常微分方程计算题.docx
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常微分方程计算题
计算题
1、
2
求解微分方程y一2xy=2xe公。
2、
J+y
试用逐次逼近法求方程dx通过点(0,0)的第三次近似解•
3、
tfx
求解方程y•y_2y=e的通解
dx
dty
4、
矽=2x+y
求方程组idt的通解
5、
求解微分方程y_2xy=4x
6、
dy2
x_y
试用逐次逼近法求方程dx通过点(1,0)的第二次近似解。
7、
求解方程y.y一2y=2e亠的通解
8、
*dtdy
求方程组idt
-〕:
x4y
的通解
9、
求解微分方程xy,-=y二-x
10、
dy2
x—y
试用逐次逼近法求方程dx通过(0,0)的第三次近似解.
求解方程y:
y‘-2y=4e,的通解
12、
求方程组
虫
业=+2y
L-dt的通解
13、
求解微分方程xm二
*通过点(0,0)的第三次逼近解.
15、
求解方程3y「2y=_2e舟的通解
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
求解方程y■y一2y=3e的通解
'dxdy
2——=5」+4y—x
』dtdtcdx,dy小
3一=4丄+2x-y
求方程组-dtdt的通解
22
解微分方程x(y-1)dxy(x-1)dy=°
试用逐次逼近法求方程
dx
满足初始条件y(0>
0勺近似解:
求初值问题
I:
n(x^(x)|<
dx
MLn
(n1)!
n*
X_xo
o
y(—i)=o
在区域R:
|x[一1,|y1的解的定义
;:
0(x),':
1x),2x()3,X()
dy22
y—x
利用逐次逼近法,求方程dx适合初值条件y(°)二1的近似解:
■o(x),'i(x),\(x)。
证明解的存在唯一性定理中的第
n次近似解'n(x)与精确解-有如下误差估计式:
区间,并求第二次近似解,给出在存在区间上解的误差估计。
y
xcos—dy二0
dy1-2x
dxx2
26、
27、
28、
29、
30、
31、
32、
33、
34、
35、
36、
37、
38、
39、
40、
41、
42、
43、
44、
yInydx(x「Iny)dy二0
y'=
y
2yInyy-x
dyy2_x
dx2xy
22
2xydx(x「y)dy二0
y3
dx(yInx)dy=0x
ydx-xdy
xdxydy
2x
=0
-气x\
(1+ey)dx+ey1-一dy=0
Iy丿
dyx-y1
=2
dxxy3
(x4y4)dx-xy3dy=0
2』2
(2xy-y)dx亠〔yyxdy=0
y3y"1=0
y"'_y"y'_y=0
y"'_2y"_3y'10y=0
y⑷y=0
y(6)_2y(勾_y"2y=0
-y"=0
y⑷_4y"'8y"_8y'3y=0
y⑷_4y"'6y"_4y'y=0
y"y=xe
45、
46、
47、
48、
49、
50、
51、
52、
53、
54、
55、
56、
57、
58、
59、
60、
61、
62、
63、
64、
65、
66、
2y"3y-y=4—ex
y"_2y—4y=(x2)e3x
X6X13x二d(t2-5t2)
X-x嘉
s"2as,a2s二et
X-4X4x=de211
y"4y'1=0
y"'3y"3y'y二e」(x-5)
y"3y'二2sinxcosx
x2kx2k2x=5k2sinkt(k=0)
y"y=sinxcosx
y"-2y'2y=e^cosx
y"_2y'10y=e»cos2x
xx=sinat,a0
2
2y"5y'二cosx
y"4y=xsin2x
y"2y'=34sin2x
y"-2y'2y=4excosx
y"9y=18cos3x「30sin3x
xx二sint「cos2t
x「2x2x二tetcost
22
y"y'=0
求微分方程1一y的通解。
解下列微分方程组
、dx
-2yi-2y2
(1)
--y2讨2
⑵
=2*
⑶
d%dxdy2dxdya
的通解。
67、
68、
69、
70、
71、
72、
73、
74、
75、
76、
77、
78、
y”=_y’xeCOSX
求X的通解。
求微分方程
yy"
y"2=0
xx的通解。
求微分方程
2
xyy"x(y')-yy‘=0的通解。
求微分方程
y"3y'.2y-sinx的通解。
求微分方程
12x
y"_4y’4y^e
2的通解。
2x
求方程y”-4y'・5y=ecscx的通解。
2
求微分方程Xy2xy’_2y=0的通解。
22
求微分方程xy"2xy^2^x2的通解。
uyx
利用代换cosx将方程y"cosx-2y'sinxVycosx^e化简,并求出原方程的
通解。
dx2
2x—4y4e
(1)dt
Sx-2y
求下列线性微分方程组
dt
鱼=5y4zdx
dz
——=4y十5zkdx
79、
80、
dx.3x4ydt
3=5x2y
dt
2x-5y=4y-x
3x-4y=2x-y
计算题答案
解:
对应的齐次方程y"+2xy=0的通解为y=ce-x2(41)
用常数变易法,可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2
代入方程y1+2xy=2xe-x2得
2
c1(x)=2x因此有c(x)=x+c
所以原方程的通解为y=(x2+c)e-x2
(31)
(ii)
2、解:
按初始条件取
y°(x)=o
%(x)=
w
0【X
2
y0(x)]dx=2
y2(x)=yo
2
0[Xyi(x)]dx=
25
xx
~1~
220
y3(x)=yo
811
•丄•亠
1604400
w2x2X5
0[xy2(x)]dxh亦
3、解:
对应的齐次方程为屮y'-2y=0
特征方程为'+■-2=0解得’=1,-2
对应的齐次方程通解为
x_2x
Y二c(ex2e_
(21)
设方程的一个特征解为y1=Ae-x
贝Hyi1=-Ae-x,y2l=Ae-x
代入解得A=-1/2
4、解:
1丄
从而y1=_2e
故方程的通解为
它的系数矩阵是
(21)
y二丫%=C]exc2e
A,
2
_2x
(21)
|A—hE|=
特征方程
(21)
或为2-10-+9=0
特征根,1=1,二2=9
5、解:
6、
解:
原方程对应于■1=1的一个特解为y1=e:
X1=-e
对应于2=9的一个特解为y1=e9t,X1=e9t
r_t丄2t
』x=c〔e+C2e
I_丄*2t
.原方程组的通解为y=—c1e2c2e
(21)
(21)
(21)
对应的齐次方程y1+2xy=0的通解为用常数变易法,可设非齐次方程的通解为
-x2(41)
y=ce
y=c(x)e-x2
代入方程y1+2xy=4x得c1(x)=4ex2x因此有c(x)=2ex2+c
所以原方程的通解为y=(2ex2+c)e-x2(11)
2
y0(x)=0,yn(x)=y°(x)0[x-ynv(x)]dx
x
Y1(x)=.0xdx
532
20
430
xxxx11—+—+—_——
6
x11
30。
7、解:
11
对应的齐次方程为y
y1-2y=0
特征方程为九+九一2=0,得丸竄
对应的齐次方程通解为
x-2x
Y二qec2e
(21)
因此,第二次近似解为
-X
设方程的一个特征解为y1=Ae
1-x11-x
则y1=_Ae,y1=Ae
8解:
9、解:
代入解得a=-1,而y^-e
(21)
故方程的通解为y=Y.y1=qeX
y
由方程解出y,得
x2-1
c2
故通解为yVx^)
y'_2y=2x3
方程化为x
-c2e
2TP不
2c
y'—2y=0
对应的齐次方程x的通解为
用常数变易法,可设非齐次方程的通解为代入方程得
2
c1(x)=2x因此有c(x)=x+c
所以原方程的通解为y=(x2+c)x2
x
10、解:
取%(x)=0,yn(x)二y°(x)Jx
-2x
-X
-e
代入
y=cx
(31)
(11)
(21)
dx
(41)
y=c(x)x2
0.-y2n/x)]dx
1,dxdy
P得x
dp
2
xX
则yi(x)=oXdx=3
5x
x3
x2
x
11
y2(x)二
+—+—_
—
—
20
6
2
4
30
因此,第三次近似解为
11、解:
对应的齐次方程为y11+y1-2y=0
特征方程为■+■-2=0解得■=1,-2
对应的齐次方程通解为
Y二CieX+C2e-2x(21)
设方程的一个特征解为『[LAe-x
贝yy11=-Ae-x,y111=Ae-x
代入解得A=-2
从而『〔=-26(21)
故方程的通解为y=Y+y1=c1ex+c2e-2x-2e-x(21)
12、
A异
解:
它的系数矩阵是?
1-
—丸1
|A_^E|==0
特征方程21一丸
或为2-4-5=0(21)
特征根'1=-1^'.-2=5
原方程对应于'1=5的一个特解为y1=e5t,X1=e5t(21)
对应于'2=-1的一个特解为y2=-e-t,x2=e-t(21)
■原方程组的通解为
-t42t
x=Gec2e
-t2t
y--c1e2c2e
13、
八y
解:
方程化为x
1x
对应的齐次方程y-y=°的通解为y=ce(41)
用常数变易法,可设非齐次方程的通解为y二c(x)ex
代入方程得C(X)二
1
x因此有C(x)=1n|x|c
(31)
所以原方程的通解为
x
y=e(In|x|*c)(11)
解:
取yo(x)m
yn(x)二y°(x)0[x-y
2
n」(X)]dX
x2
则ydx)=肿dx
y2(x)
xl
2
f3、x
=f
x+
—
丿
dx二
I
7
x
+——
63
因此,第三次近似解为
15、
y3(x)
f3
7、
x
x
x
x2+
—+——
、ol
<3
63丿
x152x11
+
595352079633
解:
对应的齐次方程特征方程为
对应的齐次方程通解为
x-2x
丫二Gec2e
设方程的一个特征解为
xa=_3y1=A「代入解得_2
y^-je
从而2
-X
(21)
故方程的通解为y二丫y1
xI-2x/-x
二qec2e-(3/2)e
16、解:
对应的齐次方程特征方程为Z?
+L2=0解得Z=1,-2
对应的齐次方程通解为
x-2x
Y=C1e+C2e(21)
设方程的一个特征解为yi=Ae-x
代入解得A=-3/2
从而y仁-(3/2)e-x(21)
故方程的通解为y=Y+yi=ciex+C2e-2x-(3/2)e-x(21)
f•
|x2x-3y
17、解:
化简有.y=x-2y
A畀
它的系数矩阵是II
|A—&E|=
特征方程
或为-仁o
特征根r=±1
原方程对应于■1=-1
(21)
的一个特解为
-t-t
y1=e,x1=e
对应于'2=1的一个特解为y2=e:
x2=3et
(21)
(21)
(21)
■y
=12xy=
■:
N
:
x
r亠2t
x=oe+c?
e
t2t
.原方程组的通解为y=_C1e2C2e
所以为全微分方程
2322
将其分组(3xdx4ydy)(6xydx6yxdy)二0
3422
.原方程可写成d[xy3xyH0
34o22
方程的通解为Xy3xy=c
15
x
20
丄x8
160
111
x
4400
佃、解:
%(x)=y(0)=0
x12
呻x)=0+J0(s-0)ds=,x申2(x)=0+jxsr1s^d^1x2x5
'0L(2丿」220
一次近似解为
X213
1(x)=1亠i(1-s)ds=1xx
二次近似解为
2(X)=10
x7
I
1s」s3
3
ds=1xx2」x4
」6
17
63
亠—X
15
X
证:
由:
(x^yo
xo
f(s,(s))ds及迭代列
o(yx)=y(o).
X
n(X)=y。
xf(s,nj(s))ds
xo
岸(x)-%(x)匸JxIf(s,®(s))|ds兰M|X—Xol
0
I「(xIkx
X+x°
Xf£
f
X
I:
(x)-「k1x
|s(s,
MLk
+f)s叭s,ds(
))I
<
(k+1)!
%
J|s_Xo|k*ds
..MLk|,2
|x-Xo|
(k2)!
由归纳法知,对任意
n次近似解,估计式
(1)成立。
22、解:
1)由存在唯一性定理知,解的定义区间为|x1}h°
其中
|x1|一ho=min(a,
22
),M二映乂—yf4
1
4,即得解的定义区间为
|x1|乞1
4。
则二次近似解为
%(x)二
丿s2-y02(s)]d^x3-
3
X22X2
y2(x)=j_Js—y(s)]ds=j」s
3
ds=x
3
74
xxx11
——-——_—+一
42
63189
MLn
3)由误差估计公式
-=|2y$2
其中L是李普希兹常数。
因为
Iy2(x)-y(x)|
即第二次近似解在存在区间上的误差不超过
23、解:
方程可化为
dxxcosy
x作变换
3!
4
24。
=y
24
x,代入方程得到
uX屯乂
dx
cosu
cosudu」
进一步化简,得x
两边积分得sinu=_ln〔x|C
Vu十ddz
代回原变量,得原放通解sin;_Tn|x|C
24、解:
令v=y•2,u=x-3,代入原方程得
v
z=—
这是齐次方程,再作变换u,则方程化为
将变量分离,得
两边积分得
代回原变量,得通解
(1Z)2
z(1z2)
dz=
du
u
(z=0)
In\zu\--2arctanzIn|C|
_2arcce
X」
此外,z=0即y--2也是解,它包含在上述通解中。
25、解:
首先求线性齐次方程
dx
x2
的通解。
分离变量,得
两边积分得
设原方程通解为
2'
y二C(x)xe
,代入原方程,
得到
C'(x)二
1
ex
1
~~2
x
两边积分得
1
C(x)-C「x
于是,所求方程的通解为
1
y=Cx2e'
x2
o
dx
26、解:
若对调X与y的地位,即可把方程化为
dy
yiny
这是以x为未知函数的一阶线性方程,先求线性齐次方程
dx
-J-
dyyIny
0
的通解。
dx
分离变量,得
1
亦dy,两边积分得
x二
Iny
为求得原方程通解,设
C(y)
x=
Iny,代入原方程,得
1
C'(y)Iny
y
两边积分得
C(y“C呼)
所以,所求方程的通解为
X』匹
Iny2
27、解:
若对调x与y的地位,即可把方程化为
空X1
dyy
这是以X为未知函数的一阶线性方程,先求线性齐次方程
dxx
dyy的通解。
分离变量,得
x=C(y)
令
两边积分得
dxdy
两边积分得
,代入原方程,得
C'(y>y
2yIny
C(y)=
所以,所求方程的通解为
dy
C
ylnyy
28、解:
原方程为dx
2x
2y,
2
y,代入上式得
dz
dxx
Z-1
(1)
1可一1
上式两边同乘X,并整理得XX,两边积分得
这样,得到线性方程(1的通解为
z二Cx-xIn|X|
代回原变量,得原方程通解
2
yCx-xIn|x|
此外,y出现在分母位置,不可取o。
29、解:
因为M(x,y)=2xy,
N(x,y)=(x2-y2),所以有
:
:
M(x,y)
:
:
y
=2x=
;:
N(x,y)
30、
32、
于是方程的通解为
u(x,y)
二.oOdxo(x
3
-y2)dy=x2y一_3
x2yC
3
因此这是一个全微分方程。
M(x,y)=
3
N(x,y)=ylnx
把方程重新分项组合,
得到
0
所以,方程的通解为
解:
这里
因此这是
;:
M(x,y)1:
N(x,y)
-7
y3
dxInxdyydy=0x
y
yInxC
4
N(x,y)
Jx2y2
x
+
2.2
xy
■:
y
.x
=_xy(1x
2,2X~2
y)2
2y2
22/22、2
Xy(Xy)
个全微分方程。
即
所以,方程的通解为
dJx2
—2y
y-darctan
VX丿
1x2y2-arctan,=C
x。
"IxyN(x,y)=ey.1-—解:
这里M(x,y)=1ey,.y
y」,经计算知
这是一个全微分方程。
把方程重新分项组合,得到
-0
;:
M(x,y)_:
:
N(x,y)
dx+d
Ye=0
=0
33、
,所以,方程的通解为xyey=Co
2
解:
将方程改写为(x-yT)dx-(x•y•3)dy=0
2
这里M(x,y)=x-y1,N(x,y)--(xy3)
:
:
M(x,y);:
N(x,y)彳
———1
34、
所以
-:
y
.:
x
这是一个全微分方程。
取X。
=0,y0=0,得
y
u(x,y)二0M(x,y°)dx0N(x,y)dy二
于是方程的通解为
4
解:
M(x,y)=xy
所以
「y
xy
0(x1)dx0-(xy3)dy
3
y
-xy3y
3
2
x_
2
3
y
x-xy3y=C
3
N(x,y)二-xy
—=4y3,
■y
33
4yy
3
—xy
£dx
-x
这样,
方程有积分因子
原方程两端乘以x,得到全微分方程
鱼^dx-
3
占dy=0x
d(lnx十)d
<4x丿
,原方程的通解为
x—
dxeydxeydyeydy
22
解:
M(x,y)=2xy-y,N(x,y)=yyx
:
:
y
8N
=4xy_1,1
ex
iy
于是得到然
所以,方程有积分因子
于是原方程可化为
_:
M
鋼■:
x2(2xy_1)2
==——
-M-y(2xy-1)y,
-0
1xd(x)-d—+
dydln|y|)0
因而,方程的通解为
x
x2yln|y|=C
y
36、解:
令y'=P,则
dy,代入方程得
1
Pdp3dy
y
1Cydy1Cy2
P=—T=±
两边积分得y,从而将方程降为一阶方程dxy
将变量分离,易求得其通解为
1Cy2=(CxC1)2。
37、解:
特征方程为
39、解:
特征方程为
■41=0,
‘12
特征根为1
22
故所求通解为
y=e2
Cicos—x+C?
sin—x22
x+e
J
_!
x
Hos返x+C’si卫x]
22
642
40、解:
特征方程为丸—2扎—丸—2=Q因式分解为
(―、2)(‘•..2)(‘一1)(’2T)=Q
特征根为「二'、2,'2=-'-2,'3",'4=-1,'5,6=-1,故所求通解为
y=Ge2x+。
2护,2<+C3ex+C4e」+C5cosx+CeSinx
41、解:
特征方程为■-=Q,
特征根为‘4=一1,'2,3=1,'3,4=0(二重),故所求通解为
y=CiC2xC3e^C4ex
2r2
42、解:
特征方程为,4-4'3・8'2-8'二,0因式分解为(’-1)('-23^Q
特征根为,仁二_1(二重),‘3,4=1_、2i,故所求通解为
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- 微分方程 算题