大学计算方法历年期末考试试题大全含完整版答案及重点内容集锦.docx
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大学计算方法历年期末考试试题大全含完整版答案及重点内容集锦.docx
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大学计算方法历年期末考试试题大全含完整版答案及重点内容集锦
武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦
武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷《计算方法》(A卷)(36学时用)
学院:
学号:
姓名:
得分:
一、(10分)已知y=f(x)的三个值
(1)求二次拉格朗日插值L2(x);
(2)写出余项R2(x)。
二、(10分)给定求积公式
ò
1-1f(x)dx»f(-13)+f(13)求出其代数精度,并问是否是Gauss型公式。
æ2aç三、(10分)若矩阵A=ç0
ç0èaa00ö÷0÷,说明对任意实数a¹0,方程组AX=b都a÷ø是非病态的(范数用×¥)。
四、(12分)已知方程ex+10x-4=0在[0,0.4]内有唯一根。
迭代格式A:
xn+1=ln(4-10xn);迭代格式B:
xn+1=试分析这两个迭代格式的收敛性。
五、(12分)设方程组
æa11ççaè21a12öæx1÷ç÷a22øçèx2öæb1ö÷÷=ççb÷÷,其中a11a22¹0,øè2ø110(4-exn)
分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式,并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。
六、(12分)已知y=f(x)的一组值
2.2
1.0分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算òf(x)dx
七、(12分)20XX年5月左右,北美爆发甲型H1N1流感,美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。
为使计算简单,分别用x=-1,0,1,2代表20XX年5月2,3,4,5日。
根据上面数据,求一条形如y=ax2+bx的最小二乘拟合曲线。
八、(12分)用改进欧拉方法(也称预估-校正法)求解方程:
ìy¢=x+y2
xÎ[0,í
îy(0)=1(取步长h=0.5)1]。
九、(10分)对于给定的常数c,为进行开方运算,需要求方程x2-c=0的根。
(1)写出解此方程的牛顿迭代格式;
(2)证明对任意初值x0>c,牛顿迭代序列{xn}单调减且收敛于c.
武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷
1、解:
(1)二次拉格朗日插值为
L2(x)=0.2×(x-1)(x-2)+(-1.8)×(x-0)(x-2)+1.8×(x-0)(x-1)=5x-211x+2(0-1)(0-2)(1-0)(1-2)(2-0)(2-1)
=
(2)余项为Rf’’’(x)
2(x)=3!
x(x-1)(x-2)
2、解:
当f(x)=1时,左边=2,右边=2;当f(x)=x时,左边=0,右边=0;
当f(x)=x2时,左边=22
3,右边=3;
当f(x)=x3时,左边=0,右边=0;
当f(x)=x4时,左边=2
5,右边=2
9,左边¹右边;
于是,其代数精度为3,是高斯型求积公式。
æ1/2a-1/2a0ö
3、解:
A-1=ç
ç01/a0÷-
ç÷Þ||A1||¥=1/|a|
è001/a÷ø
而||A||¥=3|a|,于是cond(A)-1¥=||A||¥||A||¥=3,所以题干中结论成立。
4、解:
(1)对于迭代格式A:
xn+1=ln(4-10xn),其迭代函数为j(x)=ln(4-10x)=-10
4-10x=-5
2-5x,在[0,
|j(x)|=5
2-5x>1,
所以发散。
(2)对于迭代格式B:
x1
n+1=10(4-exn),其迭代函数为j(x)=-lx
10e,在[0,0.4]|j(x)|=1ex
10<1,
所以收敛。
220.4]内
5、解:
(1)Jocobi迭代法:
æx1(k+1)öæ1/a11ç(k+1)÷=-ç
è0èx2ø0æ
=-ç
èa21/a22
öæ0÷ç1/a22øèa21
a12öæx1(k)öæ1/a11
÷+ç÷ç
0øèx2(k)øè0
öæb1ö÷ç÷1/a22øèb2ø0
a12/a11öæx1(k)öæb1/a11ö
÷ç(k)÷+ç÷
0b/aøèx2øè222øa12/a11
=l-
2
因为
l
a21/a22
a21a12a11a22
l
=0Þl=ÞrJ=
(2)Gauss-Seidel迭代法:
1/a11æx1(k+1)öæ
=-ç(k+1)÷ç
xè-a21/a11a22è2øæ0=-ç
è0
a12/a11a21a12/a11a22
a12/a11
01/a22
öæ0÷çøè0
1/a11a12öæx1(k)öæ+÷ç÷ç
0øèx2(k)øè-a21/a11a22
ö÷ø
ÞrG=|
a21a12a11a22
|01/a22
öæb1ö÷ç÷øèb2ø
(k)
b1/a11öæx1öæ
÷ç(k)÷+ç
øèx2øè-b1a21/a11a22+b2/a22
因为
l
l-a21a12/a11a22
=l(l-
a21a12a11a22
)=0Þl=
a21a12a11a22
综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。
6、解:
(1)复化梯形公式(h=0.2)
ò
2.21.0
f(x)dx=
=
h2
´[y0+2´(y1+y2+y3+y4+y5)+y6]
0.22
´[-1+2´(-2+0+2+3+4)+1]=1.4
(2)复化辛普森公式(h=0.4)
ò
2.21.0
f(x)dx=
=
h66
´[y0+2´(y2+y4)+4´(y1+y3+y5)+y6]
0.4
´[-1+2´(0+3)+4´(-2+2+4)+1]=1.26667
7、解:
依题意,可知
æ1
ç0çç1çè4
-1öæ160ö÷ç÷0æaö226÷ç÷ç÷=
1÷èbøç279÷÷ç÷2ø430èø
-1öæ160ö
÷ç÷0æaöæ1014ö226÷ç÷ç÷=ç÷
1÷èbøè-1012øç279÷÷ç÷2ø430èø
æ1ç
æ1014öç0Þç÷è-1012øç1
çè4
æ18Þçè88öæaöæ2195ö÷ç÷=ç÷6øèbøè997ø
ìa=111.5Þíb=5.5î
ìyn+1=yn+h(xn+yn2)ï8、解:
í2h2y=y+(x+y+x+y]ïn+1nnnn+1n+1î2
y0=1n=0,1.
y1=y0+h(x0+y0)=1+0.5(0+1)=1.5
y1=y0+h2(x0+y0+x1+y1)=1+
222220.52(0+1+0.5+1.5)=1.9375222y2=y1+h(x1+y1)=1.9375+0.5(0.5+1.9375)=4.0645
y2=y1+h2(x1+y1+x2+y2)=1.9375+220.52(0.5+1.9375+1+4.0645)=7.381022
9、解:
(1)牛顿迭代格式xk+1=xk-f(xk)f(xk)’=xk-xk-c2xk2=xk+c2xk2
(2)因为x>0时,f’(x)>0,f’’(x)=2>0,所以取任意x0>c作为初始值,迭代序列必收敛到c,故迭代公式是收敛的。
武汉大学2009--2010学年第二学期考试试卷《计算方法》(A卷)(36学时用)
学院:
学号:
姓名:
得分:
é1
0一、(10分)设A=ê
ê
êë02-103ùú4,x=(1,2,1)T,求范数Axú1úû¥、谱半径r(A)、
条件数Cond(A)¥
二、(10分)已知y=f(x)的一组值:
分别求二次拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式。
三、(10分)已知数据
求形如y=a+bx+cx2的最小二乘拟合曲线。
四、(15
分)已知3x2-ex=0的三个根分别位于区间[-1,0],[0,1],[3.5,4]内。
(1)分别讨论迭代格式xn+1=xn2(n=0,1,L)求这三个根时的收敛性。
(2)写出求[3.5,4]内根的牛顿迭代格式,并说明如何选取初值x0,使牛顿
迭代收敛于[3.5,4]内的根。
五、(10分)用杜利特尔(Doolittle)分解算法求解方程组Ax=b,
其中
é2êA=4
êêë6
-116
-1ùé20ù
úêú-3b=44úêú
ê-2úûë68úû
六、(15分)设方程组
é1êaêêë0
a1a
0ùéx1ùéb1ù
úêúêúax2=b2úêúêú1úûêëx3úûêëb3úû
(1)分别写出雅可比迭代格式及高斯-赛德尔迭代格式;
(2)问常数a取何值时,雅可比迭代格式收敛。
七、(10分)已知y=f(x)的一组值
2.21.0
f(x)dx
分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算ò
八、(10分)用改进欧拉法(也称预估-校正法)求解方程(取步长h=0.5):
ìdy
=ln(x+y)ï
xÎ[0,ídx
ïy(0)=1î
1](取5位有效数字计算)
九、(10分)在[a,b]òf(x)dx»
ab
n
åA
i=0
i
f(xi)为插值型求积公式。
(1)导出系数Ai的公式;
(2)证明此求积公式的代数精度大于等于n,且不超过2n+1.
计算方法2010春A卷参考答案(2010-5-29)
一、A-1é1ê=0ê
êë02-10-11ùú4,Aú1úû¥=8,r(A)=1,Cond(A)¥=6´14=84
二、L2(x)=N2(x)=-x2+7x-2
三、j0(x)=1,
é1
êTA=-2ê
êë41-11j1(x)=x,100111j2(x)=x21ùéaùúêú2,C=b,y=[0úêúê4úûëcúû1210]T
é5
êTTAAC=Ay,0ê
êë10
a=58
35,b=0,01003
710ùú0ú34úûéaùé4ùêúêúb=0êúêúêëcúûêë2úûc=-
x四、(1
)j(x)=x2。
在区间[0,1]
上,j¢(x)=2<1,所以求[0,1]4]上,j¢(x)>1,迭代发散。
而在[-1,0]上,对任意x0,迭代得到的xn均为正值,所以迭代发散。
(2)设f(x)=3x
é1
ê五、A=LU=2ê
êë30130ùé2úê00úê1úûêë0
4,
1,2-ex,在[3.5,4]内,f¢(x)<0,f¢¢(x)<0,取x0>x*,直接取x0=4-130-4)T-1ùú-1ú4úûLy=b,解得y=(20,Ux=y,解得x=(10,
éx1(k+1)ùé0
ê(k+1)úê六、Jacobiêx2ú=-aêêx(k+1)úê0ë3ûë-1)T-a0-a(k)0ùéx1ùéb1ùúê(k)úêú-aêx2ú+b2,G-S迭代类似(略)。
úêú(k)êú0úûëx3ûêëb3úû
Jacobi迭代阵为é0êBJ=-a
êêë0
-a0-a
0ù
ú
-a,特征值为l=0,ú0úû
±
,
谱半径
r(BJ)=<1,所以
-
七、复化梯形T=复化辛卜生S=
八、f(x,y)=ln(x+y),
h=0.5,
x0=0,
x1=0.5,
h3h2
2
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