吉林省长春地区高三二模数学(理)试题Microsoft-Word-文档--.doc
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长春市普通高中2018届高三质量监测
(二)
数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C
7.D 8.C 9.B 10.D 11.B 12.A
简答与提示:
1.【命题意图】本题考查集合的运算.
【试题解析】A.故选A.
2.【命题意图】本题考查复数的分类.
【试题解析】B.故选B.
3.【命题意图】本题考查含有一个量词的命题的否定.
【试题解析】C 由含有一个量词的命题的否定.故选C.
4.【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.
【试题解析】A 由题意知,,所以.故选A.
5.【命题意图】本题主要考查等比数列知识.
【试题解析】C由得,解得,从而. 故选C.
6.【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识.
【试题解析】C 根据可行域,当取时,直线的斜率最大为3.故选 C.
7.【命题意图】本题考查椭圆的定义的应用.
【试题解析】D 由题意知的周长为,面积为,由内切圆的性质可知,其半径为.故选D.
8.【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质.
【试题解析】C 由题意可知,故,.故选C.
9.【命题意图】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用.
【试题解析】B 由直线与曲线围成区域的面积为,从而所求概率为.故选B.
10.【命题意图】本题主要考查三视图问题.
【试题解析】D可在正方体中画出该三棱锥的直观图,进而算出其最长棱长为.故 选D.
11.【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.
【试题解析】B 由双曲线定义可知,从而,双曲线的离心率 取值范围为.故选B.
12.【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识.
【试题解析】A 由题意知,令,的两根一正一负,由的图象可知,,解得.故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.40 14.13 15.16.
简答与提示:
13.【命题意图】本题考查二项展开式系数的算法.
【试题解析】由可知含的项为,因此的系数为40.
14.【命题意图】本题考查程序框图的相关知识.
【试题解析】由输入,代入程序框图计算可得输出的的值为13.
15.【命题意图】本题考查球的相关知识.
【试题解析】设,
则,,代入,
又,即.
16.【命题意图】本题考查数列通项公式的算法.
【试题解析】由题意可知
三、解答题
17.(本小题满分12分)
【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.
【试题解析】
(1),可知,即. (6分)
(2)由角平分线定理可知,,,
在中,,在中,
即,则. (12分)
18.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解,以及分布列的相关知识,同时利用统计学中的决策方案考查学生的数据处理能力.
【试题解析】解:
(1)9个芒果中,质量在和内的分别有6个和3个.
则的可能取值为0,1,2,3.
,,
,
所以的分布列为
0
1
2
3
的数学期望. (6分)
(2)方案A:
方案B:
低于250克:
元
高于或等于250克元
总计元
由,故B方案获利更多,应选B方案. (12分)
19.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题以四棱柱为载体,考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【试题解析】解:
(1)连结,,则由余弦定理可知,
由直棱柱可知,
(6分)
(2)以为原点,以方向为轴,以方向为轴,以方向为轴,
建立坐标系.
(),,,
,,
,,
,又,则,故长为1.(12分)
20.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
【试题解析】
(1)由题意可知,,抛物线的方程为. (4分)
(2)已知点,设直线的方程为:
,,则,,
联立抛物线与直线的方程消去得
可得,,代入可得.
因此可以为定值,且该定值为. (12分)
21.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识,以导数为工具研究函数的方法,考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】
(1),
易知在上为正,
因此在区间上为增函数,
又,
因此,即在区间上恰有一个零点,
由题可知在上恒成立,即在上无零点,
则在上存在唯一零点. (4分)
(2)设的零点为,即.
原不等式可化为,
令,则,
由
(1)可知在上单调递减,
在上单调递增,故只求,
下面分析,
设,则,
可得,即
若,等式左负右正不相等,
若,等式左正右负不相等,
只能.
因此,即求所求. (12分)
22.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】
(1)曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为 ; (5分)
(2)设直线的参数方程为(为参数)
又直线与曲线:
存在两个交点,因此.
联立直线与曲线:
可得
则
联立直线与曲线:
可得
则
即. (10分)
23.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式解法等内容.本小题重点考查化归与转化思想.
【试题解析】
(1)由图像可知:
的解集为. (5分)
(2)图像可知的最小值为1,
由均值不等式可知,
当且仅当时,“”成立,即. (10分)
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