完整版湖南高考数学理科高考试题word版附答案docx.docx
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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。
1
i
,则|z|
1.设z
2i
1
i
1
A.0
B.
1
D.2
C.
2
2.已知集合A
xx2
x2
0,则eRA
A.x1x2
B.x1x2
C.x|x
1Ux|x2
D.x|x
1Ux|x2
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
建设后经济收入构成比例
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.设Sn为等差数列
a
的前n项和,若3S3S2
S4,a12,则a5
n
A.12
B.10
C.10
D.12
5
.设函数f(x)x3
(a
1)x2
ax,若f(x)为奇函数,则曲线
y
f(x)在点(0,0)
处的切线方程为
A.y
2x
B.y
x
C.y2x
D.yx
.在△ABC中,AD为BC边上的中线,
uuur
6
E为AD的中点,则EB
3uuur
1uuur
1uuur
3uuur
3uuur
1uuur
1uuur
3uuur
A.AB
AC
B.
AB
AC
C.
AB
AC
D.AB
AC
4
4
4
4
4
4
4
4
7.某圆柱的高为2,底面周长为
16,其三视图如图.圆柱表面上的点
M在正视图上的对应点为
A,圆柱
表面上的点N在左视图上的对应点为
B,则在此圆柱侧面上,从
M到N的路径中,最短路径的长度为
A.217
B.25
C.3
D.2
8.设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为
uuuur
uuur
2的直线与C交于M,N两点,则FM
FN=
3
A.5
B.6
C.7
D.8
ex,x
0,
xa.若g(x)存在2
个零点,则a的取值范围是
9.已知函数f(x)
g(x)f(x)
lnx,x
0,
A.[–1,0)
B.[0,+∞)
C.[–1,+∞)
D.[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直
角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为
I,黑色部分记为
II,其
余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自
I,II,III的概率分别记为
p1
,
p2
,
p3
,则
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
11.已知双曲线C:
x2
y2
1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分
3
别为M、N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=
A.3
B.3
C.23
D.4
2
12.已知正方体的棱长为
1,每条棱所在直线与平面
α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大
值为
A.33
B.23
C.32
D.
3
4
3
4
2
二、填空题:
本题共4小题,每小题
5分,共20分。
x
2y
2
0
13.若x,y满足约束条件
x
y1
0
,则z
3x2y的最大值为_____________.
y
0
14.记n为数列a
n
的前
n
项和,若n
n
1
,则6
_____________.
S
S2a
S
15.从2位女生,4位男生中选
3人参加科技比赛,且至少有
1位女生入选,则不同的选法共有_____________
种.(用数字填写答案)
16.已知函数
fx
2sinx
sin2x,则f
x
的最小值是_____________.
三、解答题:
共
70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。
第
22、23
题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(12
分)
在平面四边形ABCD中,
ADC
90o,
A
45o,
AB
2,
BD
5.
(1)求cosADB;
(2)若DC
22,求
BC.
18.(12
分)
如图,四边形
ABCD
为正方形,
E,F
分别为
AD,BC
的中点,以
DF
为折痕把
△DFC
折起,使点
C
到达点
P的位置,且
PF
BF
.
(1)证明:
平面PEF平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.(12
分)
设椭圆
C:
2x
y
1的右焦点为
F
,过
F
的直线
l与C交于
A,B
两点,点
M
的坐标为
(2,0)
.
2
(1)当
l与
x轴垂直时,求直线
AM
的方程;
(2)设
O为坐标原点,证明:
OMA
OMB
.
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合
格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下
的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互
独立.学科&网
(1)记20件产品中恰有
2件不合格品的概率为
f(p),求
f(p)
的最大值点
p0.
(2)现对一箱产品检验了
20件,结果恰有
2件不合格品,以(
1)中确定的
p0作为
p的值.已知每件
产品的检验费用为
2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付
25元的赔偿费
用.学.科网
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X
,求
EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12分)
已知函数f(x)
1
xalnx.
x
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点
x1,x2
fx1
fx2
a2
.
,证明:
x2
x1
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4–:
4坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标
系,曲线C2的极坐标方程为
2
2cos30.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求
C1的方程.
23.[选修4–5:
不等式选讲](10分)
已知f(x)
|x1||ax
1|.
(1)当a
1时,求不等式
f(x)
1的解集;
(2)若x
(0,1)时不等式
f(x)
x成立,求a的取值范围.
参考答案:
123456789101112
CBABDABDCABA
13.6
14.
63
15.16
3
3
16.
2
17.(12分)
解:
(1)在△ABD中,由正弦定理得
BD
AB
sin
Asin
.
ADB
由题设知,
5
2
,所以sin
ADB
2
sin45
.
sinADB
5
由题设知,
ADB
90,所以cosADB
2
23
1
.
25
5
2
(2)由题设及
(1)知,cosBDCsinADB.
5
在△BCD中,由余弦定理得
BC2BD2DC22BDDCcosBDC
2582522
2
5
25.
所以BC5.
18.(12分)
解:
(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由
(1)得,PH⊥平面ABFD.
uuuruuur
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由
(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得PH
3,EH
3
.
2
2
则H(0,0,0),
P(0,0,
3),D(
1,3
uuur
(1,3,
3),
uuur
(0,0,
3)为平面ABFD的法向量.
0),DP
HP
2
2
2
2
2
uuur
uuur
3
3
设DP与平面ABFD所成角为
,则sin|
HP
DP
4
.
uuur
uuur|
3
4
|HP|
|DP|
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
3
4
.
19.(12分)
解:
(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
由已知可得,点
A的坐标为(1,
2)或(1,
2).
2
2
所以AM的方程为y
2x
2或y
2x
2.
2
2
(2)当l
与x轴重合时,OMA
OMB
0
.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以
OMA
OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l
的方程为y
k(x
1)(k
0)
,A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1
2,x2
2,直线MA,MB的斜率之和为kMA
kMB
y1
y2
.
x12x2
2
由y1kx1
k,y2
kx2
k得
kMA
kMB
2kx1x2
3k(x1
x2)
4k
(x1
2)(x2
2)
.
将yk(x
1)代入x2
y2
1得
2
(2k2
1)x2
4k2x2k2
20.
所以,x1
x2
4k2
x1x2
2k2
2
.
1
2k
1
2k2
2
则2kx1x2
3k(x1
x2)
4k
4k3
4k
12k3
8k3
4k
0
.
2k2
1
从而kMA
kMB0,故MA,MB的倾斜角互补,所以
OMA
OMB.
综上,OMAOMB.
20.(12分)
解:
(1)20件产品中恰有
2件不合格品的概率为
f(p)
C202p2(1p)18
.因此
f(p)
C202[2p(1
p)18
18p2(1p)17]2C202p(1
p)17(1
10p).
令f(p)
0,得p
0.1.当p(0,0.1)时,f
(p)
0
;当p
(0.1,1)
时,f(p)0.
所以f(p)的最大值点为
p00.1.
(2)由
(1)知,p
0.1.
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y:
B(180,0.1),X20225Y,
即X4025Y.
所以EX
E(40
25Y)
40
25EY
490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为
400元.
由于EX
400,故应该对余下的产品作检验.
21.(12分)
解:
(1)f(x)的定义域为
(0,
),f(x)
1
a
x2
ax
1
x2
1
x2
.
x
(i)若a
2,则f
(x)
0,当且仅当a
2,x
1时f(x)
0,所以f(x)在(0,
)单调递减.
(ii)若a
2,令f(x)
0得,x
a
a2
4
a
a2
4
.
2
或x
2
当x
(0,a
a2
4)U(a
a2
4,
)时,f(x)
0;
2
2
当x
(a
a2
4,a
a2
4)时,f(x)
0
.所以f(x)在(0,a
a2
4),(a
a2
4,
)单
2
2
2
2
调递减,在(a
a2
4
a
a2
4)单调递增.
2
2
(2)由
(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当
a
2.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2
ax
1
0,所以x1x2
1,不妨设x1
x2,则x2
1.由于
f(x1)
f(x2)
1
lnx1
lnx2
lnx1
lnx2
2ln
x2,
x1
x2
x1x2
1a
x1
x2
2a
x1
x2
2a1
x2
x2
所以f(x1)
f(x2)
a
2等价于1
x2
2lnx2
0.
x1
x2
x2
设函数g(x)
1
x
2lnx,由
(1)知,g(x)在(0,
)单调递减,又g
(1)
0,从而当x(1,
)
x
时,g(x)
0
.
所以
1
2lnx2
0
,即
f(x1)
f(x2)
a
2
.
x2
x1
x2
x2
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
【解析】
(1)由x
cos
,y
sin
得C2的直角坐标方程为
(x
1)2
y2
4.
(2)由
(1)知C2是圆心为A(
1,0),半径为
2的圆.
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