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§6.2Bessel函数
一、Bessel方程的解Bessel函数
l.Bessel方程的级数解第一类Bessel函数2•第二类Bessel函数(Neumann函数)
3•第三类Bessel函数(Hankel函数)
4•常用Bessel函数的级数表示
二、Bessel函数的基本性质
1•与Bessel函数有关的微分公式和递推关系2•渐近性质
(6.2-1)
一、Bessel方程的解Bessel函数
l.Bessel方程的级数解第一类Bessel函数
(1)Bessel方程的级数解
"阶Bessel方程
1
+—yf+—)y-°
为方便起见将上列方程变形为xy^(x)+xy\x)+(x2一v2)y(x)=0
x=0为其正则奇点。
y(x)=xp^anxn
1设方程的解为M=o
2归并同次幕系数,得
[p(p一1)+。
一"2]°0护+[(P+1)/2+(Q+1)-#2]©严1
CO
+Y{[(尢+Q)®+QT)+(卫+Q)-内鶴+an_2}xn+p=0n=2
3使X的同次幕系数为零,冇
(6.2-3)
[q(qt)+Q-V2]%=/(pX=o
(6.2-4)
[q(q+1)+q+1_・]冏二/(p+l^=0
4因为旬丸,从(6.2・3)得到指标方程
f(p)=[p(pT)+Q一"勺=p2-v2=0
解得它的两个根为P=±V,设R"工0=匕戲=T。
⑤令P=P严V由(6.2-4)式得
[v(v+1)+v+1-v2]ax=(2財+l)d]二0a{=0
9
由(6.2・5)式得到系数递推关系
f(p+n)an+an_2
-[(y+n)(y+n-l)+(y+n)-v2]an+ (6.2・6) 所有的系数(n>2),当n为偶数时可由购表示;当n奇数时,町由勺表示。 因为勺=0,故所有的咳+1=0妒0丄2,・・・。 _1 吆二_2陀优+可%7 -1 2%(片+”)・22(^-1)(^-1+v)_22-b(l+v)^° r(v+i) =(T)右一2: 勺 2%・片! 』(十+卜+1) 因此,求得方程(6.1-1)式的一个解 gr(v+i) 川)"若(』严汕++严 (2)第一-类Bessel函数 2k 2vr(v+i) co 必⑴=Y(T)"・ jt=O 此式称为"阶(第一类)Bessel贝塞尔函数。 返回页首 (3)*解的讨论 1) I大I为焰一型二却*(非负整数),“。 令厂0二",同理, 可得方程的另一个线性无关的解 CO1 儿⑴=》(T)"・ Jt=o Q1一“2一2"H非负整数,方程有两个Frobenius级数解。 兰严〜二/ 5—+1)9(,2.8) 因为"不是整数,x=0是支点。 规定|argx|<7i,当ReV>。 吋,,'°)=0,J~^=^o山于方程的另 J(r} 一奇点是X=oo,因此,级数八丿的收敛范围是0<|x| 方程(621)的通解为用)”必⑴+巾厶⑴°訓《@2-9) 2)必一0=2加+1,加=0丄2,..,即"尹朋+D为半奇数,方程有两个Frobenius级数解。 p=p\=v=—(2m+1) 取2,重复 (1)的步骤,可以求得一个解为 北(末)=/](对二£(_1)* 吟s片! 珍+1+加+才)2 p-pQ=-v=—一(2m+1) 取2,系数递推关系(6.2-5)式为 f{p+n)an=-an,2 当n=2m+l,则有 1 P+卫二m+--p、 f(p2+卫)2二y(Q])爲机+]二/(^+”爲协+1二0•爲机+1二一玄小 因为勺=°,故鸟=2=・・・=勺用-1=°。 勺曲可以是任意常数(也nJ以为零)。 这样,当n为奇数时,系数*为零。 当n为偶数时, n-2m.p2+2卫=—0; 若22若 33 ^=2(m+l),p2+^=m+-,f(m+-)^0;+汨工仃 22总之八0+砒工°,根据递推式,所有的九均 可由b()表示。 因而,可以求得第二个Frobenius级数解 =s(-Dfc—1__6产出 2(6.2-10) 3)Q1—0—2m,m-0丄2,・・,即v=m(非负整数时),只冇一个Frobenius级数解“CO二人.00 0 这时, /⑴=(_1厂/⑴ 從''''揪',(6.2-11) 可见心⑴与几⑴线性相关。 返回页首 2•第二类Bessel函数(Neumann函数) 当v=m时,求出与Jm(x)线性无关的另一特解。 (1)利用Abel公式(5.1-22)式。 (2)直接令第二个解形为(5.2-24)式代入方程求解。 (3)物理学家用另外的方法求第二个解。 在(6.2・9)中,把任意常数°1、彳分别取为 COSV/T-1 —,c2=— sinvtlsinvtl 可得方程(621)式的一个特解 它称为"阶笫二类Bessel两数或"阶Neumann函数。 不难证明,Wronski行列式 从X),心) C X ,c为任意常数 无论卜是否为整数,,'兀)与叽(“)都线性无关。 0 当"二加(0,1,・・・)时,由于(6.2-11)式原因,使得N2)成为不定式°。 把整数阶的Ncumam函数定义为必(x)iimM(x) VT從(6.2・13) 可以证明这个极限存在,而且是方程(6.2・1)式的解。 这样,无论"是否整数,方程(6.2-1)式的通解都可表示成 用)北/(刃+°2弘(珀性0©2■⑷ 3•第三类Bessel函数(Hankel函数) 瓦⑴⑴=人(对-讽⑴ 在实际应用中,还引入笫三类Bessel函数(或称Hankel函数),定义为丑丫⑴+⑴+叫⑴ (6.2・15)利用Hankel函数,方程(6.2-1)式的通解又可表示为y(x)=cxH^\x)+c2H^\x} 4•常用Bessel函数的级数表示 数学物理中常遇到Bessel函数冇 x2 1-——+_+ 222-42•4-6 恥)=1£击歸猪严 _XX2X4 =——(I-+q—qq+... 22-42-4<62-42-6<8(62.18) 7r少8r1«1 (6.2-19) 1 恥二皿)叫+小詔(一%严丽(生) .1 V=±— 在[例5.1・3)中我们已经得到2阶Bessel函数的表示式.由(6.2・7)式,令2,利用卩函数性质,同样可以得到 利用Neumann函数和HankelI旳数的左义,可以得出 亘时7(对]=一厂乙+2) dx 7TX 71X j(x\j(x\/丄⑴ 不难看出°、丿、八丿、2等在x=0处收敛,而No(x),N1/2(x),N_i/2(x)> J-l/2(X)等在X=0处发散。 返回页首二、Bessel函数的基本性质 1•与Bessel函数有关的微分公式和递推关系 (1)与Bessel函数有关的微分公式 亘[才人(切二疋小⑴ dx (6.2・22) 利用(6.2・20)式,得到一般的半奇数贝塞尔函数的初等函数表示式 (6.2・23) d\“sinx、 (6.2・24) (2)Bessel函数的递推关系式 求出(6.2・21)和(6.2・22)左边的导数并化简,得到 (6.2-25) (6.2・26) (6.2-27) (6.2-28) 讥(天)+vg(x)二xJyA(X) 工此(x)+vJy(x)=-Vv+1(X) 将上两式相加减,又可分别得到 人_i(x)-人+i(%)=2』: (x) 2v 人T(x)+人+1(x)二一人(x) X 以上两式称为Bessel函数的递推关系式。 在(6.2・22)式中,令V=0,又可得到 (6.2-29) (3)柱函数 公式(6.2・21)、(6.2-22)和(6.2・27),(6.2・28)对Neumann函数 TJ⑷/ I丿也适用。 通常把任意一个满足这些递推关系的函数称为柱函数。 注意: 柱函数必满足Bessel方程,但满足Bessel方程的解不一定是柱函数。 八7 都是柱函数。 返回页首 2•渐近性质(图1,图2) 当">0时, (1)在x=0的附近,略去高阶无穷小,可得 匹3T 712 v7T -(ln-+y)v=0 (6.2・31) .712 在x=0点, 几(0)=5(0)=0 (6.2-32) 即第一类Bessel函数是有限的,有同样的奇界性。 而Neumann函数%")是发散的(图6.4)。 Hankcl函数与Neumann函数 11・ ⑵X-8时,几(划、”(划的渐近行为将类似于“X和dr。 实际上有(*详见参考书 目[12]§13o7。 ) "…、|2•/冗v兀、 (6.2・34) 显然,若要求方程(6.2-1)在(0,8)上的有限解,应在解式(6.2・20)中取C2=0。 3・Bessel函数的零点 Bessel方程的木征问题与Bessel函数的零点启密切关系。 从图6.5简要叙述整数阶Bessel函数零点的性质。 从(6.2・7)式容易看出 (6.2・35) 几(-刃二(-1广几⑴ J(r\ 因此,只要研究xNO时朋'丿零点的性质。 由图6.5可以看出: J(r}J(r} (1)用'丿冇无穷多个实数零点,而H•在数轴上关于原点对称地分布(故以后只须研究用'丿的无穷多个正零点)。 ⑵几(力与几+1)(只)的零点此相间,即几(X)的任意两个相邻零点之间必存在一个仏几仅存在一个几+1G)的零点。 U(税)JLL(")_£/(用)〜77 ⑶以”表示八丿的第k个正零点,在k»l吋由(6233)式可得%+1氏 J(r\ ⑷除x=0外,八丿的零点都是一阶的。 J(x} m=ont,Jo(0)=1,x=0不是零点,mHO时,x=0为联、/的m阶零点。 』)仏(河 通常,将所有不等于零的零点从1开始编号,称为第一个零点宀,第二个零点3,…,第k个零点 ",\将等于零的零点规定为第零个零点,即 J(x} 恥"(mH0时)侑第零个零点。 因为Jo(O)HO,Jo(x)无第零个零点。 Bessel函数的零点值可以查表求出。 返回页首[例6.2-1] [x^JAx)dx计算不定积分J* 解: (兀)〃兀=jx2—[x2J2(x)]Jx =x4J2(x)-2Jx3J2(x)dx=x4J2(x)—2x3J3(x)+c [例6.2-2] 计算不定积分1人忆必 解: 由递推式(6.2・27)式,并利用(6.2・29)式,可得 丿3(兀)=人(兀)一2丿;(兀)=一丿;⑴一2丿;(兀)于是有 I=(人(§)d$=([—人⑷―2丿;©]帖=[-人©-2丿2忆)]|: =-A(x)一2厶⑴+1 返回页首三、生成函数与积分表示 函数 称为Bessel函数的生成函数。 1.Bessel函数的生成函数可以证明 把X看作参数,仿照[例3.4・5]的作法,可以证明(6.2•36)式。 从(6.2-36)式可以得出许多重要的结论。 co 人G+刃二E人一2必0) (1)沪Y(6.2-37) co W〒二二为人("刃z” 沪YO 合_丄、2_kCOCO ,匸决匸二为厶⑴宀》人0)才 J=-COE=~ oooo订[为心⑴皿pM=- 通常称(6.2・37)式为加法公式。 CO 严=2厶⑴尹 (2)沪虫(6.2-38) _迢—(z-z_1)=ixsiii9 只要在(6.2・36)式中,令Z—°,并注意到2便可得出(6.2・38)式。 根据(6.2・38)式,使两边虚实部相等,并利用(6.2・11)式,又可得到 CO sin(xsin&)=2》厶―(x)sin(2片-1)0 k=1(6.2・39) CO cos(xsin^)=J0(x)+2》J2k(x)cos2^d, g(6.2-40) 严国二人鮒)+2三严人(4)COS朋 (3)沪】(6.2-41) 在(6.2-36)式中,令x=^z=辺,即可 返回页首 ——7_f—~~—f—r_I—■-|_f—~_1—_r_r—_1—-^1r~_i~~I_j_i—~t\—-_j—_it^_i~~1_i—1_iI_i—~_[—_i—-_r—_r_r_i—r_i—i_ 2.Bessel函数的积分表示 J(x\J(x\ (6.2-39)式秋6.2・40)式"J以看成是函数cos(xsinG)和sin(xsinG)的Fourier展开,加"和2“-1为其展开系数, cos(xsin9)cos2n9d9, (6.2-42) 1r疋 J2n-i(x)-—[sin(天sin9)sin(2卫一l)9d9, (6.2-43) J(r} 类似地,可以把(6.2・38)式看成是函数exp(ixsinO)展开为复数形式的Fourier级数,n'为Fourier系数,因此有 (6.2-44)式。 返回页首 四、与Bessel方程有关的本征问题 在数学物理问题中经常需要解下列本征问题。 吕普)+(“_唤=0 住竽+朋] dr (6.2-47) 式中卩为待定的参数,m常为非负整数0,1,a,卩是不同时为零的实数。 2d丄dR、 —(r—)+(/zr-—)A=0,drdrr 0 rdrarr (6.2・48) 把它与标准的S丄型方程(5.4・1)相比较,不难看! l! k(r)=r,在口变量区间的端点r=0为零,故在该点只能附加自然边界条件 |R(0)| 方程(6.2・46)和条件(6.2-47),(6.2・49)构成S-L问题。 1•方程的通解 在S・L问题中卩是非负的。 ⑴若尸0,方程(6.246)变为Euler型方程,其通解为 叫12‘口工0,山,<12为任意常数; m=0,C],C2为任意常数; (6.2-50) (2)若^>0,令y^X\方程(6.2-46)化为m阶Bessel方型,因此方程的通解为 2•本征值和本征函数 根据白然边界条件(6.2-49),要想得到有限解必须取 d? =0,e? =0,C2=0(6.2・52) 对尸a的边界条件分别三种情况考虑: (1)第一类边界条件(a=0) 即R(a)=0(6.2-53) 1)P=0时, mHO,R(a)=diam=0,得d|=0; m=0,R(a)=e〕=0。 无论nW)或n#0,当尸0,只有零解。 换句话说,在第一类边界条件下,要想得到非零解,尸0是不可能的。 2)P>0, 灭@)=q几(如)=0 要想得到非零解,只冇 几(血)=0,即如=八) 因此,第一类边界条件下的本征值与本征函数为 “=(^―)2=代2,尺(厂)= ai=l,2,…(6.2-54) 左⑷二0 (2)第二类边界条件(卩=0),即 (6.2-55) 1)—0时, mHO, 咲)皿™宀0,得山=0; m=0, 需⑷=(吓",仍可任意。 在笫二类边界条件下,尸0,有任意常数解: m^O,只有零解。 2)卩>0, mHO, 疋⑷二勺亦几(屁)=0 为得到非零解, 儿(松)=° J(x\ 即求m阶Besse1函数的导数的零点,或m阶Bessel函数极值点。 根据递推式(6.2-27),函数撷一八,与 J(x\”■>)Jf(x\ 用+1'丿的交点无'就是八丿的零点。 这样的零点有无穷多个。 因此 ”(冏 n=(j冗&(厂)二几( QQ匸1,2,… 叶。 时,尺⑷二仪存厶(如)=0, (4)结论 (6.2・60) (6.2・59) 相应的木征两数为 综上所述,本征问题(6.2・46)、(6.2-47)和(6.2・49)式的本征值为mW=k2 在第一类边界条件下,'由用'丿的零点确定; 在第二类边界条件下,h由几(X)的零点确定; 在第三类边界条件下,尤由超越方程(6.2-58)式的根确定。 返回页首 ———-_J——-_r——_jT^_|~n_i——~_1—~_f~_|—_J""^1""——^^1 3•本征函数的正交归一关系 根据S・L型问题的性质3,对应于不同本征值力与©的本征函数尺与绚("—几肉"是正交的。 考虑到Bessel方程化S・L型时,p(r)=r,其正交关系为 : &(厂)7? (厂)估二匸几(代厂)几(占丿)估=0 旳(6.2-61) 注意这里不同的本征函数由'与J标志,而m是相同的。 木征函数的模方您JJ;[&("]2曲二[[几(和)]2曲 2f12纠J刍%(也)尸+寸&-务)[几加F '(6.2・62) 注意上式在不同的边界条件下有不同的结果。 (1)在第-类边界条件下,几(加^二几(川))=° 2f2 (6.2・63) J(x}7(r}"(呵 这里却0丿是亦1阶Bessel函数用小丿在m阶Bessel函数沐丿的零点耳的值。 ⑵在第二类边界条件下,几(片G=Jm(*))", 当mHO时 22 (6.2-64) 纠J才(1-話甲)5(卅)]2 ”(")J(X} 注意这里儿‘是刃'丿的零点。 当m=0时 2 呵[厶(耳⑴)]2」工0 傀⑼二兰,1=02(6.2・65) ⑶在第三类边界条件下必儿(弘)+“儿(如=0,故冇 (6.2・66) 这里,ki是超越方程(6.2-58)式的根。 4•按本征函数的广义Fourier展开 根据S・L问题的性质4,定义在(0,a)中的任意分段光滑的函数f(r),可按Bessel函数展开,即有 (6.2-67) n’e 1由于展开式与阶数m有关,2在不同的边界条件有不同的表示式,必须弄清函数f(x)是在什么边界 条件下按哪阶Bessel函数的展开。 2在第二类边界条件,当m=0时,冇本征值尸0=0,相应的木征函数为常数,求对和i从0开始。 /(r)= 2=0 1ca 肿Jo5如rdr (6.2-69) 在所冇其它情况下,对i求和从1开始。 返回页首[例6・2-3] 在第-•类边界条件下,把定义在(0,1)上的函数f(x)=A(常数),按零阶Bessel函数展开。 解: 由(6.2-67)式和(6.2-68)式,有 8 /(兀)=A丿()(“/) n=0 C“=^~^AJQ^nx)xdx n 19 5=「严、]2lJ.^^xdx=I 因此,所求的级数为 二2A a=yA)d [例6.2-4] 在第二类边界条件下,把定义在(0,1)上的函数f(r)=Ar2按零阶Bessel函数展开。 解: 在第二类边界条件下,加=0卫=1,才°)=才)・ 心。 ,呼二扣。 "))]冷[丿。 (“⑴)]1 4A (H⑴)乜(“⑴) 丿0("⑴厂) f(r)=Ar2= 可得 返回页首 五、可化为Bessel方程的微分方程 为便于应用,我们从Bessel方程出发,通过H变数及未知函数的变换,得出各种可化为Bessel方程的微分方 程。 对"阶Bessel方程。 作白变数变换 (6.2・71) z2写+痒+[丹2尹—严俨卜二o 血血(6.2-72) 再作耒知函数的变换 得 于咚+(1一2◎比空+[胪幼+(伐2—尸“2)山二0 血血(6.2-74) 其中儿(兀)是"阶Bessel方程(6.2・70)式的解。 返回页首 六、变型(或虚案量)的Bessel函数变型Bessel方程为 只要作z=ix的代换,下列Bessel方程便化为变型Bessel方程 X—OO 可以通过Bessel函数来表示方程(6.2・76)的解。 例如収人和作为两个特解,它们都是复函数。 ,(取 为在x是实数时,得到实数解,通常定义下列两个新函数兀⑴和瓦⑺代替人")和77心) (6.2-78) £(力称为第一类变型(或虚宗最)的豺阶Bessel函数,Ky^称为第二类变型(虚宗量)的"阶Bessel函数。 方程(6.2・76)的通解可表示为 厶(0)=1,人(0)=0(心)的整数) (6.2・84) 实际上,由(6.2-77)式可得 T£(x\ 用'7在x=0点是有界的,但在x-8时是无界的;而7在x=0点是无界的,但在X-时是有界的。 图6.7分别给出T10(x),Il(x)和K0(x),KI(x)的图形。 从图形和渐近式中都可以看出变型的贝塞尔函数无实数零点,几(“)随x单调上升,K^X)随*单调下降。 返回页首七、例题 「例6.2—1]J例6.2-2]J例6.2-31J例6.2-4]返回页首
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