数学分析下册答案0.docx
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数学分析下册答案0.docx
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数学分析下册答案0
数学分析(下册)答案
篇一:
期末考试卷及参考答案
数学分析下册期末模拟试卷及参考答案
一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分)
1、已
知u?
则?
u?
u?
,?
?
y?
x
du?
。
2、设L:
x2?
y2?
a2,则?
?
xdy?
ydx?
。
L
?
x=3cost,L:
3、设?
(0?
t?
2?
),则曲线积分?
(x2+y2)ds=。
?
y=
4、改变累次积分?
dy?
(fx,y)dx的次序为。
2y33
x?
y?
1
,则?
?
1)dxdy。
5、设DD
二、判断题(正确的打“O”;错误的打“×”;每题3分,
共15分)
px0,y0)px0,y0)1、若函数(在点(连续,则函数(点(必存在一fx,y)fx,y)
阶偏导数。
px0,y0)px0,y0)2、若函数(在点(可微,则函数(在点(连续。
fx,y)fx,y)
px0,y0)3、若函数(在点(存在二阶偏导数fxy(x0,y0)和fyx(x0,y0),则fx,y)
?
必有fxy(x0,y0)fyx(0x,0y)。
L(B,A)4、L(A,B)?
f(x,y)dx?
?
f(x,y)dx。
5、若函数(在有界闭区域D上连续,则函数(在D上可积。
fx,y)fx,y)
第1页共5页
三、计算题(每小题9分,共45分)
1、用格林公式计算曲线积分
I?
?
(exsiny?
3y)dx?
(excosy?
3)dy,
?
AO
AO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆x2?
y2?
ax上半部分的路线。
其中?
、计算三重积分
(xV2?
y2)dxdydz,是由抛物面z?
x2?
y2与平面z?
4围成的立体。
第2页共5页
3、计算第一型曲面积分
IdS,
S
其中S是球面x2?
y2?
z2?
R2上被平面z?
a(0?
a?
R)所截下的顶部(z?
a)。
4、计算第二型曲面积分
22Iy(x?
z)dydz?
xdzdx?
(y?
xz)dxdy,
S
其中S是立方体V?
?
0,b0,b0,b?
的外表面。
第3页共5页
5、设D?
(x,y)2?
y2?
R
曲顶柱体的体积。
四、证明题(每小题7分,共14分)
1、验证曲线积分
第4页共5页?
2?
.求以圆域D为底,以曲面z?
e?
(x2?
y2)为顶的
?
(x2?
2yz)d?
x(2y?
2x)z?
dy2(?
z2,x)ydz
L
与路线无关,并求被积表达式的一个原函数u(x,y,z)。
2、证明:
若函数(在有界闭区域D上连续,则存在(?
?
)?
D,fx,y)
使得
参考答案
一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分)
1、xyxy;;dx?
dy。
22222222x?
yx?
yx?
yx?
y
2?
?
f(x,Dy)?
d?
f?
(?
?
)DS,这里SD是区域D的面积。
2、2?
a;3、54?
;4、?
dx?
f(x,y)dy;5
、1)。
223X
二、判断题(正确的打“O”;错误的打“×”;每题3分,共15分)
1、×;2、○;3、×;4、×;5、○.
第5页共5页
篇二:
数学分析:
第12章数项级数
第十二章数项级数
目的与要求:
1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质,掌握等比级数与调和级数的敛散性;2.掌握判别正项级数敛散性的各种方法,包括比较判别法,比式判别法,根式判别法和积分判别法.
重点与难点:
本章重点是数项级数收敛性的定义,基本性质和判别正项级数敛散性的各种方法;难点则是应用柯西收敛准则判别级数的敛散性.
第一节级数的收敛性
一级数的概念
在初等数学中,我们知道:
任意有限个实数u1,u2,?
un相加,其结果仍是一个实数,在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征.如
1111?
2?
3n?
?
从直观上可知,其和为1.2222
又如,1?
(?
1)?
1?
(?
1)?
?
.其和无意义;
若将其改写为:
(1?
1)?
(1?
1)?
(1?
1)?
?
则其和为:
0;
若写为:
1?
[(?
1)?
1]?
[(?
1)?
1]?
?
则和为:
1.(其结果完全不同).问题:
无限多个实数相加是否存在和;
如果存在,和等于什么.
1级数的概念
定义1给定一个数列?
un?
,将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式
u1?
u2?
u3un?
?
(1)
称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中un称为级数
(1)的通项.
级数
(1)简记为:
?
un,或?
un.
n?
1?
2级数的部分和
Sn?
?
uk?
u1?
u2un称之为级数?
un的第n个部分和,简称部分和.
k?
1n?
1n?
3级数的收敛性
定义2若数项级数?
un的部分和数列?
Sn?
收敛于S(即limSn?
S),则称数项级
n?
1n
数?
un收敛,称S为数项级数?
un的和,记作
n?
1n?
1?
?
S?
?
un=u1?
u2?
u3un?
?
.
n?
1?
若部分和数列?
Sn?
发散,则称数项级数?
un发散.
n?
1?
例1试讨论等比级数(几何级数)
?
aqn?
1?
a?
aq?
aq2aqn?
1?
?
,(a?
0)
n?
1?
的收敛性.
解:
见P2.
例2讨论级数11111?
22?
33?
4n(n?
1)
的收敛性.
解:
见P2.
二收敛级数的性质
1级数与数列的联系
由于级数?
un的敛散性是由它的部分和数列?
Sn?
来确定的,因而也可以认为数项级
n?
1?
数?
un是数列?
Sn?
的另一表现形式.反之,对于任意的数列?
an?
,总可视其为数项级数n?
1?
?
u
n?
1?
n?
a1?
(a2?
a1)?
(a3?
a2)(an?
an?
1)?
?
的部分和数列,此时数列?
an?
与级数a1?
(a2?
a1)?
(a3?
a2)(an?
an?
1)?
?
有相同的敛散性,因此,有
2级数收敛的准则
定理1(级数收敛的Cauchy准则)级数
(1)收敛的充要条件是:
任给正数?
,总存在正
整数N,使得当m?
N以及对任意的正整数p,都有um?
1?
um?
2um?
p?
?
.
注:
级数
(1)发散的充要条件是:
存在某个?
0?
0,对任何正整数N,总存在正整数m0(?
N),p0,有um0?
1?
um0?
2um0?
p0?
?
0.
3级数收敛的必要条件
推论(必要条件)若级数
(1)收敛,则
limun?
.n?
?
注:
此条件只是必要的,并非充分的,如下面的例3.
例3讨论调和级数1?
的敛散性.
1?
0,但当令p?
m时,有n?
?
n?
?
n
1111um?
1?
um?
2?
um?
3u2m?
m?
1m?
2m?
32m
11111.?
2m2m2m2m2
1因此,取?
0?
,对任何正整数N,只要m?
N和p?
m就有211123n解:
显然,有limun?
lim
um0?
1?
um0?
2um0?
p0?
?
0,
故调和级数发散.
例4应用级数收敛的柯西准则证明级数?
证明:
由于um?
1?
um?
2um?
p=111(m?
1)2(m?
2)2(m?
p)21收敛.n2
?
111111.m(m?
1)(m?
1)(m?
2)m?
p?
1)(m?
p)mm?
pm
1故对0,取N?
,使当m?
N及对任何正整数p,都有?
1um?
1?
um?
2um?
p.m
故级数?
1收敛.n2
4收敛级数的性质
定理2若级数?
un与?
vn都有收敛,则对任意常数c,d,级数?
(cun?
dvn)也收敛,
n?
1n?
1n?
1
且?
(cun?
dvn)?
c?
un?
d?
vn.
n?
1n?
1n?
1
即对于收敛级数来说,交换律和结合律成立.
定理3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.
(即级数的敛散性与级数的有限个项无关,但其和是要改变的).
若级数?
un收敛,设其和为S,则级数un?
1?
un?
2?
?
也收敛,且其和为
n?
1?
(简称余项),它代表用Sn代替S时所产生的误Rn?
S?
Sn.并称为级数?
un的第n个余项
n?
1?
差.
定理4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.注意:
从级数加括号后的收敛,不能推断加括号前的级数也收敛(即去括号法则不成立).
如:
(1?
1)?
(1?
1)(1?
1)0?
00?
?
收敛,
而级数1?
1?
1?
1?
?
是发散的.
作业P51,2,3,4,5,6,7.
篇三:
数学分析教案(华东师大版)第十二章数项级数
第十二章数项级数
教学目的:
1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具;2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的;3.理解并掌握收敛的几种判别法,记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点:
本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别;难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数:
18学时
1级数的收敛性
一.概念:
1.级数:
级数,无穷级数;通项(一般项,第项),前项
部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为
.2.级数的敛散性与和:
介绍从有限和入手,引出无限和的极限思
想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.
例1讨论几何级数
的敛散性.(这是一个重要例题!
)
解
时,.级数收敛;
时,级数发散;
时,,
,级数发散;
时,,,级数发散.
综上,几何级数
0开始).当且仅当
时收敛,且和为
(注意从
例2讨论级数
的敛散性.
解(利用拆项求和的方法)
例3讨论级数
的敛散性.
解设
,
,
=
,.
,.
因此,该级数收敛.
例4讨论级数
解
的敛散性.,.级数发散.
3.级数与数列的关系:
对应部分和数列{
},收敛{
}收敛;
对每个数列{
于是,数列{
},对应级数
,对该级数,有
收敛.=
.}收敛级数
可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式.
4.级数与无穷积分的关系:
,其中
.无穷积分可化为级数;
对每个级数,定义函数
,易见有=
.即级数可化为无穷积分.
综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.
二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则:
把部分和数列{
}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言,就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)
.收敛
和
N,
由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前
项的级数表为
或.
系(级数收敛的必要条件)收敛
.
例5证明
级数
收敛.
证显然满足收敛的必要条件.令
,则当
时有
应用Cauchy准则时,应设法把式|
的式子,令其小于,确定
|不失真地放大成只含而不含
.例6判断级数
(验证
的敛散性..级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)
例7(但级数发散的例)证明调和级数
发散.
证法一(用Cauchy准则的否定进行验证)
证法二
证明{
}发散.利用已证明的不等式
.即得
,
.
三.收敛级数的基本性质:
(均给出证明)
性质1收敛,—Const
收敛且有
=
(收敛级数满足分配律)
性质
2和
收敛,
收敛,且有
=
、
.问题
:
、
三者之间敛散性的关系.
收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.
(收敛数列满足结合律)性质3若级数
例8考查级数
该例的结果说明什么问题?
从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.
2正项级数
一.正项级数判敛的一般原则:
1.正项级数:
2.基本定理:
Th1设
散时,有.则级数
,收敛
.且当
发↗;任意加括号不影响敛散性..(证)
正项级数敛散性的记法.
3.正项级数判敛的比较原则:
Th2设
则
ⅰ>=,
.(ⅱ>是ⅰ>的逆否命题)
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