人教版九年级数学上《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析.docx

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人教版九年级数学上《第21章一元二次方程》单元测试含答案解析

《第21章一元二次方程》

　学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、选择题：

1．方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　）

A．m≠±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠2

2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（　　）

A．x=2B．x=﹣2C．x1=2，x2=﹣2D．x1=

，x2=﹣

3．下列方程中是一元二次方程的有（　　）

①

=

；②y（y﹣1）=x（x+1）；③

=

；④x2﹣2y+6=y2+x2．

A．①②B．①③C．①④D．①③④

4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x1•x2的值为（　　）

A．﹣3B．﹣5C．3D．5

5．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（　　）

A．

B．x（x﹣1）=90C．

D．x（x+1）=90

二、填空题：

6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为　　，其中二次项系数是　　，一次项系数是　　，常数项是　　．一元二次方程x2=2x的解为：

　　．

7．方程x2+3x+1=0的解是　　．

8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程：

　　．

9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+

=0有两个相等的实数根，则m的值为　　．

10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m=　　．

三、解答题

11．解下列方程：

（1）x2﹣9=0

（2）（x﹣1）（x+2）=6．

12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．

13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．

14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．

（1）该公司2006年盈利多少万元？

（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？

15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．

16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求

的值．

《第21章一元二次方程》

参考答案与试题解析

一、选择题：

1．方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　）

A．m≠±2B．m=2C．m=﹣2D．m≠2

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣2≠0，再解即可．

【解答】解：

由题意得：

m﹣2≠0，

解得：

m≠2，

故选：

D．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是注意二次项的系数不等于0．

2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（　　）

A．x=2B．x=﹣2C．x1=2，x2=﹣2D．x1=

，x2=﹣

【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即x2=4，即原题转化为求4的平方根．

【解答】解：

移项得：

x2=4，

∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．

故选：

C．

【点评】

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．下列方程中是一元二次方程的有（　　）

①

=

；②y（y﹣1）=x（x+1）；③

=

；④x2﹣2y+6=y2+x2．

A．①②B．①③C．①④D．①③④

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0对各小题分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：

①

=

是一元二次方程；

②y（y﹣1）=x（x+1）不是一元二次方程，是二元二次方程；

③

=

，分母上含有未知数x，不是整式方程；

④x2﹣2y+6=y2+x2整理后为y2+2y﹣6=0，是一元二次方程；

综上所述，是一元二次方程的有①④．

故选C．

【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x1•x2的值为（　　）

A．﹣3B．﹣5C．3D．5

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系可得出x1•x2=

，再计算即可．

【解答】解：

∵x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，

∴x1•x2=

=﹣5，

故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握x1+x2=﹣

，x1•x2=

是解题的关键．

5．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（　　）

A．

B．x（x﹣1）=90C．

D．x（x+1）=90

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】比赛问题．

【分析】如果设某一小组共有x个队，那么每个队要比赛的场数为（x﹣1）场，有x个小队，那么共赛的场数可表示为x（x﹣1）=90．

【解答】解：

设某一小组共有x个队，

那么每个队要比赛的场数为x﹣1；

则共赛的场数可表示为x（x﹣1）=90．

故本题选B．

【点评】本题要注意比赛时是两支队伍同时参赛，且“每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场”，以免出错．

二、填空题：

6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为　x2+2x﹣1=0　，其中二次项系数是　1　，一次项系数是　2　，常数项是　﹣1　．一元二次方程x2=2x的解为：

　x1=0，x2=2　．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式．

【专题】计算题．

【分析】先利用平方差公式把方程（x+1）（1﹣x）=2x左边展开，再移项得到x2+2x﹣1=0，然后写出二次项系数、一次项系数、常数项；利用因式分解法解方程x2=2x．

【解答】解：

一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为x2+2x﹣1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1．

x2﹣2x=0，

x（x﹣2）=0，

x=0或x﹣2=0，

所以x1=0，x2=2．

故答案为x2+2x﹣1=0，1，2，﹣1，x1=0，x2=2．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：

就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

7．方程x2+3x+1=0的解是　x1=

，x2=

　．

【考点】解一元二次方程-公式法．

【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．

【解答】解：

这里a=1，b=3，c=1，

b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，

x=

，

x1=

，x2=

，

故答案为：

x1=

，x2=

．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．

8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程：

　x2﹣x﹣6=0　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一根为3，另一个根为﹣2，则方程是（x﹣3）（x+2）=0的形式，即可得出答案．

【解答】解：

根据一个根为x=3，另一个根为x=﹣2的一元二次方程是：

x2﹣x﹣6=0；

故答案为：

x2﹣x﹣6=0．

【点评】此题考查了根与系数的关系，已知方程的两根，写出方程的方法是需要熟练掌握的一种基本题型．

9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+

=0有两个相等的实数根，则m的值为　m=2或m=0　．

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有两个相等实数根得△=0，即（m﹣1）2﹣4×

=0，解方程即可得．

【解答】解：

∵方程x2﹣（m﹣1）x+

=0有两个相等的实数根，

∴△=0，即（m﹣1）2﹣4×

=0，

解得：

m=2或m=0，

故答案为：

m=2或m=0．

【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．

10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m=　±2　．

【考点】完全平方式．

【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．

【解答】解：

∵x2﹣4x+m2=x2﹣2x•2+m2，

∴m2=22=4，

∴m=±2．

故答案为：

±2．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

三、解答题

11．解下列方程：

（1）x2﹣9=0

（2）（x﹣1）（x+2）=6．

【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．

【分析】

（1）根据直接开平方法求解即可；

（2）先去括号，再用公式法求解即可．

【解答】解：

（1）x2=9，

x=±3，

∴x1=3，x2=﹣3；

（2）x2+x﹣8=0，

a=1，b=1，c=﹣8，

△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

∴x=

=

，

∴x1=

，x2=

．

【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法．

12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．

【考点】根与系数的关系．

【分析】设方程的另一个根为x2，根据韦达定理得出关于x2和k的方程组，解之可得．

【解答】解：

设方程的另一个根为x2，

根据题意，得：

，

解得：

，

∴方程的另一个根位5，k的值为﹣10．

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．

13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【专题】计算题．

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，然后解两个不等式确定它们的公共部分即可．

【解答】解：

根据题意得m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，

解得m≥1且m≠2．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．

（1）该公司2006年盈利多少万元？

（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题；压轴题．

【分析】

（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；

（2）相等关系是：

2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率．

【解答】解：

（1）设每年盈利的年增长率为x，

根据题意得1500（1+x）2=2160

解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）

∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800

答：

2006年该公司盈利1800万元．

（2）2160（1+0.2）=2592

答：

预计2008年该公司盈利2592万元．

【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：

2005年盈利×（1+年增长率）2=2160．

15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设原来的正方形木板的边长为x，锯掉2米宽厚，就变为长为x米，宽为（x﹣2）米的长方形，根据长方形的面积公式列方程求x，继而可求正方形的面积．

【解答】解：

设原来的正方形木板的边长为x．

x（x﹣2）=48，

x=8或x=﹣6（舍去），

8×8=64（平方米）．

答：

原来正方形木板的面积是64平方米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解本题设出正方形木板的边长为x，根据题意列方程求解即可．

16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求

的值．

【考点】根的判别式．

【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此△=b2﹣4a=0，可得出a、b之间的关系，然后将

化简后，用含a的代数式表示b，即可求出这个分式的值．

【解答】解：

∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=0，

即b2﹣4a=0，

b2=4a，

∵

=

=

=

∵a≠0，

∴

=

=

=4．

【点评】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．