三角形解答题第二问中范围问题.docx
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三角形解答题第二问中范围问题
解三角形范围问题总结
第一类与三角形的边相关的范围问题
1.在中,角的对边分别是,.
(1)求的值;
(2)若,求的最大值.
42
2.设函数fxcos2x2cosx.
(1)求fx的对称轴方程;
(2)已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若fA1,bc2,求a的最小值.
22
4.在
ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB2ab.
(1)求角C;
(2)若
ABC的面积为S
3c,求ab的最小值.
2
点睛:
和余弦定理有关的最值问题,常与三角形的面积结合在一起考查,解题时要注意对所得式子进行
适当的变形,如a2
b2
ab
2
b和ab的形式,为运用基本不等式创造条件.另
2ab,以构造出a
外,在应用基本不等式的过程中,要注意等号成立的条件.
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosCcosAcosB3sinAcosB.
(Ⅰ)求cosB的值;
(Ⅱ)若ac1,求b的取值范围.
8.中,内角的对边分别是,且.
(1)求角;
(2)若,求的最大值.
9.在
ABC中,角
A,B,C所对的边分别为
a,b,c,满足:
①
ABC的外心在三角形内部(不包括边)
;
②b2
a2
c2
sinB
C
3accosA
C
.
(1)求A的大小;
(2)求代数式bc的取值范围.
a
10..在中,内角
、、的对边分别为
、、,且
.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若点满足
,且
,求
的取值范围.
11.在ABC中,角A,B,C的对边分别为
a,b,c,且tanAtanB
2sinC
.
cosA
(1)求角B的大小;
(2)若ac4,求b的取值范围.
12.
已知△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且
3c
tanAtanB.
acosB
(1)
求角A的大小;
(2)
设AD为BC边上的高,a
3,求AD的范围.
【总结】三角形中最值或范围问题,一般转化为条件最值或范围问题:
先根据正、余弦定理及三角形面积公
式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值
时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式
的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
第二类
与三角形的角相关的范围问题
2.已知函数
f
x
sinxcosx
sin
2
x
1
2
.
(Ⅰ)求
f
x
的单调递增区间;
(Ⅱ)在
ABC中,
a,b,c
为角
A,B,C
的对边,且满足
bcos2A
bcosA
asinB
0A
求f
B的取值范围
.
2
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且3acosC2b3ccosA.
(1)求角A的大小;
(2)求cos5πB2sin2C的取值范围.
22
4.已知在
ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acosBbcosA0.
(1)若a
2c,求角B;
(2)求cosC的最小值.
5.已知锐角ABC的三个内角A、B、C满足sinBsinCsin2Bsin2Csin2AtanA.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若ABC的外接圆的圆心是O,半径是1,求OAABAC的取值范围.
6.设ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积S满足43Sa2b2c2.
(1)求角C的值;
(2)求sinBcosA的取值范围.
7.在中,角,,的对边分别为,,,.
(1)求的大小;
(2)求的取值范围.
8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinAacosC.
(1)求角C的大小;
(2)求u
3sinAcosB
π的取值范围.
4
9.ABC
的内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
,,
c
,且asinAbsinBcsinC2asinB
ab
1求角C;
2求3sinAcosB的最大值.
4
10.已知向量msinB,1cosB,且与向量n2,0所成角为,其中A,B,C是ABC的内角。
3
(1)求角B的大小;
(2)求sinAsinC的取值范围.
第三类与三角形的面积相关的范围问题
1.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知abcosC3csinB.
(1)求B;
(2)若b1,求ABC面积的最大值.
2.已知向量asinx,cosx,bcosx,3cosx,函数fxab.
(1)求fx的单调递增区间;
(2)在ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若fC0,0C,c1,求ABC
2
面积的最大值.
3.已知函数fxsinxcos
x
3sin2x
3
0
的最小正周期为
,将函数f
x的图象向左平
2
移
个单位长度,再向下平移
1个单位长度,得到函数
y
gx的图象.
6
2
(Ⅰ)求函数fx的单调递增区间;
(Ⅱ)在锐角
ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若g
A
,
a
1,求
ABC面积的最大值.
0
2
5.已知
ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c
23
c
3
,且
.
acosBbcosA
tanC
(1)求C的值;
(2)当ABC的面积取最大值时,求a的值.
6.在ABC中,角A,
B,C所对的边分别为
sinB
a
a,b,c,且1
.
sinAsinC
bc
(Ⅰ)求证:
角
A,C,
B成等差数列;
(Ⅱ)若c3
,求ABC面积的最大值.
7.在ABC中,角A,B,C所对边分别是a,b,c,满足ccosB2abcosC0
(1)求角C;
(2)若c3,求ABC面积的最大值.
8.已知
ABC的内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且a
ab
2b
c
.
2,
sinB
sinA
sinC
(1)求角A的大小;
(2)求
ABC的面积的最大值.
9.ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2cosB3sinB.
(1)求B;
11
(2)若a,b,c成等比数列,求的值;
tanAtanC
(3)若AC边上的中线长为2,求ABC面积的最大值.
10.如图,在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,acsinBcosB.
(1)求ACB的大小;
(2)若ABCACB,D为ABC外一点,DB2,DC1,求四边形ABDC面积的最大值.
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&X&K]
11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3bcosCbsinC3a.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b3,求ABC的面积的最大值.
13.在
ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2
c2
b21ac.
2
(1)求sin2AC
cos2B的值;
2
(2)若b2,求ABC面积的最大值.
15.已知在
中,角
的对边分别为
,且满足
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若
,求
面积的最大值.
【思路引导】
(1)根据三角形的三角关系得到
,由正弦定理得到
,
即
,再由余弦定理得到结果;
(2)根据余弦定理和均值不等式得到
,再由面积公式得
到最值.
16.已知
sinAsinBsinC
sinB
ABC的内角A,B,C满足
.
sinC
sinAsinBsinC
(1)求角A;
(2)若ABC的外接圆半径为1,求ABC的面积S的最大值.
【总结】
1.三角函数问题在求解时要注意结合正弦定理的边角互化关系快速转换求解,涉及面积最值时明确面积公式
结合基本不等式求解是借此题第二问的关键.
2.解三角形问题不是孤立的,而是跟其他相关知识紧密联系在一起,通过向量的工具作用,将条件集中到三
角形中,然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题,是常见的解题思路,为此,熟练掌握向量的基本概念和向量的运算,熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理及均值不等式是解题的关键.
第四类
与三角形的周长相关的范围问题
2.
的内角为
的对边分别为
,已知
.
(1
)求
的最大值;
(2
)若
,当
的面积最大时,
的周长;
【思路引导】
(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得
,解得B,代入化简得
,根据三角函数同角关系转化为二次函数,最后根据对称轴与
定义区间位置关系确定最大值取法,
(2)先根据余弦定理得
,再根据基本不
等式求
最大值,此时
的面积取最大,根据最大值等号取法确定
值,即得三角形
周长.
3.已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a2acosBc.
(Ⅰ)求证:
B2A;
(Ⅱ)若ABC为锐角三角形,且c2,求a的取值范围.
4.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2bcosCccosA0.
(1)求角C;
(2)若c23,求ABC的周长的最大值.
5.已知a,b,c是
2cb
cosB
ABC的三个内角A,B,C的对边,且满足
.
a
cosA
(1)求角A;
(2)若a23,求ABC周长的最大值.
7.在锐角
ABC中,c
2,3a2csinA.
(1)若
ABC的面积等于
3,求a、b;
(2)求
ABC的周长的取值范围.
8.在
ABC
C
b
a2
且
sinAsinB2b
sinCsinBc
.
中,内角A、B、
的对边分别为a、、c,
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)求ABC的周长的取值范围.
9.在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,中线ADm,满足a22bc4m2.
(Ⅰ)求BAC;
(Ⅱ)若a2,求ABC的周长的取值范围.
10.中,三个内角的对边分别为,若,,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求周长的取值范围.
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2,acosB2cbcosA.
(1)求角A的大小;
(2)求△ABC周长的最大值.
12.在
ABC中,
a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且cosB
3
,sinAcosBccosAsinB0.
5
(1)求边b的值;
(2)求ABC的周长的最大值.
【总结】三角形中最值问题,一般转化为条件最值问题:
先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条
件灵活转化边和角之间的关系,利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时,要特别注
意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须
为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
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