(全国通用版)19版高考数学大一轮复习第八章解析几何第42讲两条直线的位置关系优选学案.doc
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第42讲 两条直线的位置关系
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
2016·全国卷Ⅰ,5
2016·全国卷Ⅱ,4
2015·湖南卷,13
确定两条直线的位置关系,已知两条直线的位置关系求参数,求直线的交点和点到直线的距离,对称问题,过定点的直线系问题.
分值:
3~5分
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔!
!
!
!
__k1=k2__####;
②当不重合的两条直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为!
!
!
!
__平行__####.
(2)两直线平行或重合的充要条件
直线l1:
A1x+B1y+C1=0与直线l2:
A2x+B2y+C2=0平行或重合的充要条件是!
!
!
!
__A1B2-A2B1=0__####.
(3)两条直线垂直
①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2⇔!
!
!
!
__k1k2=-1__####;
②如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则l1与l2的关系为!
!
!
!
__垂直__####.
(4)两直线垂直的充要条件
直线l1:
A1x+B1y+C1=0与直线l2:
A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是!
!
!
!
__A1A2-B1B2=0__####.
2.两条直线的交点
3.三种距离
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
=
!
!
!
!
____####
点P0(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离
d=!
!
!
!
____####
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
d=!
!
!
!
____####
1.思维辨析(在括号内打“√”或“”).
(1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.( × )
(2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × )
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( √ )
(5)若点A,B关于直线l:
y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( √ )
解析
(1)错误.当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合.
(2)错误.应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式,即点P到直线的距离为.
(3)正确.因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,即点到直线的距离.
(4)正确.两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离.
(5)正确.根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB,所以直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.
2.已知l1的倾斜角为45°,l2经过点P(-2,-1),Q(3,m),若l1⊥l2,则实数m=( B )
A.6 B.-6 C.5 D.-5
解析 由已知得k1=1,k2=.
∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,∴1×=-1,即m=-6.
3.点(0,-1)到直线x+2y=3的距离为( B )
A. B. C.5 D.
解析 d==.
4.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是( B )
A.(-a-1,-b-1) B.(-b-1,-a-1)
C.(-a,-b) D.(-b,-a)
解析 设对称点为(x′,y′),则
解得x′=-b-1,y′=-a-1.
5.直线l1:
x-y=0与直线l2:
2x-3y+1=0的交点在直线mx+3y+5=0上,则m的值为( D )
A.3 B.5 C.-5 D.-8
解析 由得l1与l2的交点坐标为(1,1),
所以m+3+5=0,m=-8.
一 两条直线的平行与垂直问题
判断两条直线平行与垂直的注意点
(1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
【例1】已知两条直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0,分别求出满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解析
(1)由已知可得l2的斜率存在,且k2=1-a.
若k2=0,则1-a=0,a=1.
∵l1⊥l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.
又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即a=(矛盾),
∴此种情况不存在,∴k2≠0,即k1,k2都存在.
∵k2=1-a,k1=,l1⊥l2,
∴k1k2=-1,即(1-a)=-1.(*)
又∵l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.(**)
由(*)(**)联立,解得a=2,b=2.
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴直线l1的斜率存在,
k1=k2,即=1-a.①
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1∥l2,
∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,②
联立①②,解得或
∴a=2,b=-2或a=,b=2.
二 两条直线的交点问题
常用的直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).
(3)过直线l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
【例2】求经过直线l1:
3x+2y-1=0和l2:
5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:
3x-5y+6=0的直线l的方程.
解析 解方程组
得l1,l2的交点坐标为(-1,2).
由于l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条,而l过l1,l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1.
故直线l的方程为5x+3y-1=0.
三 距离公式的应用
利用距离公式应注意的问题
(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=,到直线y=b的距离d=.
(2)应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中x,y的系数化为相等.
【例3】已知点P(2,-1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
解析
(1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,
此时直线l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设直线l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
由已知得=2,解得k=.
此时直线l的方程为3x-4y-10=0.
综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.
由l⊥OP,得klkOP=-1,
所以kl=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=.
四 对称问题及其应用
两种对称问题的处理方法
(1)关于中心对称问题的处理方法
①若点M(x1,y1)及点N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称,其主要方法是:
在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;或者求出一个对称点,再利用l1∥l2,由点斜式得到所求的直线方程.
(2)关于轴对称问题的处理方法
①点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:
Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:
一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
【例4】
(1)已知直线l:
x+2y-2=0.
①求直线l1:
y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;
②求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.
(2)光线由点A(-5,)入射到x轴上的点B(-2,0),又反射到y轴上的点M,再经y轴反射,求第二次反射线所在直线l的方程.
解析
(1)①由
解得交点P(2,0).
在l1上取点M(0,-2),
M关于l的对称点设为N(a,b),
则
解得N,∴kl2==7,又直线直l2过点P(2,0),
∴直线l2的方程为7x-y-14=0.
②直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行,所以设所求的直线方程为x+2y+m=0.
在l上取点B(0,1),则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上,∴m=-4,即所求的直线方程为x+2y-4=0.
(2)点A(-5,)关于x轴的对称点A′(-5,-)在反射光线所在的直线BM上,
可知lBM:
y=(x+2),∴M.
又第二次反射线的斜率k=kAB=-,∴第二次反射线所在直线l的方程为y=-x+,
即x+y-2=0.
1.“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的( B )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3等价于=3,解得C=5或C=-25,所以“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的充分不必要条件.故选B.
2.(2018·湖北部分重点中学期中)已知A(4,-3)关于直线l的对称点为B(-2,5),则直线l的方程是( B )
A.3x+4y-7=0 B.3x-4y+1=0
C.4x+3y-7=0 D.3x+4y-1=0
解析 由题意得AB的中点C为(1,1),又A,B两点连线的斜率为kAB==-,所以直线l的斜率为,因此直线l的方程为y-1=(x-1),即3x-4y+1=0.故选B.
3.设不同直线l1:
2x-my-1=0,l2:
(m-1)x-y+1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的( C )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当m=2时,代入两直线方程中,易知两直线平行,即充分性成立.当l1∥l2时,显然m≠0,从而有=m-1,解得m=2或m=-1,但当m=-1时,两直线重合,不合要求,故必要性成立.故选C.
4.已知直线l1与直线l2:
4x-3y+1=0垂直且与圆C:
x2+y2=-2y+3相切,则直线l1的方程是!
!
!
!
__3x+4y+14=0或3x+4y-6=0__####.
解析 圆C的方程为x2+(y+1)2=4,圆心为(0,-1),半径r=2.设直线l1的方程为3x+4y+c=0,则=2,解得c=14或c=-6,即直线l1的方程为3x+4y+14=0或3x+4y-6=0.
易错点 对变量认识不清晰
错因分析:
变量转换后,不能及时将变量由原变量转换为新变量,使解题受阻.
【例1】设点A(1,0),B(2,1),如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点,那么a2+b2的最小值为!
!
!
!
______####.
解析 ∵直线与线段AB有一个公共点,
∴A,B在直线异侧或者其中一点在直线上,
∴(a-1)(2a+b-1)≤0,
∴点(a,b)在如图阴影部分所示的平面区域内.
又a2+b2表示点(a,b)到原点的距离的平方,
∴a2+b2的最小值为原点到直线2a+b-1=0的距离的平方,
即(a2+b2)min=2=.
答案
【跟踪训练1】(2018·山东临沂兰山区期中)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x+3y-1=0的两侧,且a>0,b>0,则ω=a-2b的取值范围是( D )
A. B. C. D.
解析 由题意可知(2a+3b-1)·(2+0-1)<0,则2a+3b<1,所以则点(a,b)在如图阴影部分所示的平面区域内.
所以ω=a-2b在点A处取得最大值,在点B处取得最小值-,因为点A和点B不在点(a,b)可取的范围内,所以ω的取值范围为.故选D.
课时达标 第42讲
[解密考纲]对直线方程与两条直线的位置关系的考查,常以选择题或填空题的形式出现.
一、选择题
1.若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a的值等于( D )
A.1 B.- C.- D.-2
解析 由a×1+2×1=0,得a=-2.故选D.
2.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为( B )
A.0 B.-8 C.2 D.10
解析 kAB==-2,则m=-8.
3.直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( C )
A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x+y-5=0 D.x+2y-5=0
解析 由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为(1,3),直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数.直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线方程是y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.
4.“m=1”是“直线x-y=0和直线x+my=0互相垂直”的( C )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为m=1时,两直线方程分别是x-y=0和x+y=0,两直线的斜率分别是1和-1,所以两直线垂直,所以充分性成立;当直线x-y=0和直线x+my=0互相垂直时,有1×1+(-1)·m=0,所以m=1,所以必要性成立.故选C.
5.若动点A,B分别在直线l1:
x+y-7=0和l2:
x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( A )
A.3 B.2 C.3 D.4
解析 由题意知AB的中点M在到直线l1:
x+y-7=0和l2:
x+y-5=0距离都相等的直线上,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:
x+y+m=0,根据平行线间的距离公式,得=,所以|m+7|=|m+5|,解得m=-6,故l:
x+y-6=0.根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3.
6.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=( C )
A.4 B.6 C. D.
解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的垂直平分线,于是解得
故m+n=.
二、填空题
7.经过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是!
!
!
!
__2x-y+4=0__####.
解析 ∵y′=6x-4,∴y′|x=1=2,
∴所求直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.
8.过点(-1,1)的直线被圆x2+y2-2x-4y-11=0截得的弦长为4,则该直线的方程为!
!
!
!
__x=-1或3x+4y-1=0__####.
解析 圆x2+y2-2x-4y-11=0,即(x-1)2+(y-2)2=16,则圆心为点M(1,2),半径r=4.
由条件知,点(-1,1)在圆内,设过点N(-1,1)的直线为l.
当l的斜率k不存在时,l:
x=-1,则交点A(-1,2-2),B(-1,2+2),满足|AB|=4.
当l的斜率k存在时,设l:
y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,则圆心M(1,2)到直线l的距离d==,
则d2+
(2)2=16,即d2==16-12=4,
解得k=-.
此时,y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或3x+4y-1=0.
9.已知定点A(1,1),B(3,3),动点P在x轴上,则|PA|+|PB|的最小值是!
!
!
!
2 ####.
解析 点A(1,1)关于x轴的对称点为C(1,-1),
则|PA|=|PC|,设BC与x轴的交点为M,
则|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=2.
由三角形两边之和大于第三边知,
当P不与M重合时,|PA|+|PB|=|PC|+|PB|>|BC|,
故当P与M重合时,|PA|+|PB|取得最小值.
三、解答题
10.正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.
解析 点C到直线x+3y-5=0的距离
d==.
设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠-5),则点C到直线x+3y+m=0的距离
d==,解得m=-5(舍去)或m=7,
所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.
设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0,
则点C到直线3x-y+n=0的距离d==,
解得n=-3或n=9,
所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.
综上知正方形的其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y-3=0,3x-y+9=0.
11.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.
解析 依题意知kAC=-2,A(5,1),∴直线AC的方程为2x+y-11=0,
联立直线AC和直线CM的方程,得
∴C(4,3).
设B(x0,y0),AB的中点M为,
代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,
∴∴B(-1,-3),
∴kBC=,∴直线BC的方程为y-3=(x-4),
即6x-5y-9=0.
12.已知直线l1:
x+a2y+1=0和直线l2:
(a2+1)x-by+3=0(a,b∈R).
(1)若l1∥l2,求b的取值范围;
(2)若l1⊥l2,求|ab|的最小值.
解析
(1)因为l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0,
即b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-2+.
因为a2≥0,所以b≤0.
又因为l1与l2不重合,所以a2+1≠3,所以b≠-6.
故b的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0].
(2)因为l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0,
显然a≠0,所以ab=a+,|ab|=≥2,
当且仅当a=±1时等号成立,因此|ab|的最小值为2.
12
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