精选教育1819 第3章 32 323 指数函数与对数函数的关系doc.docx
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精选教育1819第3章32323指数函数与对数函数的关系doc
3.2.3 指数函数与对数函数的关系
学习目标:
1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们的图象间的对称关系.(重点)2.利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.(难点)
[自主预习·探新知]
1.反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.称这两个函数互为反函数.
(2)反函数的记法:
函数y=f(x)的反函数通常用y=f-1(x)表示.
思考:
如何准确理解反函数的定义?
[提示]
(1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域.
(2)对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是一一映射时,这个函数才存在反函数.如y=x2+1(x∈R)就没有反函数,因为它不是一一映射.
(3)反函数也是函数,因为它符合函数的定义.
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数.
(2)指数函数y=ax与对数函数y=logax的图象关于y=x对称.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)函数y=x的反函数是y=logx.( )
(2)函数y=log3x的反函数的值域为R.( )
(3)函数y=ex的图象与y=lgx的图象关于y=x对称.( )
[解析]
(1)×.函数y=x的反函数是y=log
x(x>0).
(2)×.函数y=log3x的反函数的值域是原函数的定义域,故y=log3x的反函数的值域为(0,+∞).
(3)×.互为反函数的图象关于直线y=x对称,所以函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称,函数y=lgx的图象与y=10x的图象关于直线y=x对称.
[答案]
(1)×
(2)× (3)×
2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f
(2)=1,则f(x)等于( )
A.log2x B.
C.log
x D.2x-2
A [∵f
(2)=1,∴点(2,1)在函数y=ax的反函数图象上,则点(1,2)在函数y=ax的图象上,所以a1=2,即a=2.
∴y=2x,则x=log2y,即y=log2x.
∴f(x)=log2x.]
3.函数f(x)=x的反函数为g(x),那么g(x)的图象一定过点________.
(1,0) [f(x)=x的反函数为g(x)=log
x,所以g(x)的图象一定过点(1,0).]
4.函数y=x+3的反函数为__________.
y=x-3(x∈R) [由y=x+3得x=y-3,
x,y互换得y=x-3,所以原函数的反函数为y=x-3.(x∈R).]
[合作探究·攻重难]
求函数的反函数
求下列函数的反函数.
(1)y=x;
(2)y=5x+1;(3)y=x2(x≤0).
[思路探究] 根据原函数反解x⇒x,y互换⇒原函数的定义域即为反函数的值域.
[解]
(1)由y=x,得x=logy,
且y>0,
∴f-1(x)=log
x(x>0).
(2)由y=5x+1,得x=,
∴f-1(x)=(x∈R).
(3)由y=x2得x=±.因为x≤0,
所以x=-.
所以f-1(x)=-(x≥0).
[规律方法] 求反函数的一般步骤
(1)求值域:
由函数y=f(x)求y的范围.
(2)解出x:
由y=f(x)解出x=f-1(y).若求出的x不唯一,要根据条件中x的范围决定取舍,只取一个.
(3)得反函数:
将x,y互换得y=f-1(x),注意定义域得反函数.
提醒:
求反函数时,若原函数y=f(x)的定义域有限制条件,其反函数的定义域只能是根据原函数的值域来求.
[跟踪训练]
1.求下列函数的反函数.
【导学号:
60462238】
(1)y=log
(x-1);
(2)y=2x+1.
[解]
(1)由y=log
(x-1),
得x-1=y,
∴x=y+1,
对换x,y得y=x+1,
∴y=log
(x-1)的反函数是y=x+1(x∈R).
(2)由y=2x+1,得x=(y-1),
对换x,y得y=x-,
又x∈R时,y∈R,
∴y=2x+1的反函数是y=x-(x∈R).
指数函数与对数函数图象
之间的关系
(1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与
y=logax的图象只能是( )
A B C D
(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是图中的
A B
C D
[解析]
(1)y=ax与y=logax的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确.
(2)因为a>1时,y=a-x=x,0<<1是减函数,恒过(0,1)点,y=logax为增函数,恒过(1,0)点,故选A.
[答案]
(1)C
(2)A
[规律方法] 互为反函数的图象特点
1.互为反函数的图象关于直线y=x对称;图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.
2.互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
3.若一奇函数有反函数,则它的反函数也是奇函数.
[跟踪训练]
2.若函数y=的图象关于直线y=x对称,则a的值为________.
【导学号:
60462239】
-1 [由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,得a=-1.]
指数函数与对数函数的综合应用
[探究问题]
1.观察函数y=2x与y=log2x的图象,指出两个函数的增长有怎样的差异?
提示:
根据图象,可以看到,在区间[1,+∞)内,指数函数y=2x随着x的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y=log2x的增长速度逐渐变得很缓慢.
2.你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗?
提示:
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
图象
定义域
R
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
R
性质
当x>0时,y>1;当x<0时,0 当x>1时,y>0;当0 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0. (1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的反函数; (3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2. [思路探究] (1)判断奇偶性⇒奇偶性定义. (2)求反函数⇒反解,改写,标注定义域. (3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集. [解] (1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=. 因为f(x)+f(-x)=+=+=0, 所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数. (2)因为f(x)=y==1-, 所以2x=(-1 所以f-1(x)=log2(-1 (3)因为f-1(x)>log2, 即log2>log2, 所以所以 所以当0 当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1 母题探究: 1.(变结论)本例中的条件不变,如何判断f-1(x)的单调性,并给出证明. [解] 由原题解答知: f-1(x)=log2(-1 任取-1 令t(x)===-1+,所以t(x1)-t(x2)=- =-= =. 因为-1 所以1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0, 所以t(x1)-t(x2)<0,t(x1) 所以log2t(x1) 即f-1(x1) 2.(变条件)将本例中的函数改为f(x)=log2,试判断其奇偶性,并求其反函数? [解] 函数f(x)=log2的定义域为>0, 即x∈(-1,1)关于原点成中心对称. 设x∈(-1,1),则f(-x)=log2=log2-1 =-log2=-f(x), 所以函数f(x)=log2为奇函数. 因为y=log2, 所以2y=,所以2y-2yx=1+x, 所以x=, 所以f-1(x)=(-1 [规律方法] 解对数不等式的常见解法 (1)借助对数函数的单调性,把对数不等式转化为真数的不等式,最后与定义域取交集即得原不等式的解集. (2)底数中若含有变量,一定要注意底数大于0且不等于1,并注意与1的大小的讨论. [当堂达标·固双基] 1.函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为( ) A.(1,+∞) B.[0,+∞) C.(0,+∞)D.[1,+∞) C [y=f-1(x)的定义域即为原函数的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.] 2.若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点 A.(1,1)B.(1,5) C.(5,1)D.(5,5) C [原函数与它的反函数的图象关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图象过(1,5),而(1,5)关于y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图象必过点(5,1).] 3.已知函数f(x)=2x+1,则f-1(4)=________. 1 [由2x+1=4,得x=1,∴f-1(4)=1.] 4.设函数f(x)=log2x+3,x∈[1,+∞),则f-1(x)的定义域是________. [3,+∞) [∵x≥1,∴log2x≥0, ∴log2x+3≥3, ∴f-1(x)的定义域为[3,+∞).] 5.已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象过(1,7),其反函数f-1(x)的图象过点(4,0),求f(x)的表达式. 【导学号: 60462240】 [解] ∵y=f-1(x)过(4,0)点, ∴y=f(x)过点(0,4), ∴1+b=4,∴b=3, 又∵f(x)=ax+b过点(1,7), ∴a+b=7,∴a=4.∴f(x)=4x+3.
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