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集合
第一章集合
第一课时集合的含义
1.元素与集合的概念
(1)元素:
一般地,我们把研究对象统称为元素.
(2)集合:
把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).
2.集合中元素的特性
集合中元素具有三个特性:
确定性、互异性、无序性
3.集合的相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称两个集合是相等的.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.( 错 )
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的.(对 )
(3)由-1,1,1组成的集合中有3个元素.( 错 )
下列所给的对象能构成集合的是___1/3/4_____.
①所有的正三角形;
②比较接近1的数的全体;
③某校高一年级所有16岁以下的学生;
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合;
⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员
⑥
的近似值的全体.
1.元素与集合的表示
(1)元素的表示:
通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
(2)集合的表示:
通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
2.元素与集合的关系
(1)属于:
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.
(2)不属于:
如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.
3.常用数集及符号表示
数集
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
用“∈”或“∉”填空:
____N;-3____Z;
____Q;0____N*;
____R
给出下列6个关系:
①
∈R,②
∈Q,③0∉N,④
∈N,⑤π∈Q,⑥|-2|∉Z.
其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合,则点(0,0)________A,(1,1)______A,(-1,1)______A.
若a和a2都是集合A中的元素,则实数a的取值范围是什么?
已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m为( )
A.2B.3
C.0或3D.0,2,3均可
a,b,c,d为集合A的四个元素,那么以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是( )
A.矩形B.平行四边形
C.菱形D.梯形
已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值
集合的表示方法
列举法
把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为________【答案】 {5,7,9}
1.定义:
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
2.具体方法:
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
(1)集合0∈{x|x>1}.(错)
(2)集合{x|x<5,x∈N}中有5个元素.( 对 )
(3)集合{(1,2)}和{x|x2-3x+2=0}表示同一个集合.( 错 )
(1)36与60的公约数组成的集合;
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根组成的集合;
(3)一次函数y=x-1与y=-
x+
的图象的交点组成的集合
1.用列举法书写集合时,应先明确集合中的元素是什么.如本题(3)是点集{(x,y)},而非数集{x,y}.集合的所有元素用“{ }”括起来,元素间用分隔号“,”.
2.元素不重复,元素无顺序,所以本题
(2)中,{4,4,2}为错误表示.
3.对于含较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号
1.用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合;
(2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;
(3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;
(4)由所有正整数构成的集合
(1)比1大又比10小的实数的集合;
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合;
【自主解答】
(1){x∈R|1 (2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}. (3){x|x=3n+1,n∈N}. 利用描述法表示集合应注意以下两点: 1.用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素. 2.若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范围,如本例(3). 用另一种方法表示下列集合: (1){能被3整除且小于10的正数}; (2){(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*}; (3){-3,-1,1,3,5}; (4){自然数中六个最小数的平方}; (5){y|y=-x2+6,x∈N,y∈N}. (1){3,6,9}. (2){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. (3){x|x=2k+1,-2≤k≤2,k∈Z}. (4){0,1,4,9,16,25}. (5)∵y=-x2+6≤6,且x∈N,y∈N,∴x=0,1,2,y=6,5,2.∴集合为{2,5,6}. 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k (1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题 (2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0只有一个实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意. 综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1} 已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围. 1.用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为( ) A.{3,4}B.A={2,3,4,5} C.{2 【解析】 大于2且小于5的自然数为3和4,所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}. 【答案】 A 2.如果A={x|x>-1},那么( ) A.-2∈AB.{0}∈A C.-3∈AD.0∈A 【解析】 A.∵-2<-1,∴A错误.B.{0}为集合,不是元素,∴B错误.C.∵-3<-1,∴C错误.D.∵0>-1,∴0∈A成立.故选D. 【答案】 D 3.若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示B=________. 【解析】 由题意知,A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},∴B={4,9,16}. 【答案】 {4,9,16} 4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为________. 【解析】 ∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4, ∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}. 【答案】 {-1,4} 5.用适当的方法表示下列集合: (1)方程组 的解集; (2)所有的正方形; (3)抛物线y=x2上的所有点组成的集合. 【解】 (1)解方程组 得 故解集为{(4,-2)}. (2)集合用描述法表示为{x|x是正方形},简写为{正方形}. (3)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2}. . 集合第二课时 1.集合的基本关系 2.1.子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集. AB(或BA) 3.2.Venn图 4.用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 5.3.集合的相等 (1)条件: A⊆B且B⊆A; (2)表示: A=B; (3)Venn图: . (1)0⊆{x|x<5,x∈N}.( 错 ) (3)若集合A中有3个元素,则集合A共有7个真子集.( 对 ) 空集 1.定义: 不含任何元素的集合,叫做空集. 2.符号表示为: ∅. 3.规定: 空集是任何集合的子集. 6.下列四个集合中,是空集的为( B ) 7.A.{0} B.{x|x>8,且x<5} C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4} 8.子集的性质: (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C. 下列命题中正确的有________.(写出全部正确的序号) ①{2,4,6}⊆{2,3,4,5,6};②{菱形}⊆{矩形};③{x|x2=0}⊆{0};④{(0,1)}⊆{0,1};⑤{1}∈{0,1,2};⑥{x|x>1}{x|x≥2} 1.判断集合间关系的方法 (1)定义法.判断一个集合A中的元素是否全部属于另一个集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B的子集. (2)数形结合法.利用数轴或Venn图判断. 2.写有限集合的子集时,要注意两个特殊的子集∅和自身,按照元素个数分类写出,避免重复或遗漏. 集合 ={0,a2,a+b},则a2016+b2015的值为( B ) A.0B.1 C.-1D.±1 设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b=______4_______. 若A={x|x>1},B={x|x≥a},若A⊆B,则实数a满足什么条件? 若B⊆A呢? 【提示】 如图 (1),若A⊆B,则a≤1;如图 (2),若B⊆A,则a>1. 探究2 设集合A={x|ax+1=0},B={x|ax2+x+1=0},C={x|a+1 若可能是空集,实数a的值或范围分别是什么? 【提示】 集合A,B,C可能是空集.当a=0时,集合A是空集,当a> 时,集合B是空集,当a≤1时,集合C是空集. 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1 (1)当B=∅时,m+1≤2m-1,解得m≥2. (2)当B≠∅时,有 解得-1≤m<2,综上得m≥-1. 1.利用集合的关系求参数的范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题. 2.空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面. 已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q⊆P,那么a的取值是___ 0或±1 2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( B ) 4.设集合A={x|1 A.{a|a≤2}B.{a|a≤1} C.{a|a≥1}D.{a|a≥2} 并集、交集 1.并集的定义 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集,记作A∪B A∪B= {x|x∈A,或x∈B} 2.并集的性质 A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪∅=A,A⊆A∪B. (1)两个集合的并集中元素的个数一定多于这两个集合中元素个数之和.( 错 ) (2){1,2,3,4}∪{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3}.( 错 ) (3)若A∪B=A,则A⊆B.( 错 ) 1.交集的定义 自然语言 符号语言 图形语言 对于两个给定的集合A,B,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B A∩B={x|x∈A,且x∈B} 2.交集的性质 A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B⊆A. 1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( D ) A.{1,2,3}B.{1,2,4} C.{2,3,4}D.{1,2,3,4} 已知集合A={x|-3≤x<4},B={x|-2≤x≤5},则A∩B=( B ) A.{x|-3≤x≤5}B.{x|-2≤x<4} C.{x|-2≤x≤5}D.{x|-3≤x<4} 1.若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性. 2.若集合中元素个数无限,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值的取舍. 若A={x|x2=1},B={x|x2-2x-3=0},则A∩B=________. 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. (1)由题可知: A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.∵A∩B={2},∴2∈B, 将2带入集合B中,得4+4(a-1)+(a2-5)=0,解得a=-5或a=1. 当a=-5时,集合B={2,10},符合题意; 当a=1时,集合B={2,-2},符合题意. 综上所述: a=-5,或a=1. (2)若A∪B=A,则B⊆A,∵A={1,2},∴B=∅或B={1}或{2}或{1,2}. 若B=∅,则Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=24-8a<0,解得a>3, 若B={1},则 即 不成立 若B={2},则 即 不成立, 若B={1,2},则 即 不成立综上a>3. 2.集合运算常用的性质 (1)A∪B=B⇔A⊆B; (2)A∩B=A⇔A⊆B; (3)A∩B=A∪B⇔A=B. .设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0},若A∪B=A,求实数a的取值集合. 【解】 A={1,2}.∵A∪B=A, ∴B⊆A,故分B=∅和B≠∅两种情况讨论. (1)B=∅时,方程x2-4x+a=0无实数根, 则Δ=16-4a<0,解得a>4. (2)B≠∅时,当Δ=0时,a=4,B={2}⊆A满足条件; 当Δ>0时,若1,2是方程x2-4x+a=0的根, 由根与系数的关系知矛盾,无解,所以a=4. 所以a的取值集合为{a|a≥4}. 1.设集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B=( A ) A.{2,3}B.{0,1} C.{0,1,4}D.{0,1,2,3,4} 2.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2<x≤5},则A∪B=( B ) A.{x|2 C.{x|-1 3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.a<2 B.a>-2 C.a>-1D.-1 4.设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则( B ) A.a=3,b=2B.a=2,b=3 C.a=-3,b=-2D.a=-2,b=-3 5.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<3,或x≥7},求: (1)A∪B; (2)C∩B. 补集及综合运用 1.全集 (1)定义: 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集. (2)记法: 全集通常记作U. 2.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 3.补集的性质 ∁UU=∅,∁U∅=U,∁U(∁UA)=A. (1)只有实数R才可以做为全集U.( ) (2)一个集合的补集一定含有元素.( ) (3)集合∁ZN与集合∁ZN*相等.( ) (2)已知全集U={x|x>0},∁UA={x|1 (1)已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(∁UA)={2},A∩(∁UB)={4},U=R,求实数a,b的值; (2)已知集合A={x|2a-2 (2)求出∁RB,根据A∁RB,列出不等式组,可求a的取值范围. (1)∵B∩(∁UA)={2},∴2∈B,但2∉A.∵A∩(∁UB)={4},∴4∈A,但4∉B. ∴ 解得 ∴a,b的值分别为 ,- . (2)∁RB={x|x≤1,或x≥2}≠∅. ∵A∁RB,∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论. ①若A=∅,此时有2a-2≥a,∴a≥2. ②若A≠∅,则有 或 ∴a≤1. 综上所述,a≤1,或a≥2. 已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}且A⊆∁UB,求实数a的取值范围. 若B=∅,则a+1>2a-1,则a<2, 此时∁UB=R,∴A⊆∁UB; 若B≠∅,则a+1≤2a-1,即a≥2, 此时∁UB={x|x2a-1}. 由于A⊆∁UB,如图, 则a+1>5,∴a>4. ∴实数a的取值范围为{a|a<2,或a>4}.
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