动量守恒定律计算专题答案解析讲解.docx
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动量守恒定律计算专题答案解析讲解
动量守恒定律的综合应用
1、质量为M长为L的木块静止在光滑水平面上,现有一质量为m的子弹以水平初速度V。
射入木块,穿出时子弹速度为v,求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。
动量守恒:
mVo=Mv木+mV
v木=(mV)-mV)/M
能量损失E=m(v。
)2/2-M((mVo-mV)/M)2/2
2、如图所示,在竖直平面内,一质量为M的木制小球(可视为
质点)悬挂于O点,悬线长为L.一质量为m的子弹以水平速度Vo射入木球且留在其中,子弹与木球的相互作用时间极短,可忽略不计.
(1)求子弹和木球相互作用结束后的瞬间,它们共同速度的大小;
(2)若子弹射入木球后,它们能在竖直平面内做圆周运动,vo应为多大?
(1)由动量守恒mvo=(m+Mv
所以V=mvo(/m+M)
(2)设小球在竖直平面内做圆周运动时,通过最高点的最小速
度为V,
根据牛顿第二定律有(m+M)g=(m+M)v‘2/L
小球在竖直平面内做圆周运动的过程中机械能守恒,
取小球做圆周运动的最低点所在水平面为零势能平面,
所以(m+M)v2/2=2(m+M)gL+(m+M)v‘2/2
解得vo=(m+M/m?
5gL
即vo>(m+M)/m?
5gL
3、如图所示,长为L、质量为M的小船停在静水中,一个质量为m的人站在船头,若不计水的y庆」阻
*I**I
力,当人从船头走到船尾的过程中,人相对地面的位移各是多少?
设某时刻人对地的速度为v人,船对地的速度为V船,取人行
进的方向为正方向,
根据动量守恒定律有:
m人v人-m船v船=0即v船:
v人=v人:
m船.
人的位移s人=V人t,船的位移s船=V船t,
所以船的位移与人的位移也与它们的质量成反比,即s船:
s人=口人:
m船①
由图中可以看出:
s船+s人=L②
叫%
由①②两式解得s人=「•11L,s船=匕一、L
4、如图所示,在光滑的水平面上有两物体m和m2,其中m2静止,m以速度v0向m2运动并发生碰撞,设碰撞中机械能的
损失可忽略不计.
求两物体的最终速度.并讨论以下种情况,
m>>m时,m和m2的速度分别是多少?
m=m时,m和m2的速度分别是多少?
m< m、m碰时动量守恒 mvo=mvi+mv2--- ① 弹性碰撞机械能守恒 mvo2/2=miVi2/2+m2V22/2- ② 由①②得: 2 mvo-mivi 2=mv22,即: vo+vi=v2 ③ 由①③得: Vi=(mi-m2)vo/(mi+m)— ④ v 2=2mvo/(mi+m) ⑤ 讨论: ①m=m时,vi=0,V2=vo两球交换速度 2m>m时,vi、V2与④⑤式相等vi>0,V2>0 3mvm时,vi、V2与④⑤式相等vi<0,V2>0 4m< 5m>>m时,vi=v、V2~2V2,m不受影响,m碰后飞出去. 5、如图所示,一个质量为m的玩具青蛙,蹲在质量为M的小 车的细杆上,小车放在光滑的 水平桌面上.若车长为L,细杆高为h,且位于小车的中点, 试求玩具青蛙至多以多大的水平速度跳出,才能落到车面上? 解; (1)由物块与千弹一起恰能通过轨道最高点小 1 由牛顿第二定律得’(灯亠朋逗=口厂加二・22? 物体与子弹组成的系统机械能守恒, 由机械能守屯定谭得: \(M+m)七汁〔M+血)計2尺二2(M+m) 代入数据解得s^-=6r/e; ■ (2〕系统动童守恒,以向右为正方向, 由动量守恒定律得: JfiV=(爪+皿〕V-r 代入数IS解得: v-600m/s; (3)由能量守恒定律得: 1,I° iE=-mvi-71K+m)v-tj 代入数据解得;AE=17S2J; 6、如图所示,ABC[是由两部分光滑轨道平滑连接在一起组成的,AB为水平轨道,BCD是半径为R的半圆弧轨道,质量为M 的小物块,静止在AB轨道上,一颗质 7 为m子弹水平射入物块但未穿出,物块与子弹一起运动,恰能贴着轨道内侧通过最高点从D点飞出.取重力加速度g,求: 物块与子弹一起刚滑上圆弧轨道B点的速度; 子弹击中物块前的速度;系统损失的机械能. 解: m由物块与千弹一起恰能通过轨道最高点d, 由牛顿第二定律得: . 2R 物体与干弹组成的系统机械能守恒, 宙机械能守恒定谭得=[CM+m)寸J+5+2計西丄(M+m) 代入数据解得: v-=6m/£; (2〕系颈动童守恒■以向右为正方向, 由动量守恒定律得: jnv=(M+m] 代入数4S解得: v=600m/s; ⑶由能量守恒定律得: 1°1° AE=-mvi-7IM+m)v=S ! ■jF 代入数据解得: AE=17S2J; 7、如图所示,木块A和B的质量分别为m和mi,固定在轻质弹簧的两端,静止于光滑的水平面上.现给A以向右的水平速 中, 为 度Vo,问在两物体相互作用的过程什么时候弹性势能最大,其最大值多少? 求弹簧恢复原长时两物体的度. 解: 木块A、B相互作用过程中,速度相等时弹簧的弹性势能最大,设共同速度的大小为V. 由动量守恒定律有mvo=(m+m2)v① 木块A、B减少的动能转化为弹簧的弹性势能,有 1212一 E弹=—△Ek=2耐0—2(m+m)v② 由①②式联立解得弹簧的弹性势能的最大值为: 2 mmvo m+m 8、如图所示,在光滑的水平面上有一静止的光滑曲面滑块,质量为m2.现有一大小忽略不计的小球,质量为mi,以速度v0冲向滑块,并进入滑块的光滑轨道,设轨道足够高.求小球在轨 道上能上升的最大高度.若m2=m,则两物体最后速度分别为多少? 解: 小球和滑块具有相同速度时,小球的上升高度最大, 设共同速度的大小为V.由动量守恒定律有m1v0=(ml+n2)v 设小球在轨道上能上升的最大高度为h.由于水平面光滑,故 小球和滑块组成的系统机械能守恒,以水平地面为零势能面, 1212 2mivo=2(m+m)v+mgh 9、如图所示,一大小可忽略不计、质量为mi的小物体放在质 量为m2的长木板的左端,长木板放在光滑的水平面上.现让mi获得向右的速度V。 ,若小物体最终没有从长木板上滑落,两者间的动摩擦因数为卩.求长木板的长度至少是多少? 解: 若使小物体不从长木板上滑落,则须小物体到达长木 板的右端时两者具有共同的速度.设共同速度的大小为v,长 木板的长度为L,由动量守恒定律有 n1v0=(mi+n2)v 由能的转化和守恒定律知,由小物体和长木板组成的系统 减少的动能转化为内能,有 1212 2mwQ-2(m+m)v2=卩mgL 10、如图所示,圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上,轨道半径为R,MN为直径且与水平面垂直,直径略小于圆管内 径的小球A以某一速度冲进轨道,到 达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球 B发生碰撞,碰后两球粘在一起飞出轨道,落地点距N为2R. 重力加速度为g,忽略圆管内径,空气阻力及各处摩擦均不计,求: (1)黏合后的两球从飞出轨道到落地的时间t; ⑵小球A冲进轨道时速度v的大小. Vi,把球A冲进轨道 解: (1)粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动,竖直方向分运动为自由落体运动,有: 亠j① (2)设球a的质量为m碰撞前速度大小为 最低点时的重力势能定为0, 丄朋/=1朋v;+2mgR 由机械能守恒定律知: ^③ 设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为V2, 由动量守恒定律知: mv=2m\2④飞出轨道后做平抛运动,水平方向分运动为匀速直线运动, 有: 2R=V2t⑤ 综合②③④⑤式得: 11、如图所示,固定在地面上的光滑圆弧面与车C的上表面平 滑相接,在圆弧面上有一个滑块A,其质量为mA=2kg,在距 车的水平面高h=1.25m处由静止下滑,车C的质量为mC=6kg,在车C的左端有一个质量mA2kg的滑块B,滑块A与B均可看做质点,滑块A与B碰撞后黏合在一起共同运动,最终刚好没有从车C上滑出,已知滑块A、B与车C的动摩擦因数均为=0.5,车C与水平地面的摩擦忽略不计.取g= 10m/s2.求: ⑴、滑块A滑到圆弧面末端时的速「心 度大小. (2)、滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小. ⑶、车C的最短长度. 解析: (1)设滑块A滑到圆弧未端时的速度大小为vi,由机械能守恒定律有;_「①(3分)代入数据解得¥丽曲②(2分) (2)设AB碰后瞬间的共同速度为V2,滑块A与B组成的系 统动量守恒叫片二(叫+叫)h③(3分) 代入数据解得lVi=2-5ms④(2分) (3)设车C的最短长度为L,滑块A与B最终没有从车C上滑出,三者最终速度相同设为V3 根据动量守恒定律广「二-: ⑤(3分) 根据能量守恒定律肌+认丄=池7丰+加+"5 ⑥(3分)联立⑤⑥式代入数据解得—m⑦(2分) 12、如图所示,A、B、C三个木块的质量均为m,置于光滑的 水平面上,B、C之间有一轻质弹簧,弹簧的两端与木块接触而 不固连.将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连, 使弹簧不能伸展,以至于B、C可视为一个整体.现A以初速度V。 沿B、C的连线方向朝B运动,与B相碰并黏合在一起.以后细线突然断开,弹簧伸展,从而使C与A、B分离.已知C离开弹簧后的速度恰为v0.求弹簧释放的势能. /77777777777777777777777777777T77777777 解: 设碰后AB和C的共同速度的大小为v, 由动量守恒得;① 设C离开弹簧时,AB的速度大小为, 由动量守恒得--② 设弹簧的弹性势能为-.,从细线断开到C与弹簧分开的过程中 机械能守恒: A咖乜=扣诙+長③ £=-wVq 由①②③式得弹簧所释放的势能为一 13、一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上,其截面如图所示.图中ab为粗糙的水平面,长度为L;be为一光滑斜 面,斜面和水平面通过与ab和be均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接.现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动,在斜面上上升的最大高度为h,返回后再到达a点前与物体P相对静止.重力加速度为g.求: (1)木块在ab段受到 ⑵木块最后距a点的距离s. 解: (1)设木块和物体P共同速度为V,两物体从开始到第一 次到达共同速度过程由动量守恒得: VY'-门‘① =丄〔擀+2楙)V2+mgh+JL 由能量守恒得: 22② 丁二附阳「3前) 由①②得: .-③ (2)木块返回与物体P第二次达到共同速度,全过程能量守恒 一=—(朋+2fn)v2+/(2Z一s) 得: : : 由②③④得: f 为m=0.08kg的小物块C以25m/s 14、如图所示,在光滑水平面上有两个并排放置的木块A和B, 已知mA=0.5kg,m=0.3kg,有一质量厂 水平速度滑上A表面,由于C和AB间有摩擦,C滑到B表面上时最终与B以2.5m/s的共同速度运动,求: (1)木块A的最后速度; (2)C离开A时C的速度。 设木块A的最终速度为vi,C滑离A时的速度为V2, ⑴对A、B、C由动量守恒定律: mvo=mvi+(mB+m)v, 解得Vi=2.1m/s ⑵当C滑离A后,对B、C由动量守恒定律: mv2+mvi=(mB+m)v 解得V2=4m/s 15、两质量分别为M和M的劈A和B,高度相同,放在光滑水平面上,A和B的倾斜面都是光滑曲面, 曲面下端与水平面相切,如图所示,一审: "“诺易质量为m的物块位于劈A的倾斜面上,距水平面的高度为h 物块从静止滑下,然后滑上劈B。 求物块在B上能够达到的最 大高度。 设物块到达劈A的低端时,物块和A的的速度大小分别为卩和V, mgh=—mv1+-JfJ7亠 由机械能守恒得: 〜22① 由动量守恒得: 」“二加② 设物块在劈B上达到的最大高度为|》,此时物块和B共同速度 大小为r ,由机械能守恒得: -2亠2 ③ 由动量守恒 处二(仏+砒L④ 联立①②③④式得"'' 16、如图所示,半径为R的光滑圆环轨道与高为10R的光滑斜 1(X( 面安置在同一竖直平面内,两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连,在水平轨道CD上一轻质弹簧被两小球 a、b夹住(不连接)处于静止状态,今同时释放两个小球,a球恰好能通过圆环轨道最高点A,b球恰好能到达斜面最高点B, 已知a球质量为m,求释放小球前弹簧具有的弹性势能为多少? 解: a球过圆轨道最高点A时: .求出—\ a球从C运动到A,由机械能守恒定律: 八讥7匚<;TR 由以上两式得: 1「二 b球从D运动到B,由机械能守恒定 1a 律: 得: ―厂「「叮 以a球、b球为研究对象,由动量守恒定律: mv=mvb 得: 弹簧的弹性势能 Ep=7.5mgR 17、有一大炮竖直向上发射炮弹。 炮弹的质量为M\=6.0kg(内含炸药的质量可以忽略不计),射出的初速度vo=60m/s,当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片,其中一片质量为 m=4.0kg。 现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R=600m 为半径的圆周范围内,则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大? (g取10m/s2,忽略空气阻力) 炮弹爆炸时系统在水平方向不受外力,动量守恒: 0=mvi- (M-m)V2 由上抛运动规律知: h=v02/2g,t=V订农 由平抛运动规律知: vi=R/t 224 由能量观点知: Ek=mvi/2+(M-m)v/2解得Ek=6.0X10J 18、探究某种笔的弹跳问题时,把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分,其中内芯和外壳质量分别为 m和4m.笔的弹跳过程分为三个阶段: ①把笔竖直倒立于水平硬桌面,下压外壳使其下端接触桌面(图a);②由静止 释放,外壳竖直上升至下端距桌面高度为hl时,与静止的内芯 碰撞(图b);③碰后,内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处(图c)。 设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力,重力加速度为 g。 求: (1)外壳与碰撞后瞬间的共同速度大小; (2)从外壳 离开桌面到碰撞前瞬间,弹簧做的功;(3)从外壳下端离开桌面到上升至h2处,笔损失的机械能。 (1)设碰后共速为V2,则碰后机械能守恒: (4m+rj)g(h2-h1)=2(4m+n)V22-0,得巾二(扎一%) (2)设碰前外壳的速度为V1,则碰撞过程动量守恒: 4mv=(4m+mV2,将v代入得勺4~石 由动能定理;,将V1代入得 V22,将V1、V2 M=1kg的木块 11 (3)由能量守恒得: E损=1(4m)V1-1(4m+m 二-吨(爲一知 19、如图所示,水平传送带AB长L=8.3m,质量随传送带一起以vi=2m/s的速度向左运动(传送带的速度恒定 不变),木块与传送带间的摩擦因数卩=0.5.当木块运动到传 送带最左端A点时,一颗质量为m=20g的子弹以v°=300m/s水 平向右的速度正对入射木块并穿出,穿出速度为V2=50m/s,以 后每隔1s就有一颗子弹射向木块.设子弹与木块的作用时间极 短,且每次射入点不同,g=10m/s2.求: (1)在木块被第 二颗子弹击中前木块向右运动离A点的最大距离. (2)在被第二颗子弹击中前,子弹、木块、传送带这一系统所产生的热能是多少? (3) 木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中; (1)第一颗子弹射入木块过程中动量守恒mvo-MV=mV2+ M\/① 解得: =3m/s② "世L咫叮2 木块向右作减速运动加速度〉'-m/s2③ 木块速度减小为零所用时间•’④解得 ti=0.6s<1s⑤ A点最远时,速度 所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动离 51=! L 为零,移动距离为i二解得 Si=O.9m⑥ (2)第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为: 1111 Q=2mv+2Mv・2mv2・2Mv' 木块向右减速运动过程中相对传送带的位移 为: S'=Viti+Si 产生的热量为Q=uM®' 木块向左加速运动过程中相对传送带的位移 为: S"=Vlt2-S2 I 向左移动的位移为S2=.at22二①4m产生的热量为 Q=aIMS“ 在第二颗子弹击中前,系统产生的总内能为: Q=G+Q+Q二872.5J+10.5J+2>885*0J. (3)在第二颗子弹射中木块前,木块再向左做加速运动, 时间t2=1S-0,6S=0<4s 速度增大为V2=at2=2m/S(恰与传送带同速) 向左移动的位移为S2=-at22二0.4tn 所以两颗子弹射中木块的时间间隔内,木块总位移: So=Si-S2=O.5m,方向向右 第十六颗子弹击中前,木块向右移动的位移为: s=15s0=7.5 m 第十六颗子弹击中后,木块将会再向右移动0.9m,总位移为 0,9111+7,5m=8.4m>8.3m,木块将从B端落下| 所以木块在传送带上最多能被十六颗子弹击中 20、如图所示,光滑的水平面上有mA=2kg,mB=mc=1kg的三个 物体,用轻弹簧将A与B连接.在A、C两边用力使三个物体靠近,A、B间的 弹簧被压缩,此过程外力做功72J,然"’ 后从静止开始释放,求: (1)当物体B与C分离时,B对C 做的功有多少? (2)当弹簧再次恢复到原长时,AB的速度各是多大? (V释就辰在弹簧恢复痰长的过程中日和C和一起向左运动, 当彈簧恢复贬长后日和匚的分离.所以此过程用寸C做功, 选取A、BsC犬L个系统・在弾簧恢复原长的过程中动量守恒〔麻向右为正向[土rriAVA-vc=O...® 根据系统能量守鱼扣劇+|(m0+mc)vc2=Ep=W=72J..② CD怕对C做的功;吐加阳.③ 联立①②③并代入刼抿猖: vA=vc=6m/ssW=13J. C2)取入E为研究系统,根据动量守怛(取■向右为正向)得: mAVA-rne7°二茁只厂只+朗日v'c 根据系统能量守辭|rnAvA: 41m9vc气%;号吨£? 当弹菩恢复至腹长时几B的潼度分别齿: ^'A=L/? IB=tisSiV^=-2ITi7SfV*g=1UnfS.负号■喪不速度牙向写正方向相反,即向左. 21、如图所示,一个带斜面的物体A静止在光滑的水平面上,它的质量为M=0.5kg.另一个质量为m=0.2kg的小物体B从高 处自由下落,落到B的斜面上,下落高度为h=1.75m.与斜面碰撞后B的速度变为水平向右,碰撞过程中A、B组成的系统的机械能没有损失.(计算时取g=10m/s2) (1)碰后AB的速度各多大? 29 (2)碰撞过程中A、B的动量变化量各多大? 解: (1)我们规定向右为正方向,设碰后A的速度大小是Va, 水平方向动量守恒: M\a+mv=0, 22 由能量守恒: mgh=mv/2+MvA/2 Va=-mv/M=-2m/sVB=5m/s。 (负号表示方向向 左) (2)碰撞过程中A的动量变化量是 △pa=MV=-1kg•m/s,其中负号代表方向向左。 由于B的初、末动量不在同一直线上,根据平行四边形定 则, 初动量大小为mv=「v•kg•m/s=1.2kg•m/s,方向竖 直向下,末动量大小为mv=1kg・m/s,方向水平向右, 动量变化量的大小为: △Pb=「〜'1''kg•m/s=1.5 kg•m/s, 方向斜向右上,与水平方向夹角为e=arctan(vo/vb)=55.3 ■■■■■■■■I 22、质量为M的小车静止在光滑的水平面上,质量为m的小球用细绳吊在小车上0点,将小球拉至水平位置A点静止开始释放(如图所示),其中0A的长为L,求小球落至最低点时速度多大? (相对地的速度) 设小球星低原时咱对于地的速度大小为”,小牟相对于地的速度大小为¥.取向右方向为王方向,以小车和小球足成的亲统为研究对畫, 根据施水平方向动楚守酝律得: mv-MV=O 乐据系毓的W.能守危得: mgL=2m以+2mW 22 联立L戈上两式驿写fv=n卫丄 M+m 23、如图5-5所示,质量为M的天车静止在光滑轨道上,下面用长为L的细线悬挂着质量为m的沙 箱,一颗质量为mO的子弹,以v0的\ 水平速度射入沙箱,并留在其中,在吗一旦 以后运动过程中,求: 沙箱上升的最大高度 (1)子弹打入沙箱过程中动量守恒 孤洗=(孤+时久 va\vf1 摆动过程中,沙箱到达最大高度时系统有相同的速度,设为 V2,子弹、沙箱、天车系统水平方向动量守恒: 机械能守恒: 1“1- 于「处岭热]珑1K4)? ;■吧魁上 k=J…7 联系①②③可得”1逼口%•乜: 壮忽 24、如图所示,坡道顶端距水平面高度为h,质量为m的小物 块A从坡道顶端由静止滑下,进入水平面上的滑道时无机械能损失,为使A制动,将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上,另一端与质量为mi的档板相连,弹簧处于原长时,B恰好位于滑道的末端0点。 A与B碰撞时间极短,碰撞后结合在一起共同压缩弹簧。 已知在0M段A、B与水平面间的动摩擦 因数为卩,其余各处的摩擦不计,重力加速度为g,求 1)物块A在档板B碰撞瞬间的速度 v的大小; 2)弹簧最大压缩时为d时的弹性势能Ep(设弹簧处于原长时弹性势能为零) 炖]或=—W2lV2 解: (1)由机械能守恒定律,有^① 由动量守恒③ A、B克服摩擦力所做的功莊二"网+叫0④ 1 由能量守恒定律: 沙严讣豁+也+呻盟 E二gh-/2(mx+m^)gd 解得 mx+m2 25、(2011\35.)(18分)如图所示,光滑水平面右端B处平 € B 滑连接一个内壁光滑的竖直放置的半
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