填2.
如图,已知∠B=30°,∠AOB=90°,点C在AB上,OC⊥AB,用和来表示向量,则等于__________________.
解:
=+=+=+(-)=+.故填+.
类型一 向量的基本概念
下列五个命题:
①温度有零上和零下之分,所以温度是向量;
②向量a≠b,则a与b的方向必不相同;
③|a|>|b|,则a>b;
④向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线;
⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量.
其中正确的是( )
A.①⑤B.④C.⑤D.②④
解:
温度虽有大小却无方向,故不是向量,①错;a≠b,a与b的方向可以相同,②错;向量的长度可以比较大小,但向量不能比较大小,③错;正方形ABCD中与共线,但A,B,C,D四点不共线,④错;作图易得⑤正确.故选C.
【评析】
(1)与向量相关的概念比较多,为了不致混淆,应牢记各概念的内涵与外延,紧紧抓住各概念的本质;
(2)概念是学习新理论的基础,概念又衍生出公式、定理、性质、新概念甚至新理论体系,因此应重视对概念的学习;(3)课本上给出的概念(定义)都是非常准确、简洁的,熟记这些概念(定义)并逐步熟练应用是学习新知识的好习惯.
给出下列命题:
①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若=,则a=b;
③若=,则ABCD为平行四边形;
④在▱ABCD中,一定有=;
⑤若m=n,n=p,则m=p.
其中不正确的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
解:
两个向量的起点相同,终点相同,则这两个向量相等,但两个相等向量不一定有相同的起点和终点,故①不正确;=,由于a与b方向不确定,所以a,b不一定相等,故②不正确;=,可能有A,B,C,D在一条直线上的情况,所以③不正确,正确的是④⑤.故选B.
类型二 向量的线性运算
如图所示,下列结论正确的是( )
①=a+b;②=-a-b;
③=a-b;④=a+b.
A.①②B.③④C.①③D.②④
解:
由a+b=,知=a+b,①正确;由=a-b,从而②错误;=+b,故=a-b,③正确;=+2b=a+b,④错误.故正确的为①③,故选C.
【评析】向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算,有了向量的线性运算,平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示,为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础.对于用已知向量表示未知向量的问题,找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键,这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握.
()如图,在△ABC中,BD=2DC.若=a,=b,则=( )
A.a+b
B.a-b
C.a+b
D.a-b
解:
∵=2,∴=,又∵=+=a+=a+(b-a)=a+b.故选C.
类型三 向量共线的充要条件及其应用
已知A,B,C是平面内三个不相同的点,O是平面内任意一点,求证:
向量,,的终点A,B,C共线的充要条件是存在实数λ,μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.
证明:
(1)先证必要性.
若,,的终点A,B,C共线,
则∥,
∴存在实数m使得=m,即-=m(-),
∴=-m+(1+m).
令λ=-m,μ=1+m,
则λ+μ=-m+1+m=1,
即存在实数λ,μ,使得=λ+μ,
且λ+μ=1.
(2)再证充分性.
若=λ+μ,且λ+μ=1,
则=λ+(1-λ),
∴-=λ(-),即=λ,
∴∥,又BC与BA有公共点B,
∴A,B,C三点共线.
综合
(1)
(2)可知,原命题成立.
【评析】证明三点A,B,C共线,借助向量,只需证明由这三点A,B,C所组成的向量中有两个向量共线,即证明存在一个实数λ,使=λ.但证明两条直线AB∥CD,除了证明存在一个实数λ,使=λ外,还要说明两直线不重合.注意:
本例的结论可作定理使用.
(1)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )
A.B.C.D.
解:
注意到N,P,B三点共线,因此我们有=m+=m+,从而m+=1⇒m=.故选B.
(2)已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,DB.A,B,C
C.B,C,DD.A,C,D
解:
=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2,∴A,B,D三点共线.
故选A.
(3)()已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为( )
A.-1或3B.
C.-1或4D.3或4
解:
∵向量ma-3b与a+(2-m)b共线,∴ma-3b=λ⇒解得m=-1或m=3.故选A.
1.要准确理解向量的概念,须特别注意以下几点:
(1)a∥b,有a与b方向相同或相反两种情形;
(2)向量的模与数的绝对值有所不同,如|a|=|b|
a=±b;
(3)零向量的方向是任意的,并不是没有,零向量与任意向量平行;
(4)对于任意非零向量a,是与a同向的单位向量,这也是求单位向量的方法;
(5)向量平行,其所在直线不一定平行,两向量还可能在一条直线上;
(6)只要不改变向量a的大小和方向,可以自由平移a,平移后的向量与a相等.
2.向量具有大小和方向两个要素,既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量,因此,在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.
3.平面向量的三种线性运算的结果仍为向量,在三种线性运算中,加法是最基本、最重要的运算,减法运算与数乘运算都以加法运算为基础,都可以归结为加法运算,在学习的时候要注意它们的联系与区别.
4.对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b=λa)中条件“a≠0”的理解:
(1)当a=0时,a与任一向量b都是共线的;
(2)当a=0且b≠0时,b=λa是不成立的,但a与b共线.
因此为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b=λa”的必要不充分条件.而本节例3所讲述的充要条件,其本质与此定理是一致的,只是表达的方式不一样而已,请仔细体会其中联系.
1.下列命题中正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
C.对于任意向量a,b,有|a+b|≥|a-b|
D.对于任意向量a,b,有|a|+|b|≥|a+b|
解:
对于选项A,若b=0,结论不一定成立,A错;对于选项B,模相等方向不一定相同或相反,B错;对于选项C,若非零向量a与b方向相反,则|a+b|<|a-b|,C错;D正确.故选D.
2.如图所示的方格纸中,有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=( )
A.B.C.D.
解:
如图,取点M,由向量加法的平行四边形法则有
+==,故选C.
3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,那么( )
A.=B.=2
C.=D.=2
解:
由D是BC边中点可得:
+=2,故2+2=0,A正确,故选A.
4.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( )
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
解:
连接OD,CD,显然∠BOD=∠CAO=60°,则AC∥OD,且AC=OD,即四边形CAOD为菱形,故=+=a+b,故选D.
5.()设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与( )
A.平行且方向相反B.平行且方向相同
C.互相垂直D.既不平行也不垂直
解:
由题意得=+=+,=+=+,=+=+,则++=-.故选A.
6.△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=a,=b,|a|=1,|b|=2,则=( )
A.a+bB.a+b
C.a+bD.a+b
解:
∵CD为∠ACB的角平分线,∴==,∵=-=a-b,∴==a-b,∴=+=b+a-b=a+b,故选B.
7.如图,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=______.
解:
由B,H,C三点共线,可令=x+(1-x).又M是AH的中点,所以==x+(1-x).又=λ+μ,所以λ+μ=x+(1-x)=.故填.
8.直角三角形ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC内一点,点P满足=+(+),则||=________.
解:
如图,取BC边中点D,连接AD,则(+)=,=+(+)⇒=+⇒-=⇒=,因此||=||=1,
故填1.
9.()如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示和.
解:
=++=-a+b+a=b-a.
=++=-a+(-b)+a=a-b.
10.已知线段AB和AB外一点O,求证:
(1)若M是线段AB的中点,则=(+);
(2)若=t(t∈R),则=(1-t)+t.
证明:
(1)如图甲,由三角形法则可得+=,+=,
图甲
∴+++=2.
∵M是AB的中点,
∴=-=-,
∴+=0.
于是+=2,故=(+).
图乙
(2)如图乙,∵=t,
∴=+
=+t
=+t(-)
=+t-t
=(1-t)+t.
11.如图所示,在△ABC中,E是线段AC的中点,2BD=DC,BE与AD相交于点F,试利用向量证明:
F是线段BE的中点.
证明:
∵A,F,D三点共线,B,F,E三点共线,
∴设=λ,=μ,
则=λ=λ+,又=+=+μ×(+)=+,
因此有解之得μ=.
∴=,即F为线段BE的中点.
设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( )
A.C可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
C.C,D可能同时在线段AB上
D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上
解:
若C,D调和分割点A,B,则=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2.对于选项A,若C是线段AB的中点,则=⇒λ=⇒=0,故A选项错误;同理B选项错误;对于选项C,若C,D同时在线段AB上,则0<λ<1,0<μ<1⇒+>2,C选项错误;对于选项D,若C,D同时在线段AB的延长线上,则λ>1,μ>1⇒+<2,故C,D不可能同时在线段AB的延长线上,D选项正确.故选D.
§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
1.了解平面向量的基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
向量引入坐标表示后,向量的工具性作用得到了质的提升,向量运算代数化,因而在与几何相关的考题中,向量常常作为条件的载体出现;而对于平面向量的基本定理及坐标运算的考查,在近年高考中也常出现,如利用相关性质和定理求与向量坐标有关的未知量等.
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使___________.我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________.
2.向量的夹角
(1)已知两个________向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(如图).
(2)向量夹角θ的范围是_______________.a与b同向时,夹角θ=________;a与b反向时,夹角θ=____________.
(3)如果向量a与b的夹角是____________,我们就说a与b垂直,记作____________.
3.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量,叫做向量的正交分解.
(2)在平面直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.则实数对__________叫做向量a的(直角)坐标,记作a=__________,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,该式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为________.显然,i=,j=,0=.
4.平面向量的坐标运算
(1)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=_____.
(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2),则=_________.
(3)若a=(x,y),则λa=____________.
(4)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要条件是____________________.
※5.线段的分点坐标
设点P是线段P1P2上的一点,且P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y).
当=λ时,
点P的坐标(x,y)=.
特别地:
①当λ=1时,点P为线段P1P2的中点,其坐标为P.
②G(x,y)为△ABC的重心,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则AB中点D的坐标为.再由=2,我们便得到了三角形的重心坐标G(,).
【自查自纠】
1.a=λ1e1+λ2e2 基底
2.
(1)非零
(2)0°≤θ≤180° 0° 180°
(3)90° a⊥b
3.
(1)互相垂直
(2)(x,y) (x,y) (x,y) (1,0) (0,1) (0,0)
4.
(1)(x1±x2,y1±y2)
(2)(x2-x1,y2-y1)
(3)(λx,λy) (4)x1y2-x2y1=0
()已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为( )
A.B.
C.D.
解:
=(3,-4),||=5,=.故选A.
如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么以下表述正确的是( )
A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2是实数
C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内
D.对平面α内的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
解:
依平面向量基本定理,选项B,C,D都错,只有A的表述是正确的,故选A.
已知点A(-1,1),点B(2,y),向量a=(1,2),若∥a,则实数y的值为( )
A.5B.6C.7D.8
解:
=(3,y-1),a=(1,2),∥a,则2×3=1×(y-1),解得y=7,故选C.
()已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2).若向量c与向量ka+b共线,则实数k=________.
解:
ka+b=k(1,3)+(-2,1)=(k-2,3k+1),因为向量c与向量ka+b共线,所以2(k-2)-3(3k+1)=0,解得k=-1.故填-1.
()已知O是坐标原点,A(2,-1),B(-4,8),且+3=0,则向量的坐标是________.
解:
设C(x,y),由题意有(-6,9)+3(x+4,y-8)=(0,0),解得x=-2,y=5,即=(-2,5),故填(-2,5).
类型一 向量共线充要条件的坐标表示
(1)()已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,则实数λ等于( )
A.-2B.-
C.-1D.-
解:
λa+b=(λ+2,2λ),向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,∴(λ+2)×(-2)-2λ×1=0,∴λ=-1,故选C.
(2)()已知向量a=(3,1),b=(1,m),若2a-b与a+3b共线,则m=____________.
解:
2a-b=(5,2-m),a+3b=(6,1+3m),由2a-b与a+3b共线得5(1+3m)-6(2-m)=0,解得m=.故填.
【评析】此类题目在近几年高考中多次出现,既考查了向量的线性运算及向量的坐标表示,又考查了学生对向量共线充要条件的理解及计算能力.解决此类题目,我们只需要牢记向量共线充要条件的坐标表示形式:
a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),a∥b⇔x1y2-x2y1=0即可.
(1)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=( )
A.B.C.1D.2
解:
因为a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),又因为(a+λb)∥c,所以(1+λ)×4-2×3=0,解得λ=.故选B.
(2)设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为________.
解:
由于a与b的方向相反,且b=(2,1),不妨设a=(2m,m),m<0,则由|a|=2可得=2,解得m=-2,故填(-4,-2).
类型二 平面向量基本定理的应用
在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于H,记,分别为a,b,则=( )
A.a-bB.a+b
C.-a+bD.-a-b
解:
设=λ,=μ.
而=+=-b+λ=-b+λ,
=μ=μ.
因此,μ=-b+λ.
由于a,b不共线,因此由平面向量的基本定理有
解之得
故=λ=λ=a+b.故选B.
【评析】①结合平面向量基本定理我们发现,一个平面向量方程相当于两个普通方程.②若e1,e2是平面内的一组基底,则对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2,简单地说,就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示,且表示方式惟一.特别地,当a=0即λ1e1+λ2e2=0时,必有λ1=λ2=0.③此题利用的是“基底方式”,即用a,b作为基底,选择两个参数λ,μ,然后将同一向量作两种表示,由平面向量基本定理知系数对应相等,即可得关于λ,μ的方程组.应注意这种题型及相应的解法,它在近几年各地模拟题中频繁出现.
()向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.
解:
设i,j分别为水平方向和竖直方向上的正方向单位向量,则a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,所以-i-3j=
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