函数的单调性与最值.docx
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函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
一、选择题
1.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )
A.y=log2xB.y=
C.y=-
xD.y=
解析 y=log2x在(0,+∞)上为增函数;y=
在(0,+∞)上是增函数;y=
x在(0,+∞)上是减函数,y=-
x在(0,+∞)上是增函数;y=
在(0,+∞)上是减函数,故y=
在(0,1)上是减函数。
故选D。
答案 D
2.函数f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是( )
A.(3,+∞)B.(1,+∞)
C.(-∞,1)D.(-∞,-1)
解析 由已知易得
即x>3,又0<0.5<1,
∴f(x)在(3,+∞)上单调递减。
故选A。
答案 A
3.(优质试题·保定模拟)已知函数f(x)=
则“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当c=-1时,函数y=log2x和y=x+c均是单调递增,且1+c=log21,所以函数f(x)在R上递增;当函数f(x)在R上递增时,c不一定等于-1。
故“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件。
故选A。
答案 A
4.已知函数y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1]B.[1,2]
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
解析 要使y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则a>0且a-1≥0,∴a≥1。
故选C。
答案 C
5.(优质试题·杭州模拟)已知减函数f(x)的定义域是实数集R,m,n都是实数。
如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是( )
A.m-n<0B.m-n>0
C.m+n<0D.m+n>0
解析 设F(x)=f(x)-f(-x),由于f(x)是R上的减函数,
∴f(-x)是R上的增函数,-f(-x)是R上的减函数。
∴当m
因此,当f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-n<0一定成立,故选A。
答案 A
6.(优质试题·合肥模拟)设函数f(x)=
g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是( )
A.(-∞,0]B.[0,1)
C.[1,+∞)D.[-1,0]
解析 由题知,g(x)=
可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1),故选B。
答案 B
二、填空题
7.已知函数f(x)为R上的减函数,若f
(1),则实数x的取值范围是________。 解析 由题意知f(x)为R上的减函数且f (1),则 >1,即|x|<1,且x≠0。 故-1 答案 (-1,0)∪(0,1) 8.若函数y=-|x|在[a,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是________。 解析 y=-|x|在[0,+∞)上单调递减,∴a≥0。 答案 [0,+∞) 9.(优质试题·厦门质检)函数f(x)= x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________。 解析 由于y= x在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3。 答案 3 三、解答题 10.已知f(x)= (x≠a)。 (1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围。 解析 (1)证明: 任设x1 则f(x1)-f(x2)= - = 。 ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1) ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增。 (2)任设1 f(x1)-f(x2)= - = 。 ∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立, ∴a≤1。 综上所述,a的取值范围是(0,1]。 答案 (1)见解析 (2)(0,1] 11.求下列函数的单调区间。 (1)f(x)=|x2-4x+3|; (2)f(x)=log (-x2+4x+5)。 解析 (1)先作出函数y=x2-4x+3的图象,由于绝对值的作用,把x轴下方的部分翻折到上方,可得函数y=|x2-4x+3|的图象。 如图所示。 由图可知,f(x)在(-∞,1],[2,3]上为减函数,在[1,2],[3,+∞)上为增函数,故f(x)的增区间为[1,2],[3,+∞),减区间为(-∞,1],[2,3]。 (2)令u=-x2+4x+5,则f(x)=log u。 ∵u>0,∴-1 又y=log u在(0,+∞)上为减函数,据复合函数同增异减,可知f(x)的单调递增区间为(2,5);单调递减区间为(-1,2]。 答案 (1)单调递增区间为[1,2],[3,+∞),单调递减区间为(-∞,1],[2,3] (2)单调递增区间为(2,5);单调递减区间为(-1,2] 12.设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件: ①对任意正数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(3)=-1。 (1)求f (1),f 的值; (2)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围。 解析 (1)令x=y=1易得f (1)=0。 而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2, 且f(9)+f =f (1)=0,故f =2。 (2)设0 >1,f <0, 由f(xy)=f(x)+f(y)得 f(x2)=f =f(x1)+f
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