高考数学第一轮基础知识点复习两个基本计数原理.docx
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高考数学第一轮基础知识点复习两个基本计数原理
2012届高考数学第一轮基础知识点复习:
两个基本计数原理
第十编计数原理
§10.1两个基本计数原理
1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有种.答案122.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,则不同的选法有种.答案53.一个乒乓球队里有男队员5人,女队员4人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有种不同的选法.答案204.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有种.答案365.有一项活动需在3名老师,8名男同学和5名女同学中选人参加,
(1)若只需一人参加,有多少种不同的选法?
(2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同的选法?
(3)若只需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同的选法?
解
(1)“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可,共有3+8+5=16种.
(2)“完成这件事”需选2人,老师、学生各1人,分两步进行:
选老师有3种方法,选学生有8+5=13种方法,共有3×13=39种方法.(3)“完成这件事”需选3人,老师、男同学、女同学各一人,可分三步进行,选老师有3种方法,选男同学有8种方法,选女同学有5种方法,共有3×8×5=120种方法.
例1在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
解方法一按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类计数原理知,符合题意的两位数的个数共有:
8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).方法二按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个,所以按分类计数原理共有:
1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:
(1)P可表示平面上多少个不同的点?
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?
(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?
解
(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:
第一步确定a的值,共有6种确定方法;第二步确定b的值,也有6种确定方法.根据分步计数原理,得到平面上的点数是6×6=36.
(2)确定第二象限的点,可分两步完成:
第一步确定a,由于a<0,所以有3种确定方法;第二步确定b,由于b>0,所以有2种确定方法.由分步计数原理,得到第二象限点的个数是3×2=6.(3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个.由
(1)得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.例3(16分)现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
解
(1)分四类:
第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法.所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).4分
(2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长,所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5040(种).8分(3)分六类,每类又分两步,从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法,14分所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).16分1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?
解当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.……当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法.……当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法.2.某体育彩票规定:
从01到36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想先选定吉利号18,然后从01至17中选3个连续的号,从19至29中选2个连续的号,从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下,至少要花多少元钱?
解先分三步选号,再计算总钱数.按号段选号,分成三步.第一步从01至17中选3个连续号,有15种选法;第二步从19至29中选2个连续号,有10种选法;第三步从30至36中选1个号,有7种选法.由分步计数原理可知,满足要求的号共有15×10×7=1050(注),故至少要花1050×2=2100(元).3.某校高中部,高一有6个班,高二有7个班,高三有8个班,学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.
(1)任选1个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法?
(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法?
(3)选2个班的学生参加社会实践,要求这2个班不同年级,有多少种不同的选法?
解
(1)分三类:
第一类从高一年级选1个班,有6种不同方法;第二类从高二年级选一个班,有7种不同方法;第三类从高三年级选1个班,有8种不同方法.由分类计数原理,共有6+7+8=21种不同的选法.
(2)每种选法分三步:
第一步从高一年级选一个班,有6种不同方法;第二步从高二年级选1个班,有7种不同方法;第三步从高三年级选1个班,有8种不同方法.由分步计数原理,共有6×7×8=336种不同的选法.(3)分三类,每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班,有6×7种不同方法;第二类从高一、高三两个年级各选1个班,有6×8种不同方法;第三类从高二、高三年级各选一个班,有7×8种不同的方法,故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.
一、填空题1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有种.答案322.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码,公司规定:
凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡,则这组号码中“优惠卡”共有个.答案59043.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有个.答案84.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.
答案1805.一植物园参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线种数共有种.
答案486.(2008•全国Ⅰ文)将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,则不同的填写方法共有种.
答案127.在2008年奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案28808.若一个m,n均为非负整数的有序数对(m,n),在做m+n的加法时各位均不会进位,则称(m,n)为“简单的”有序数对,m+n称为有序数对(m,n)的值,那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是.答案300二、解答题9.
(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法?
(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果?
解
(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,四个都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有:
3×3×3×3=81种报名方法.
(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能有一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人,有4种可能的情况,于是共有:
4×4×4=43=64种可能的情况.10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法?
解完成该件事可分步进行.涂区域1,有5种颜色可选.涂区域2,有4种颜色可选.涂区域3,可先分类:
若区域3的颜色与2相同,则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同,则区域3有3种颜色可选,此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×(1×4+3×3)=260种涂色方法.11.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.解按点P的坐标a将其分为6类:
(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;
(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;(3)若a=3,则b=5或6或4,有3个点;(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;∴共有2+2+3+3+5+5=20(个)点.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种?
解设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物,不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理,如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法,由分步计数原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14(种).同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种).
§10.2排列与组合
1.从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有个.答案542.(2008•福建理)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案共有种.答案143.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后,恰有3个空车位连在一起的排法有种.(用式子表示)答案A4.在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法种数是(用式子表示).答案-5.(2007•天津理)如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种(用数字作答).答案390例1六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端.解
(1)方法一要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有A种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法,根据分步计数原理,共有站法:
A•A=480(种).方法二由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有A种站法,然后中间4人有A种站法,根据分步计数原理,共有站法:
A•A=480(种).方法三若对甲没有限制条件共有A种站法,甲在两端共有2A种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:
A-2A=480(种).
(2)方法一先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,和其余4人进行全排列有A种站法,再把甲、乙进行全排列,有A种站法,根据分步计数原理,共有A•A=240(种)站法.方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列,有A种站法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入,有A种方法,最后让甲、乙全排列,有A种方法,共有A•A•A=240(种).(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有A种站法;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中,有A种站法,故共有站法为A•A=480(种).也可用“间接法”,6个人全排列有A种站法,由
(2)知甲、乙相邻有A•A=240种站法,所以不相邻的站法有A-A•A=720-240=480(种).(4)方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列,有A种,然后将甲、乙按条件插入站队,有3A种,故共有A•(3A)=144(种)站法.方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有A种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A种方法,最后对甲、乙进行排列,有A种方法,故共有A•A•A=144(种)站法.(5)方法一首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有A种,再让其他4人在中间位置作全排列,有A种,根据分步计数原理,共有A•A=48(种)站法.方法二首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有A种站法,然后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有A种站法,由分步计数原理共有A•A=48(种)站法.(6)方法一甲在左端的站法有A种,乙在右端的站法有A种,且甲在左端而乙在右端的站法有A种,共有A-2A+A=504(种)站法.方法二以元素甲分类可分为两类:
①甲站右端有A种站法,②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有A•A•A种,故共有A+A•A•A=504(种)站法.例2(16分)男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.解
(1)第一步:
选3名男运动员,有C种选法.第二步:
选2名女运动员,有C种选法.共有C•C=120种选法.4分
(2)方法一至少1名女运动员包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类计数原理可得总选法数为CC+CC+CC+CC=246种.8分方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C种选法,其中全是男运动员的选法有C种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C-C=246种.8分(3)方法一可分类求解:
“只有男队长”的选法为C;“只有女队长”的选法为C;“男、女队长都入选”的选法为C;所以共有2C+C=196种选法.12分方法二间接法:
从10人中任选5人有C种选法.其中不选队长的方法有C种.所以“至少1名队长”的选法为C-C=196种.12分(4)当有女队长时,其他人任意选,共有C种选法.不选女队长时,必选男队长,共有C种选法.其中不含女运动员的选法有C种,所以不选女队长时的选法共有C-C种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C+C-C=191种.16分例34个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.
(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?
(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?
解
(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?
”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步计数原理,共有CCC×A=144种.
(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C种方法.4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有CCA种方法;第二类有序均匀分组有•A种方法.故共有C(CCA+•A)=84种.
1.用0、1、2、3、4、5这六个数字,可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数:
(1)奇数;
(2)偶数;(3)大于3125的数.解
(1)先排个位,再排首位,共有A•A•A=144(个).
(2)以0结尾的四位偶数有A个,以2或4结尾的四位偶数有A•A•A个,则共有A+A•A•A=156(个).(3)要比3125大,4、5作千位时有2A个,3作千位,2、4、5作百位时有3A个,3作千位,1作百位时有2A个,所以共有2A+3A+2A=162(个).2.某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?
(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?
(3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?
解
(1)只需从其他18人中选3人即可,共有C=816(种).
(2)只需从其他18人中选5人即可,共有C=8568(种).(3)分两类:
甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有CC+C=6936(种).(4)方法一(直接法)至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类:
一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,所以共有CC+CC+CC+CC=14656(种).方法二(间接法)由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C-(C+C)=14656(种).3.有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?
(1)分成1本、2本、3本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本,一人3本;(3)分成每组都是2本的三组;(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.解
(1)分三步:
先选一本有C种选法;再从余下的5本中选2本有C种选法;对于余下的三本全选有C种选法,由分步计数原理知有CCC=60种选法.
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在
(1)的基础上,还应考虑再分配的问题,因此共有CCCA=360种选法.(3)先分三步,则应是CCC种选法,但是这里面出现了重复,不妨记六本书为A、B、C、D、E、F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则CCC种分法中还有(AB、EF、CD),(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A种情况,而且这A种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分法有=15种.(4)在问题(3)的工作基础上再分配,故分配方式有•A=CCC=90种.
一、填空题1.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有个.答案362.将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子里,每个盒子内放一个球,若恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同投放方法共有种.答案103.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有种.答案9604.在图中,“构建和谐社会,创美好未来”,从上往下读(不能跳读),共有种不同的读法.答案2525.(2008•天津理)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有种.答案12486.(2008•安徽理)12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是(用式子表示).答案CA7.平面内有四个点,平面内有五个点,从这九个点中任取三个,最多可确定个平面,任取四点,最多可确定个四面体.(用数字作答)答案721208.(2008•浙江理,16)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻.这样的六位数的个数是.(用数字作答)答案40二、解答题9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,求该外商不同的投资方案有多少种?
解可先分组再分配,据题意分两类,一类:
先将3个项目分成两组,一组有1个项目,另一组有2个项目,然后再分配给4个城市中的2个,共有CA种方案;另一类1个城市1个项目,即把3个元素排在4个不同位置中的3个,共有A种方案.由分类计数原理可知共有CA+A=60种方案.10.课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?
(1)只有一名女生;
(2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选.解
(1)一名女生,四名男生,故共有C•C=350(种).
(2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有C•C=165(种).(3)至少有一名队长含有两类:
有一名队长和两名队长.故共有:
C•C+C•C=825(种).或采用间接法:
C-C=825(种).(4)至多有两名女生含有三类:
有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为C•C+C•C+C=966(种).11.已知平面∥,在内有4个点,在内有6个点.
(1)过这10个点中的3点作一平面,最多可作多少个不同平面?
(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?
解
(1)所作出的平面有三类:
①内1点,内2点确定的平面,有C•C个;②内2点,内1点确定的平面,有C•C个;③,本身.∴所作的平面最多有C•C+C•C+2=98(个).
(2)所作的三棱锥有三类:
①内1点,内3点确定的三棱锥,有C•C个;②内2点,内2点确定的三棱锥,有C•C个;内3点,内1点确定的三棱锥,有C•C个.∴最多可作出的三棱锥有:
C•C+C•C+C•C=194(个).(3)∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,且平面∥,∴体积不相同的三棱锥最多有C+C+C•C=114(个).12.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,共有多少种不同
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