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函数的应用例题
第三章函数的应用例题
一、函数与方程
1.根据表格中的数据,可以断定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是( ).
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0)B.(0,1)
C.(1,2)D.(2,3)
解析 由上表可知f
(1)=2.72-3<0,f
(2)=7.39-4>0,
∴f
(1)·f
(2)<0,∴f(x)在区间(1,2)上存在零点.答案 C
2.函数f(x)=x2-2x的零点个数( ).
A.3B.2C.1D.0
解析 由y=x2与y=2x的图象知零点个数为3个,故选A.
答案 A
3.函数f(x)=
的零点是________.
解析 令f(x)=0,即
=0,即x-1=0或lnx=0,∴x=1,故函数f(x)的零点为1.答案 1
4.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于________.
解析 ∵奇函数的图象关于原点对称,∴若f(x)有三个零点,则其和必为0.答案 0
5.若函数f(x)=ax+b只有一个零点2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是________.
解析 由题意知,2a+b=0,则b=-2a,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),
令g(x)=0,得x=0或-
.答案 -
,0
6.判断函数f(x)=ex-5零点的个数.
解 法一 f(0)=-4<0,f(3)=e3-5>0,∴f(0)·f(3)<0.
又∵f(x)=ex-5在R上是增函数,∴函数f(x)=ex-5的零点仅有一个.
法二 令y1=ex,y2=5,画出两函数图象(如图),由图象可知有一个交点,故函数f(x)=ex-5的零点仅有一个.
7.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f
(2)=0,则函数f(x)的零点有( ).
A.一个B.两个
C.至少两个D.无法判断
解析 f(x)在(0,+∞)上是减函数,f
(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点2.
又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2.
因此函数f(x)有两个零点-2与2.答案 B
8.设x0是方程lnx+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=________.
解析 令f(x)=lnx+x-4,且f(x)在(0,+∞)上递增,∵f
(2)=ln2+2-4<0,
f(3)=ln3-1>0.∴f(x)在(2,3)内有解,∴k=2.答案 2
9.已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4].
(1)画出函数y=f(x)的图象,并写出其值域;
(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点?
解
(1)依题意:
f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],
其图象如图所示.
由图可知,函数f(x)的值域为[-4,5].
(2)∵函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点.
∴方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有两相异的实数根,
即函数y=f(x)与y=-m的图象有两个交点.
由
(1)所作图象可知,-4<-m≤0,∴0≤m<4.
∴当0≤m<4时,函数y=f(x)与y=-m的图象有两个交点,
故当0≤m<4时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点.
二、二分法
1.已知函数y=f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( ).
A.4,4B.3,4
C.5,4D.4,3
解析 题中图象与x轴有4个交点,所以解的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求解的个数为3.答案 D
2.设方程2x+2x=10的根为β则β∈( ).
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
解析 设f(x)=2x+2x-10,则f(x)在R上为单调增函数,故只有一个零点.f(0)=-9,f
(1)=-6,f
(2)=-2,f(3)=4,∴f
(2)·f(3)<0.∴β∈(2,3).
答案 C
3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,f(0.74)>0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( ).
A.0.64B.0.74C.0.7D.0.6
解析 ∵f(0.72)·f(0.68)<0,且|0.72-0.68|<0.1,
∴f(x)的一个正零点x0∈(0.68,0.72),∴x0=0.7可作为零点的近似值.答案 C
4.用二分法求方程x3-8=0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01?
解析 设n次“二分”后精确度达到0.01,∵区间(2,3)的长度为1,
∴
<0.01,即2n>100.注意到26=64<100,27=128>100.
故要经过7次二分后精确度达到0.01.答案 7
5.(2013·高一检测)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f
(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.4375)=0.162
f(1.40625)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为________(精确度0.1).
解析 由表知|1.4375-1.375|=0.0625<0.1,
所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为1.4375.
答案 1.4375(不唯一)
6.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点(精确度0.1).
证明 由于f
(1)=-1<0,f
(2)=4>0,又函数f(x)是增函数,所以函数在区间(1,2)内有唯一零点,不妨设为x0,则x0∈(1,2).下面用二分法求解:
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
1.328
(1,1.5)
1.25
0.128
(1,1.25)
1.125
-0.444
(1.125,1.25)
1.1875
-0.160
因为|1.1875-1.25|=0.0625<0.1,所以函数f(x)=2x+3x-6精确度为0.1的零点可取为1.25.
7.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( ).
A.[1,4]B.[-2,1]
C.
D.
解析 由于第一次所取的区间为[-2,4],
∴第二次所取区间为[-2,1]或[1,4],
第三次所取区间为
,
,
或
.答案 D
8.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是________.
解析 ∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,∴函数f(x)=x2+ax+b图象与x轴相切,∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b.答案 a2=4b
三、几类不同增长的函数模型
1.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是( ).
A.f(x)增长速度最快,h(x)增长速度最慢
B.g(x)增长速度最快,h(x)增长速度最慢
C.g(x)增长速度最快,f(x)增长速度最慢
D.f(x)增长速度最快,g(x)增长速度最慢
解析 由三个函数的性质,可知:
g(x)增长速度最快,h(x)增长速度最慢.
答案 B
2.如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ).
A.指数函数:
y=2tB.对数函数:
y=log2t
C.幂函数:
y=t3D.二次函数:
y=2t2
解析 由散点图可知,与指数函数拟合的最贴切.答案 A
3.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
答案 C
4.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·(0.5)x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________.
解析 由
得
∴y=-2×0.5x+2,
所以3月份产量为y=-2×0.53+2=1.75(万件).
答案 1.75万件
5.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法:
①前5min温度增加的速度越来越快;②前5min温度增加的速度越来越慢;③5min以后温度保持匀速增加;④5min以后温度保持不变.
其中正确的说法是________.
解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5min前每当t增加一个单位增量Δt,则y相应的增量Δy越来越小,而5min后是y关于t的增量保持为0,则②④正确.答案 ②④
6.计算机的成本不断下降,若每隔5年计算机的价格降低现价格的
,现在价格5400元的计算机经过15年的价格为________元.
解析 5年后的价格为5400
元,10年后的价格为5400
2元,
15年后的价格为5400
3元.答案 5400
3
7.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V(m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现V与log3
成正比,且当Q=900时,V=1.
(1)求出V关于Q的函数解析式;
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数.
解
(1)设V=k·log3
,∵当Q=900时,V=1,∴1=k·log3
,
∴k=
,∴V关于Q的函数解析式为V=
log3
.
(2)令V=1.5,则1.5=
log3
,∴Q=2700,
所以,一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位.
8.如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽,水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的
( ).
解析 开始一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后,水槽中水面上升先快后慢,与B图象相吻合.答案 B
9.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为:
y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,则到第7年这种动物发展到________只.
解析 把x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得:
a=100,
故函数关系式为y=100log2(x+1),
∴当x=7时,y=100log2(7+1)=300.
所以到第7年这种动物发展到300只.答案 300
10.已知桶1与桶2通过水管相连如图所示,开始时桶1中有aL水,tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1=ae-nt,那么桶2中的水就是y2=a-ae-nt,假定5min后,桶1中的水与桶2中的水相等,那么再过多长时间桶1中的水只有
L?
解 由题意,得ae-5n=a-a·e-5n,
即e-5n=
.①
设再过tmin后桶1中的水有
,
则ae-n(t+5)=
,e-n(t+5)=
.②
将①式平方得e-10n=
,③
比较②,③得-n(t+5)=-10n,∴t=5.
即再过5min后桶1中的水只有
L.
四、函数模型的应用实例
1.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:
分钟)为f(x)=
(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30min,组装第A件产品用时15min,那么c和A的值分别是( ).
A.75,25B.75,16
C.60,25D.60,16
解析 由题意知,组装第A件产品所需时间为
=15,故组装第4件产品所需时间为
=30,解得c=60.将c=60代入
=15,得A=16.
答案 D
2.据你估计,一种商品在销售收入不变的条件下,其销量y与价格x之间的关系图最可能是下图中的( ).
解析 销售收入不变,∴xy=c(定值),∴y=
.
答案 C
3.(2013·高一检测)衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:
V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为
a.若一个新丸体积变为
a,则需经过的天数为( ).
A.125B.100C.75D.50
解析 由已知,得
a=a·e-50k,∴e-k=
.
设经过t1天后,一个新丸体积变为
a,则
a=a·e-kt1,
∴
=(e-k)t1=
,∴
=
,t1=75.答案 C
4.已知长为4,宽为3的矩形,若长增加x,宽减少
,则面积最大.此时x=________,面积S=________.
解析 根据题目条件0<
<3,即0<x<6,所以S=(4+x)
=-
(x2-2x-24)=
-
(x-1)2(0<x<6).故当x=1时,S取得最大值
.
答案 1
5.图中一组函数图象,它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配:
情境A:
一份30分钟前从冰箱里取出来,然后被放到微波炉里加热,最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻);
情境B:
一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏,并且被保存得很好);
情境C:
从你刚开始放水洗澡,到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度;
情境D:
根据乘客人数,每辆公交车一趟营运的利润;
其中情境A,B,C,D分别对应的图象是________.
解析 对于A,加热时升温快,然后再变凉,易知为①;对于B,过时的物品价值先下降,直到收藏后价值才会升值,因此显然为③;对于C,由于洗澡一般是间歇性用水,所以易知水高度函数图象有多重折线,因此显然为④,对于D,乘客人数越多,利润越大,显然是②.
答案 ①③④②
6.某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下(单位:
万美元):
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多生产的件数
甲产品
30
a
10
200
乙产品
50
8
18
120
其中年固定成本与生产的件数无关,a为常数,且4≤a≤8.另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式;
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润;
(3)如何决定投资可获得最大年利润.
解
(1)由题意,y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N;
y2=(18-8)x-50-0.05x2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x∈N.
(2)∵4≤a≤8,∴10-a>0,
故y1=(10-a)x-30,0≤x≤200是增函数.
所以x=200时,y1有最大值1970-200a.
y2=10x-50-0.05x2=-0.05(x-100)2+450.
x∈[0,120],且∈N,
∴当x=100时,y2取最大值450.
∴投资生产这两种产品的最大利润分别为(1970-200a)万美元和450万美元.
(3)令1970-200a=450,解得a=7.6,因为函数f(a)=1970-200a是定义域上的减函数,所以当4≤a≤7.6时,投资甲产品;当7.6<a≤8时,投资乙产品;当a=7.6时,投资甲产品、乙产品均可.
7.(2013·高一检测)如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y=at,有以下几种说法:
①这个指数函数的底数为2;
②第5个月时,浮萍面积就会超过30m2;
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;
④浮萍每月增加的面积都相等.
其中正确的命题序号是________.
解析 由图象知,t=2时,y=4,
∴a2=4,故a=2,①正确.
当t=5时,y=25=32>30,②正确,
当y=4时,由4=2t1知t1=2,
当y=12时,由12=2t2知t2=log212=2+log23.
t2-t1=log23≠1.5,故③错误;
浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误.
答案 ①②
8.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P).点(t,P)落在图中的两条线段上.该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;
(3)用y表示该股票日交易额(万元),写出y关于t的函数关系式,并求在这30天中第几天日交易额最大,最大值是多少?
解
(1)P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为:
P=
(2)由图表,易知Q与t满足一次函数关系,
即Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.
(3)由以上两问,可知
y=
=
当0≤t≤20,t=15时,ymax=125,
当20<t≤30,y随t的增大而减小,
∴在30天中的第15天,日交易额的最大值为125万元.
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