近世代数第9讲.docx
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近世代数第9讲
本讲的教学目的和要求:
置换群是一种特殊的变换群。
换句话说,置换群就是有限集上的变换群。
由于是定义在有限集上,故每个置换的表现形式,固有特点都是可揣测的。
这一
、—L_Lk、-r||;rii;i、-
讲主要要求:
1、弄清置换与双射的等同关系。
2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需
要理解。
本讲的重点与难点:
对于置换以及置换群需要侧重注意的是:
对称群和交错群的结构和置换的分解定理(定理2)。
注意:
由有限群的cayley定理可知:
如把所有置换群研究清楚了。
就等于把所有有限群都研究清楚了,但经验告诉我们,研究置换群并不比研究抽象群容易。
所以,一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都不得找出来。
因为问题太复杂了。
人们的方法是将群分成若干类(即附加一定条件);譬如有限群;无限群;变换群;非变换群等等。
对每个群类进行研究以设法回答上述三个问
题。
可惜,人们能弄清的群当今只有少数几类(后面的循环群就是完全解决了的一类群)大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群,它的具有代表性的特征—置换群,是现今所研究的一切抽象群的来源,是抽象代数创始人(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一.置换群的基本概念
定义1.任一集合A到自身的映射都叫做A的一个变换,如果A是有限集且变换是一一变换(双射),那么这个变换为A的一个置换。
有限集合A的若干个置换若作成群,就叫做置换群。
含有n个元素的有限群A的全体置换作成的群,叫做n次对称群。
通常记为Sn.
明示:
由定义1知道,置换群就是一种特殊的变换群(即有限集合上的变换群)而n次对称群Sn也就是有限集合A的完全变换群。
现以A印忌,a3为例,设:
AA是A的一一变换。
即:
a1a2,a2a3,a3a1,利用本教材中特定的表示方法有:
a1a2,a2a3,a3a1.
的具体内容.故可证A1,2,3.故此.:
12,23,31.稍
123
做修改:
:
=123.用=123来描述A
c’231231
231
的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为213,312…,但习惯上都将第一行按自然序列
321123
排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它为三元置换.
二.置换的乘积.
设A1,2,3的任二个置换
也是A的——变换.且有:
11,22,33.
用本教材的记法为:
11,22,33.
换句话说:
123123123
231321123
例1.计算下列置换的乘积
(1)
(2)
2
(3)
2
解:
12
31
2
3
1
2
3
31
22
3
1
1
2
3
212
31
2
3
1
2
3
12
31
2
3
3
1
2
2
1
2
31
2
3
12
3
3
1
21
2
3
31
2
注意:
置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯
方法不同的.
例2.设A1,2,3,那么A的全部一一变换构成的三次对称群
为
S3
0?
1?
2?
3,
4,
5・
其中
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3,1
1
3
2
2
2
1
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2
3
1,4
3
1
2
5
3
2
1
所以S33!
b.其中°是恒等变换.即°是S3的单位元.
定理1.n次对称群Sn的阶是n!
.
由于置换群也是变换群
故必蕴含着变换群的一切特
征.
譬如,不可交换性:
1
23123123
123123123
1
32213231
312213132
三
循环置换及循环置换分解
(1)循环置换(轮换)
前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法
设有8元置换12345678,的变换过程为
43521678
142351,即其他元素都不改变,若将不发生改变的
文字都删掉,那么上述置换可写成循环置换的形
式:
14235
注意:
①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换14235”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.
142352351451423
这是因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.
③.S8的单位(恒等置换)°123同上,习惯写成°1.
定义2.Sn中的一个将h变到i2,i2变到i3,,ik变回到h而其余文字(如果还有其他文字)不发生变化的置换,叫做k—循环置换(或称k—循环),记为(i1,i2,i3ik)
例
3.
在
S5
中.
1
2
3
4
5
123
叫作3—循环置换.
2
3
1
4
5
1
2
3
4
5
1234
5叫作5—循环置换.
2
3
4
5
1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
1叫作
1—循环置换.
2)循环置换分解
很容易发现,并不是每个置换都能成为循环置换.比如5元
1234512345
3254114325
(*)
可见,虽不是循环置换,但它是循环置换之积。
定义3.设i1,i2,,ik和j1,j2,,js都是循环置换如果与不含相同的文字,那么称与是不相连的.定理2.每一个n元置换都可以写成若干个不相连的循环置换的乘积.(循环置换分解定理)
【证明】.设是Sn中任一个n元置换,下面对中改变文字
的个数用数学归纳法。
如果使1,2,3,,n中每个文字都不发生改变,则是恒等置换.即1,定理2成立.
假设最多变动r1(rn)个文字时,定理成立。
现考察变动了r个元的情形:
首先在被变动的文字中随意取一个文字h,从h出发找
到h在下的象i2,再找i2的象i3,…,直到找到ik,其中:
iki1.于是i1i2i3iki1
因为只变动了rr个文字,故kr.如果kr,则本身就是一个r—循环置换:
ii,i2,,ik定理证毕。
如果kr,模仿(*)的做法。
11i2ikik1irir1in
II
12
i3i1ik1irir1in
归纳假设,1必可以写成若干个不相连的循环置换之
再出现i1,i2,,ik,否则,
tipigpk
ili2ik12m是互不相连的循环置换之积
明示:
将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法.
四.循环置换的性质
问题1.S3是一个3阶群(三次对称群),所以S3中每个
元素的阶自然都是以有限的,那么具体是多少呢比如:
解释:
k—循环置换症ik的一次方则将ii变成i2,
次方则将h变成i3,k次方则将h变回到h,其余文字也是如
此。
所以,当mk时,m1而k1.•••k.
问题2.每个置换都是双射,那么的逆置换也必是双射
必也是置换,那么1会是什么样子呢
向反向.
结论3.两个不相连的k—循环置换是可以交换的结论4.任一个k—循环置换
i1i2iki1i2i1i3i1ik1i1iki1iki2iki3ikik1ik
定义4.每个2—循环置换都叫做一个对换.利用结论4,我们有:
定理3.每个n元置换都能表示成若干个对换的乘积。
例4.
253i7
(25)(23)(2i)(27)(27)(57)(37)(i7)
结论4是“因地制宜”——用现有的文字构成对换之积,有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中,于是有了五.置换的奇偶性
虽然由结论4,5可知,每个置换都能写成对换之积.且对
换之积的表示形式不是唯一的
(比如i22i3344i234i234)
但对换个数的奇偶性是不会改变的。
结论6.任意一个置换表成对换之积时,表示式中对换个数的奇偶性不变.
定义5.一个置换叫做偶(奇)置换可以表成偶(奇)数个对换之积.
利用结论4知.我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性.结论7.一个k—循环置换是偶(奇)置换k为奇(偶)数.
考察下面的例子:
S44!
24.而S4中全部偶置换共有12
个:
{
(1);(123);(132);(124);(142);(134);(143);
(234);(243);(12)(34);(13)(24);(14)(23)}A4
那么A4就是S4中的一切偶置换组成的集合,对于置换的乘法
能发现:
A4中乘法封闭
A4中乘法满足结合律
A4中有单位元1
A4中每个置换有逆元,逆元也在A4中(由结论2)所
以A4是一个群,这个特殊的置换群习惯是上称为4次交换群.
定义6.n次对称群Sn中全部偶置换组成的集合An构成一个
定义7n次对称群Sn中两个置换,,称1为的共轭
定义8设n「1「2Lrs,0口aL。
称(斤卫丄Js)为n的一个划分。
设n元置换表示为互不交换的轮换的乘积
(a1a2Lar1)(ar!
1LaHr2)L(a”Lrs1L%Lrs),其中⑴卫丄,叮为n的一个划分,称它是由确定的划分。
结论8Sn中两个置换,,共轭它们确定的划分相同。
(证明略)
课堂训练:
给出下列
6兀置换.
123
456
123456
123456
613
542;
231654;
316452
111■
1)求
5
5
2)求
4)求
5)将,,和写成对换之积,并判断其奇偶性
解:
1)
-1
2)
3)
11264512346132456
162451234614563
对称性变换与对称群
例1证明等腰三角形的两底角相等定义1:
保持长度不变的变换称为正交变换。
定义2;平面上(空间中)图形,若平面上(空间中)的一个正交变换把变成与自己重合,称此变换是的对称性变换。
命题1图形的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群
的对称性群)例1正方形的对称性群。
(4个旋转,4个反射)。
例2等边三角形的对称性群。
(3个旋转,3个反射).
定义3设f(x1,x2,L,xn)为域F上一多项式,为任意n元置换,若在f(x1,x2,L,xn)的各文字的脚标上进行置换后不变,称f(x1,x2,L,xn)为域F上一个n元对称多项式。
定义4设f(x1,x2,L,xn)为域F上一多项式,为任意n元置换,若f(x1,x2,L,xn)f(x1,x2,L,xn),换后不变,称为
f(x1,x2,L,xn)的一个对称变换。
命题2f(x1,x2,L,xn)的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群。
(f(x1,x2,L,xn)的对称性群)。
例4考虑f(x1,x2,x3,x4)x1x2x3x4的全部对称性变换。
介绍晶体及晶体对称性定律。
ikik1i2i1
问题3.由前已知,两个变换一般是不能交换的,所以,两个置换一般也不能交换的.但是我们会发现.
5)
1624513621
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