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导数的几何意义
1.1.3 导数的几何意义
[学习目标] 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义,会用定义法求简单函数的导函数.
知识点一 曲线的切线
如图所示,当点Pn沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
(1)曲线y=f(x)在某点处的切线与该点的位置有关;
(2)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.
思考 有同学认为曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f(x)只有一个交点,你认为正确吗?
答案 不正确.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.
知识点二 导数的几何意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率.
思考
(1)曲线的割线与切线有什么关系?
(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系?
答案
(1)曲线的切线是由割线绕一点转动,当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.
(2)函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且在该点处的导数就是该切线的斜率.
函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,如f(x)=在x=0处有切线,但不可导.
知识点三 导函数的概念
对于函数y=f(x),当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,这样,当x变化时,f′(x)便是关于x的一个函数,称它为函数y=f(x)的导函数,简称导数,也可记作y′,即f′(x)=y′==.
函数y=f(x)在x=x0处的导数y′|
就是函数y=f(x)在开区间(a,b)(x∈(a,b))上的导数f′(x)在x=x0处的函数值,即y′|
=f′(x0),所以函数y=f(x)在x=x0处的导数也记作f′(x0).
思考 如何正确理解“函数f(x)在x=x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系?
答案 “函数y=f(x)在x=x0处的导数”是一个数值,是针对x0而言的,与给定的函数及x0的位置有关,而与Δx无关;“导函数”简称为“导数”,是一个函数,导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,而与x,Δx无关.
题型一 求曲线的切线方程
1.求曲线在某点处的切线方程
例1 求曲线y=f(x)=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程.
解 因为点(1,3)在曲线上,过点(1,3)的切线的斜率为f′
(1)=
=
=[(Δx)2+3Δx+2]
=2,
故所求切线方程为y-3=2(x-1),
即2x-y+1=0.
反思与感悟 若求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程,其切线只有一条,点P(x0,y0)在曲线y=f(x)上,且是切点,其切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
跟踪训练1
(1)曲线f(x)=x3-x2+5在x=1处切线的倾斜角为.
(2)曲线y=f(x)=x3在点P处切线斜率为3,则点P的坐标为.
答案
(1)π
(2)(-1,-1)或(1,1)
解析
(1)设切线的倾斜角为α,则
tanα=
=
=
=
=[(Δx)2-1]=-1.
∵α∈[0,π),
∴α=π.
∴切线的倾斜角为π.
(2)设点P的坐标为(x0,x),则有
=
=[3x+3x0Δx+(Δx)2]
=3x.
∴3x=3,解得x0=±1.
∴点P的坐标是(1,1)或(-1,-1).
2.求曲线过某点的切线方程
例2 求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程.
解 y′=
=
=[2-3x2-3xΔx-(Δx)2]=2-3x2.
设切点的坐标为(x0,2x0-x),
∴切线方程为y-2x0+x=(2-3x)(x-x0).
又∵切线过点(-1,-2),
∴-2-2x0+x=(2-3x)(-1-x0),
即2x+3x=0,
∴x0=0或x0=-.
∴切点的坐标为(0,0)或(-,).
当切点为(0,0)时,切线斜率为2,切线方程为y=2x;当切点为(-,)时,切线斜率为-,切线方程为y+2=-(x+1),即19x+4y+27=0.
综上可知,过点(-1,-2)且与曲线相切的直线方程为y=2x或19x+4y+27=0.
反思与感悟 若题中所给点(x0,y0)不在曲线上,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
跟踪训练2 求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
解 由题意知y′===2x.
设所求切线的切点为A(x0,y0).
∵点A在曲线y=x2上,
∴y0=x.
又∵A是切点,
∴过点A的切线的斜率y′|
=2x0.
∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,
∴其斜率为=.
∴2x0=,
解得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),
即2x-y-1=0和10x-y-25=0.
题型二 求导函数
例3 求函数f(x)=的导函数.
解 ∵Δy=f(x+Δx)-f(x)
=-
=,
∴=,
∴f′(x)=
=
=.
反思与感悟 求解f′(x)时,结合导数的定义,首先计算Δy=f(x+Δx)-f(x).然后,再求解,最后得到f′(x)=.
跟踪训练3 已知函数f(x)=x2-1,求f′(x)及f′(-1).
解 因Δy=f(x+Δx)-f(x)
=(x+Δx)2-1-(x2-1)
=2Δx·x+(Δx)2,
故==2x,
得f′(x)=2x,f′(-1)=-2.
题型三 导数几何意义的综合应用
例4 设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
解 ∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)3+a(x+Δx)2-9(x+Δx)-1-(x3+ax2-9x-1)=(3x2+2ax-9)Δx+(3x+a)(Δx)2+(Δx)3,
∴=3x2+2ax-9+(3x+a)Δx+(Δx)2,
∴f′(x)==3x2+2ax-9=3(x+)2-9-≥-9-.
由题意知f′(x)最小值是-12,
∴-9-=-12,a2=9,
∵a<0,
∴a=-3.
反思与感悟 与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线的方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.
跟踪训练4
(1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示,记k1=f′
(1),k2=f′
(2),k3=f
(2)-f
(1),则k1,k2,k3之间的大小关系为.(请用“>”连接)
(2)曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.
答案
(1)k1>k3>k2
(2)
解析
(1)结合导数的几何意义知,k1就是曲线在点A处切线的斜率,k2则为在点B处切线的斜率,而k3则为割线AB的斜率,由图易知它们的大小关系.
(2)联立解得
故交点坐标为(1,1).
曲线y=在点(1,1)处切线方程为l1:
x+y-2=0,
曲线y=x2在点(1,1)处切线方程为l2:
2x-y-1=0.
两切线在x轴上的截距分别为2,,
从而得S=××1=.
因对“在某点处”“过某点”分不清致误
例5 已知曲线y=f(x)=x3上一点Q(1,1),求过点Q的切线方程.
错解 因y′=3x2,f′
(1)=3.
故切线方程为3x-y-2=0.
错因分析 上述求解过程中,忽略了当点Q不是切点这一情形,导致漏解.
正解 当Q(1,1)为切点时,
可求得切线方程为y=3x-2.
当Q(1,1)不是切点时,设切点为P(x0,x),
则由导数的定义,在x=x0处,y′=3x,
所以切线方程为y-x=3x(x-x0),
将点(1,1)代入,得1-x=3x(1-x0),
即2x-3x+1=0,
所以(x0-1)2·(2x0+1)=0,
所以x0=-,或x0=1(舍),
故切点为,
故切线方程为y=x+.
综上,所求切线的方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
防范措施 解题前,养成认真审题的习惯,其次,弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”,点Q(1,1)尽管在所给曲线上,但它可能是切点,也可能不是切点.
1.下列说法中正确的是( )
A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线
B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线
C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点
D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点
答案 D
解析 y=sinx,x∈R在点(,1)处的切线与y=sinx有无数个公共点.
2.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为( )
A.4B.16C.8D.2
答案 C
解析 f′
(2)=
==(8+2Δx)=8,即k=8.
3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1
答案 A
解析 由题意,知k=y′|x=0
==1,∴a=1.
又(0,b)在切线上,∴b=1,故选A.
4.已知曲线y=x2-2上一点P,则过点P的切线的倾斜角为( )
A.30°B.45°
C.135°D.165°
答案 B
解析 ∵y=x2-2,
∴y′=
=
==x.
∴y′|x=1=1.∴点P处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°.
5.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则P点坐标为.
答案 (3,30)
解析 设点P(x0,2x+4x0),
则f′(x0)=
==4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴P(3,30).
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k==f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f′(x0)是其导函数y=f′(x)在x=x0处的一个函数值.
3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
答案 C
解析 k=f′(x0),所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.
2.已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 答案 B 解析 由导数的几何意义,f′(xA),f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率,由图象可知f′(xA) 3.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( ) A.(0,0)B.(2,4) C.(,)D.(,) 答案 D 解析 ∵y′==(2x+Δx)=2x, ∴令2x=tan=1,得x=.∴y=2=,所求点的坐标为. 4.已知曲线y=x3上一点P(2,),则该曲线在P点处切线的斜率为( ) A.4B.2C.-4D.8 答案 A 解析 因y=x3,得y′===[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=x2, 故y′=x2,y′|x=2=22=4, 结合导数的几何意义知,曲线在P点处切线的斜率为4. 5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( ) A.1B. C.-D.-1 答案 A 解析 ∵y′|x=1= =(2a+aΔx)=2a.∴可令2a=2,∴a=1. 6.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A 解析 易得切点P(5,3),∴f(5)=3,k=-1,即f′(5)=-1.∴f(5)+f′(5)=3-1=2. 二、填空题 7.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f (1))处的切线方程是y=x+2,则f (1)+f′ (1)=. 答案 3 解析 由在点M处的切线方程是y=x+2, 得f (1)=×1+2=,f′ (1)=. ∴f (1)+f′ (1)=+=3. 8.过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是. 答案 2x-y+4=0 解析 曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1= =(3Δx+2)=2. ∴过点P(-1,2)的直线的斜率为2, 由点斜式得y-2=2(x+1), 即2x-y+4=0. ∴所求直线方程为2x-y+4=0. 9.若曲线y=2x2-4x+P与直线y=1相切,则P=. 答案 3 解析 设切点坐标为(x0,1),则f′(x0)=4x0-4=0, ∴x0=1,即切点坐标为(1,1).∴2-4+P=1,即P=3. 10.设P为曲线C: y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为,则点P横坐标的取值范围为. 答案 解析 ∵f′(x)= ==(Δx+2x+2)=2x+2. ∴可设P点横坐标为x0,则曲线C在P点处的切线斜率为2x0+2.由已知得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-,∴点P横坐标的取值范围为. 三、解答题 11.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解 由导数定义可得y′|x=1=2, ∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,设它与两坐标轴的交点分别为A(0,-1),B(,0), ∴S△AOB=|OA||OB|=. 12.已知抛物线y=x2和直线x-y-2=0,求抛物线上一点到该直线的最短距离. 解 方法一 设P(x,x2)为抛物线上任意一点,则点P到直线x-y-2=0的距离为d===2+,所以当x=时,d最小,最小值为. 方法二 由题意设直线x-y+b=0与抛物线y=x2相切,则x2-x-b=0,由Δ=0得b=-,所以直线x-y-=0与x-y-2=0的距离为d===,所以抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为. 方法三 根据题意可知,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x),则y′|x=x0==2x0=1,所以x0=,所以切点坐标为,切点到直线x-y-2=0的距离d==,所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为. 13.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程; (2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积. 解 (1)∵y′= ==2x+1, ∴y′|x=1=3,∴直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3,设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,x+x0-2),则直线l2的方程为y-(x+x0-2)=(2x0+1)(x-x0). ∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-, ∴直线l2的方程为y=-x-. (2)解方程组得 又直线l1,l2与x轴交点坐标分别为(1,0),(-,0), ∴所求三角形面积S=××=.
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